自考04184线性代数(经管类)讲义第二章 矩 阵

1、第二章 矩阵2.1矩阵的概念定义2.1.1由m×n个数aij（i=1，2，m；j=1，2，n）排成一个m行n列的数表 用大小括号表示称为一个m行n列矩阵。矩阵的含义是：这m×n个数排成一个矩形阵列。其中aij称为矩阵的第i行第j列元素（i=1，2，m；j=1，2，n），而i称为行标，j称为列标。第i行与第j列的变叉位置记为（i，j）。通常用大写字母A，B，C等表示矩阵。有时为了标明矩阵的行数m和列数n，也可记为A=（aij）m×n或（aij）m×n或Am×n当m=n时，称A=（aij）n×n为n阶矩阵，或者称为n阶方阵。n阶方阵是由n

2、2个数排成一个正方形表，它不是一个数（行列式是一个数），它与n阶行列式是两个完全不同的概念。只有一阶方阵才是一个数。一个n阶方阵A中从左上角到右下角的这条对角线称为A的主对角线。n阶方阵的主对角线上的元素a11，a22，ann，称为此方阵的对角元。在本课程中，对于不是方阵的矩阵，我们不定义对角元。元素全为零的矩阵称为零矩阵。用Om×n或者O（大写字）表示。特别，当m=1时，称=（a1，a2，an）为n维行向量。它是1×n矩阵。当n=1时，称为m维列向量。它是m×1矩阵。向量是特殊的矩阵，而且它们是非常重要的特殊矩阵。例如，（a，b，c）是3维行向量，是3维列向量。

3、几种常用的特殊矩阵：1.n阶对角矩阵形如或简写为（那不是A，念“尖”） 的矩阵，称为对角矩阵，例如，是一个三阶对角矩阵，也可简写为。2.数量矩阵 当对角矩阵的主对角线上的元素都相同时，称它为数量矩阵。n阶数量矩阵有如下形式：或。（标了角标的就是N阶矩阵，没标就不知是多少的） 特别，当a=1时，称它为n阶单位矩阵。n阶单位矩阵记为En或In，即或在不会引起混淆时，也可以用E或I表示单位矩阵。n阶数量矩阵常用aEn或aIn表示。其含义见2.2节中的数乘矩阵运算。3.n阶上三角矩阵与n阶下三角矩阵的矩阵分别称为上三角矩阵和下三角矩阵。 对角矩阵必须是方阵。一个

4、方阵是对角矩阵当且仅当它既是上三角矩阵，又是下三角矩阵。4.零矩阵 （可以是方阵也可以不是方阵）2.2矩阵运算本节介绍矩阵的加法、减法、数乘、乘法和转置等基本运算。只有在对矩阵定义了一些有理论意义和实际意义的运算后，才能使它成为进行理论研究和解决实际问题的有力工具。2.2.1矩阵的相等（同）设A=（aij）m×n，B=（bij）k×l，若m=k，n=l且aij=bij，i=1，2，m；j=1，2，n，则称矩阵A与矩阵B相等，记为A=B。由矩阵相等的定义可知，两个矩阵相等指的是，它们的行数相同，列数也相同，而且两个矩阵中处于相同位置（i，j）上的一对数都必须对应相等。特别，A

5、=（aij）m×n=Oaij=0，i=1，2，m；j=1，2，n。注意行列式相等与矩阵相等有本质区别，例如因为两个矩阵中（1，2）位置上的元素分别为0和2。但是却有行列式等式 （因为行列式是数，矩阵是表，表要求表里的每一个都一样）2.2.2矩阵的加、减法定义2.2.2设A=（aij）m×n和B=（bij）m×n，是两个m×n矩阵。由A与B的对应元素相加所得到的一个m×n矩阵，称为A与B的和，记为A+B，即A+B=（aij+ bij）m×n。即若则当两个矩阵A与B的行数与列数分别相等时，称它们是同型矩阵。只有当两个矩阵是同型矩阵时，它们

6、才可相加。例如注意：（1）矩阵的加法与行列式的加法有重大区别例如 （阶数相同，所有的行（列）中除某一行（列）不相同外，其余的行都一样才可以相加，方法是除了这两个不同的行（列）相加外，其它的不变。）（2）阶数大于1的方阵与数不能相加。（阶数大于1它就是一个表，不是一个数了）若A=（aij）为n阶方阵，n>1，a为一个数，则A+a无意义！但是n阶方阵A=（aij）m×n与数量矩阵aEn可以相加： （把数转化为数量矩阵aEn就可以想加了）矩阵的加法满足下列运算律： 设A，B，C都是m×n矩阵，O是m×n零矩阵，则（1）交换律A+B=B+A.（乘法没有交换

7、律）（2）结合律（A+B）+C=A+（B+C）.（3）A+O=O+A=A.（4）消去律A+C=B+CA=B.2.2.3数乘运算（矩阵与数不能相加，但是可能想乘）定义2.2.3对于任意一个矩阵A=（aij）m×n和任意一个数k，规定k与A的乘积为kA=（kaij）m×n.（矩阵里的第个原数都乘以数K）即若 则由定义2.2.3可知，数k与矩阵A的乘积只是A中的所有元素都要乘以k，而数k与行列式Dn的乘积只是用k乘Dn中某一行的所有元素，或者用k乘Dn中某一列的所有元素，这两种数乘运算是截然不同的。根据数乘矩阵运算的定义可以知道，数量矩阵aEn就是数a与单位矩阵En的乘积。

8、60;数乘运算律（1）结合律（kl）A=k（lA）=klA，k和l为任意实数。（2）分配律k（A+B）=kA+kB，（k+l）A=kA+lA，k和l为任意实数。例1已知求2A-3B。解例2已知且A+2X=B，求X。解：（注意是乘以矩阵里的每个元素）2.2.4乘法运算设矩阵A=（aij）m×k，B=（bij）k×n，令C=（cij）m×n是由下面的m×n个元素cij=ai1b1j+ai2b2j+aikbkj（i=1，2，m；j=1，2，n） 构成的m行n列矩阵，称矩阵C为矩阵A与矩阵B的乘积，记为C=AB。由此定义可以知道，两个矩阵A=（aij）

9、和B=（bij）可以相乘当且仅当A的列数与B的行数相等。当C=AB时，C的行数=A的行数，C的列数=B的列数。C的第i行第j列元素等于矩阵A的第i行元素与矩阵B的第j列对应元素的乘积之和。例3若且，AB=C，求矩阵C中第二行第一列中的元素C21解：C21等于左矩阵A中的第二行元素与右矩阵B中第一列元素对应乘积之和C21=2×1+ 1×3+ 0×0=5 例4设矩阵求AB解：=这里矩阵A是3×3矩阵，而B是3×2矩阵，由于B的列数与A的行数不相等，所以BA没有意义。例5求（1）A3E3（2）E3A3解：（1） （2）由本例可见A3E3=E3A3=A

10、3，并且可以推广有它与代数中的1·a=a·1=a比较可见单位矩阵En在乘法中起单位的作用。例6设矩阵求AB和BA解：现在，我们对矩阵乘法与数的乘法作一比较。数的乘法有交换律，矩阵乘法没有普遍交换律。（差别）例7设 求（1）AB（2）AC解（1）（2）可见AB=AC众所周知，两个数的乘积是可交换的：ab=ba，因而才有熟知的公式：（a+b）2=a2+2ab+b2，a2-b2=（a+b）（a-b），（ab）k=akbk.两个非零数的乘积不可能为零。因此，当ab=0时，必有a=0或b=0。当ab=ac成立时，只要a0，就可把a消去得到b=c。（这条只满足数，不满足矩阵） 

11、;由矩阵乘法及上述例6、例7可知：（1）单位矩阵与任意一个同阶方阵的乘积必可交换：EnA=AEn=A（2）数量矩阵与任意一个同阶方阵的乘积必可交换：（aEn）A=A（aEn）.（3）在一般情形下，矩阵的乘法不满足交换律，即一般ABBA。（4）当AB=O时，一般不能推出A=O或B=O。这说明矩阵乘法不满足消去律。（5）当AB=AC时，一般不能推出B=C。（消去律）若矩阵A与B满足AB=BA，则称A与B可交换。此时，A与B必为同阶方阵。矩阵乘法不满足消去律，并不是说任意两个方阵相乘时，每一个方阵都不能从矩阵等式的同侧消去。在下一节中我们将会看到，被称为可逆矩阵的方阵一定可以从矩阵等式的同侧消去。例

12、8设矩阵，求出所有与A可交换的矩阵。（即AB=BA）解因为与A可交换的矩阵必为二阶矩阵，所以可设为与A可交换的矩阵，则由AX=XA，可推出x12=0，x11=x22，且x11，x21可取任意值，即得。（对角线必须一样）例9解矩阵方程，X为二阶矩阵。解 设。由题设条件可得矩阵等式：由矩阵相等的定义得 （列出两组方程式）解这两个方程组可得x11=1，x21= -1，x12=1，x22=0。所以。  乘法运算律（1）矩阵乘法结合律（AB）C=A（BC）。 （不改变顺序）（2）矩阵乘法分配律（A+B）C=AC+BC，A（B+C）=AB+AC。（3）两种乘法的结合律k（AB）=（kA）B=A（

13、kB），k为任意实数。（4）EmAm×n=Am×n，Am×nEn=Am×n（其中Em，En分别为m阶和n阶单位矩阵）。矩阵乘法的结合律要用定义直接验证（证略），其他三条运算律的正确性是显然的。方阵的方幂设A为n阶方阵，由于矩阵乘法满足结合律，所以可以不加括号而有完全确定的意义。 我们定义A的幂（或称方幂）为由定义可知，n阶方阵的方幂满足下述规则：AkAl=Ak+l，（Ak）l=Akl，k，l为任意正整数。例10用数学归纳法证明以下矩阵等式：（1）（2）。证（1）当n=1时，矩阵等式显然成立。假设当n=k时，矩阵等式成立，即 知道，当n=k+1时

14、，矩阵等式也成立。所以对任意正整数n，此矩阵等式成立。 （2）当n=1时，矩阵等式显然成立。假设当n=k时，矩阵等式成立，即则知道，当n=k+1时，矩阵等式也成立。所以对任意正整数n，此矩阵等式都成立。例11设n阶方阵A和B满足，证明： 。证：由可推出B=2A-En。再由B2=（2A-En）（2A-En）=4A2-4A+En 证得 因为矩阵乘法不满足交换律，所以对于n阶方阵A和B，有以下重要结论：（1）（A+B）2=（A+B）（A+B）=A2+AB+BA+B2=A2+2AB+B2 AB=BA。（2）（A+B）（A-B）=A2-AB+BA-B2=A2-B2AB=BA。（3）当AB=BA

15、时必有（AB）k=AkBk.（只有两者两等时成立）例如AB=BA时，（AB）2=（AB）（AB）=ABAB=A（BA）B=AABB=（AA）（BB）=A2B2但ABBA时，则上面结果不成立。例13设，则有因为矩阵乘法不满足消去律，所以对于n阶方阵A和B，有以下重要结论： （1）AB=O，AO不能推出B=O。例如时（两个不等于零的方阵相乘或是一个数平方也可能等于零） （2）由A2=O不能推出A=O。例如则 （3）由AB=AC，AO不能推出B=C。例如时（同系数两个数或是两个数的平方相等）即AB=AC，但BC （4）由A2=B2不能推出A=±B。例

16、如，取则2.2.5矩阵的转置设矩阵 把矩阵的行与列互换得到的n×m矩阵，称为矩阵A的转置矩阵，记作AT或A，即 易见A与AT互为转置矩阵。特别，n维行（列）向量的转置矩阵为n维列（行）向量。例如，则若A=（a1，a2，an）则若则BT=（b1，b2，bn）例15求（1）AB（2）（AB）T（3）ATBT（4）BTAT解：（1）（2）（3）（4）由本例可见（AB）T=BTAT，这一结果有普遍性（不证） 转置运算律（1）（AT）T=A（2）（A+B）T=AT+BT（3）（kA）T=kAT，k为实数。（4）（AB）T=BTAT，（A1A2An）T=AnTA n

17、-1TA1T.设A=（aij）为n阶实方阵。若A满足AT=A，也就是说A中元素满足： aij=aji，i，j=1，2，n，则称A为实对称矩阵。若A满足AT=-A，也就是说A中元素满足：aij=-aji，i，j=1，2，n，此时必有aii=0，i=1，2，n，则称A为实反对称矩阵。实矩阵指的是元素全为实数的矩阵，在本课程中，我们只讨论实对称矩阵和实反对称矩阵，因此，往往省略一个“实”字。例如，都是对称矩阵；都是反对称矩阵。例17：（1）设A为n阶对称矩阵，证明：对于任意n阶方阵P，PTAP必为对称矩阵。（2）如果已知PTAP为n阶对称矩阵，问A是否必为对称矩阵？证（1）因为A是对称矩阵

18、，必有AT=A（满足这个条件），于是必有（PTAP）T=PTATP=PTAP 这说明PTAP必为对称矩阵。（2）反之，如果PTAP为n阶对称矩阵：（PTAP）T=PTAP，则有PTATP=PTAP，但是矩阵乘法不满足消去律，在矩阵等式两边，未必能把PT和P消去，所以不能推出AT=A，A未必是对称矩阵。2.2.6方阵的行列式 由n阶方阵A的元素按原来的顺序构成的行列式称为方阵A的行列式，记作或det（A）。即，如果，则。例如，的行列式为。 注意（1）矩阵是一个数表，行列式是一个数，二者不能混淆，而且行列式记号“”与矩阵记号“（*）”也不同，不能用错。（2）矩阵的行数与列数未必相等，但行列式的行数

19、与列数必须相等。（3）当且仅当为n阶方阵时，才可取行列式。对于不是方阵的矩阵是不可以取行列式的。易见，上、下三角矩阵的行列式等于它的所有对角线元素的乘积。特别，。，例18 设且有。求解：所以由本例可见一般地应有 方阵的行列式有如下性质：设A，B为n阶方阵，k为数，则（1）；（2）；（3）。（行列式乘法规则）（1），（2）的证明可由方阵行列式的定义及行列式性质直接得到。（3）的证明从略。例19 设，则，。于是得，。例20 设A，B同为n阶方阵。如果AB=O，则由知道，必有或。但未必有A=O或B=O。例21 证明：任意奇数阶反对称矩阵的行列式必为零。证：设A为2n-1阶反对称矩阵，则有。

20、于是根据行列式性质1和性质2，得到，因为是数，所以必有。2.2.7方阵多项式 任意给定一个多项式和任意给定一个n阶方阵A，都可以定义一个n阶方阵，称f（A）为A的方阵多项式。注意：在方阵多项式中，末项必须是数量矩阵而不是常数。方阵多项式是以多项式形式表示的方阵。例22：设，求f（A）。解：例23：若A=B-C，其中，。证明证：由 2.3方阵的逆矩阵我们知道，对于任意一个数a0，一定存在惟一的数b，使ab=ba=1，这个b就是a的倒数，常记为。而且a与b互为倒数。对于方阵A，我们可类似地定义它的逆矩阵。 设A是一个n阶方阵。若存在一个n阶方阵B，使得（其中是n阶单位阵）则称A是可逆矩阵（或非奇异

21、矩阵），并称方阵B为A的逆矩阵。A的逆矩阵记为，即。若满足（2.5）式的方阵B不存在，则称A为不可逆矩阵（或奇异矩阵）。由逆矩阵的定义可见若B是A的逆矩阵。则反过来A也是B的逆矩阵。即若，则有  可逆矩阵的基本性质设A，B为同阶的可逆方阵，常数k0，则（1）为可逆矩阵，且（2）（3）证推广有  （4）证  （5）证  （6）（7）若A可逆且AB=AC，则有消去律B=C证：如何判定一个给定方阵是否可逆呢？为了回答这个问题，我们先给出下面的概念。定义2.3.2设，为的元素的代数余子式（i,j=1,2,n），则矩阵称为A的伴随矩阵，记为。 由伴随矩阵的定义可以

22、看出，在构造A的伴随矩阵时，必须放在中的第j行第i列的交叉位置上，也就是说，的第i行元素的代数余子式，构成的第i列元素。由1.4节中的定理1.4.1可得 ，即（2.7）类似可得（2.8）现在我们来证明下面的重要定理。这个定理给出了判定一个n阶方阵是否可逆的一个充要条件，以及方阵可逆时，求出其逆矩阵的一个方法。 n阶方阵A为可逆矩阵。  推论：设A，B均为n阶矩阵，并且满足，则A，B都可逆，且，。例1 若，求解：例如：解：例2 设，当a，b，c，d满足什么条件时，矩阵A是可逆矩阵？当A是可逆矩阵时，求出。解：A可逆。当A可逆时，例1，例2的结果可以作为求二阶方阵的逆矩阵或伴随矩阵的公式

23、例如，例3 判断矩阵是否可逆，求出它的逆矩阵。解（1）由于故矩阵A可逆。（2）逐个求出代数余子式和伴随矩阵：，；。于是。由上例可以看出，当n3时，用伴随矩阵求逆矩阵计算量是很大的，特别是当n4时不宜用伴随矩阵来求逆矩阵。例4 设A为n阶方阵，则。证：由知道。当时，显然有。例5 若。求A的逆矩阵和A+E的逆矩阵。解：（1） （2）例6 设A是3阶方阵且，求（1）（2）（3）（4）解：（1）（2）（3）（4）2.4分块矩阵分块矩阵理论是矩阵理论中的重要组成部分，在理论研究和实际应用中，有时会遇到行数和列数较高的矩阵，为了表示方便和运算简洁，常对矩阵采用分块的方法，即用一些贯穿于矩阵的横线和纵线把矩

24、阵分割成若干小块，每个小块叫做矩阵的子块（子矩阵），以子块为元素的形式的的矩阵叫分块矩阵。例如，设，令，则A的一个分块矩阵为这样A可以看成由4个子矩阵（子块）为元素组成的矩阵，它是一个分块矩阵。分块矩阵的每一行称为一个块行，每一列称为一个块列。上述分块矩阵中有两个块行、两个块列。  m×n矩阵的分块矩阵的一般形式为对于同一个矩阵可有不同的分块法。采用不同的分块方法得到的是不同的分块矩阵。对于任意一个m×n矩阵，常采用以下两种特殊的分块方法：行向量表示法，其中，i=1，2，m；列向量表示法，其中，j=1，2，n。前者也称为将A按行分块，后者也称为将A按列分块。例如，令，以及，可分别得到A的行分块矩阵和列分块矩阵：，。下面我们介绍4种最常用的分块矩阵的运算。需要特别指出的是，分块矩阵的所有运算仅仅是前面所讲的矩阵运算换了一种形式的表述方法，而并不是另外定义一种新的矩阵运算。2.4.1分块矩阵的加法把m×n矩阵A和B作同样的分块：，其中，的行数的行数；的列数的列数，1ir，1js，则例1 设，都是四阶方阵的列向量分块矩阵。已知和，求出行列式的值。解：根据分块矩阵加法的定义知道，A+B的前三列都有公因数2，利用行列式性质2，提出公因数后可以求出再利用行列式的性质5