大学物理第八章电磁感应.

1、RNooiBne例例1.1.在匀强磁场中在匀强磁场中, , 置有面置有面积为积为S 的可绕轴转动的的可绕轴转动的N 匝匝线圈线圈 . .若线圈以角速度若线圈以角速度 作作匀速转动匀速转动. . 求求线圈中的感应线圈中的感应电动势电动势. .解解: 设设 时时,0tBne与与 同向同向 , tNBSNcostNBStisinddt任意任意t时刻，时刻，tItRisinsinmmRImm 可见可见,在匀强磁场中匀在匀强磁场中匀速转动的线圈内的感应电速转动的线圈内的感应电电流是时间的正弦函数电流是时间的正弦函数.这这种电流称种电流称交流电交流电.RNooiBnetNBStisindd令令NBSmti

2、sinm则则例例2.2.导线导线abab弯成如图形状，半径弯成如图形状，半径r=0.10mr=0.10m，B=0.50T ,B=0.50T ,转速转速n=3600n=3600转转/ /分。电路总电阻为分。电路总电阻为10001000 。求：感应电。求：感应电动势、感应电流、最大感应电动势和最大感应电流。动势、感应电流、最大感应电动势和最大感应电流。解：解：sn12030cosBSSBtrBcos22trBdtdisin22)(96. 2212VrBimtRrBRIiisin22)(96. 222mARrBIim ra ab b解：解：例例3.3.一长直导线通以电流一长直导线通以电流 ，旁边有一

3、，旁边有一个共面的矩形线圈个共面的矩形线圈abcdabcd。求：线圈中的感应电动势。求：线圈中的感应电动势。tIIosindtdirlrtlIoo12lncos21202lrrSdxlxISdBrlrtlI1200lnsin2dxlxISdBd202例例4.4.一根长为一根长为L L的铜棒，在均匀磁场的铜棒，在均匀磁场B B中以角速度中以角速度 在在与磁场方向垂直的平面上作匀速转动。求棒的两端与磁场方向垂直的平面上作匀速转动。求棒的两端之间的感应电动势大小。之间的感应电动势大小。L解：解：Lil dBv0)(LvBdl0LldlB0221LB动生电动势方向动生电动势方向: a: ao ov法一

4、：法一：法二：法二：221LS BSO Oa a b取闭合回路取闭合回路OabOOabO，顺时针绕向，顺时针绕向00dtd dtdBLdtdi221221BL 0 0动生电动势方向：动生电动势方向：a ao o例例5. 圆盘发电机圆盘发电机 半径为半径为 、厚度、厚度 的铜圆盘的铜圆盘,以角速率以角速率 ,绕通过盘心绕通过盘心 垂直垂直盘面的金属轴盘面的金属轴 转动转动 , 轴的半径为轴的半径为 , 且圆盘放在磁感强度且圆盘放在磁感强度 的均匀磁场中的均匀磁场中, 的方的方向与盘面垂直向与盘面垂直. 两个集电刷分别与圆盘的边缘和转轴相两个集电刷分别与圆盘的边缘和转轴相连连.计算它们之间的电势差

5、计算它们之间的电势差,并指出何处电势较高并指出何处电势较高. m100 . 13dBm2 . 11Rm100 . 232Roo1srad 25TB101RBr. .o oMNB22Ri 1Rd 因为因为 ，所以，所以不计圆盘厚度不计圆盘厚度.rd如图取线元如图取线元rd则则rBd)(divrBrrBd d v解：解： （方法一）（方法一）12diRRrBr)(212221RRBV226 圆盘边缘的电势高圆盘边缘的电势高于中心转轴的电势于中心转轴的电势.rBd)(di vrBrrBdd v1RBr. .o oMNB22Rird1RB. .o oB22Ri（方法二）（方法二）则则)( 22221R

6、RB)( 212221RRB 取一虚拟的闭和回路取一虚拟的闭和回路 并取其并取其绕向与绕向与 成右手螺旋关系成右手螺旋关系 .MNOMBMNtRRB)( 212221tddi)( 212221RRBMNOM 方向与回路方向与回路 绕向相反绕向相反,即盘缘电势高于中心即盘缘电势高于中心. 设设 时运动点时运动点 与与固定点固定点 重合即重合即 MN0t0则则 时刻时刻tt例例6.6.如图，无限长直载流导线近旁，一个矩形导体如图，无限长直载流导线近旁，一个矩形导体框在垂直于导线方向上以匀速率框在垂直于导线方向上以匀速率v v向右移动，向右移动，求在图求在图示位置处，线框中感应电动势的大小和方向。示

7、位置处，线框中感应电动势的大小和方向。Bl l1 1e ef fg gh hl l2 2I Id dv解解: :00l dBvfgehghefiBdlvBdlvghef2201000)(22lldlvldIdlvdI)(21210lddlIvl 0 0方向方向:efgh:efghghefl dBvl dBv)()(法一：法一：法二法二: : 设顺时针为绕行方向设顺时针为绕行方向Bl l1 1l l2 2I Ir rvt t时刻时刻)(2)(1210lrrvlIldtdrrlrIlxrdxIll120020ln2)(21)(21210lddvlIldri令0 0 x xdxdxx xdxlxrI

8、SdBd20)(2方向与绕行方向相同方向与绕行方向相同例例7.7.矩形导体线框，与长为矩形导体线框，与长为L L质量为质量为m m的运动导体棒构的运动导体棒构成闭合回路。回路平面与磁感强度为成闭合回路。回路平面与磁感强度为B B的均匀磁场垂的均匀磁场垂直直. .回路中电阻为回路中电阻为R,R,如果导体棒开始时以速度如果导体棒开始时以速度v v0 0沿图示沿图示矩形框运动，求棒的速度随时间变化的函数关系。矩形框运动，求棒的速度随时间变化的函数关系。解解: : 任意任意t t时刻时刻vBLldBvBAAB)(RBLvRIABLBlIdF方向方向ABAB感应电流感应电流安培力安培力RvLBIBdlF

9、L22F FR RI Idl运动方程运动方程RvLBdtdvm22dtmRLBvdvtvv2200tmRLBvv220lntmRLBevv)(022R RI IdlRvLBIBdlFL22F F例例8.8.在亥姆霍兹线圈中间轴上放一半径为在亥姆霍兹线圈中间轴上放一半径为0.1m0.1m的小线的小线圈，小线圈所包围的面积内磁场近似均匀。设亥姆霍圈，小线圈所包围的面积内磁场近似均匀。设亥姆霍兹线圈中通以交变电流，在小线圈附近产生的磁感强兹线圈中通以交变电流，在小线圈附近产生的磁感强度度B=5.0B=5.0 1010-3-3（sin100sin100 t)T t)T 。求小线圈中的感生电动。求小线圈

10、中的感生电动势和感生电场强度。势和感生电场强度。解：解：tB314sin100 . 53Br2t314sin1051 . 032)(314cos05. 0VtdtdirEl dEkLki2trEik314cos1 . 014. 3205. 02)(314cos08. 01mVt例例9.9.设有一半径为设有一半径为R , ,高度为高度为h 的铝圆盘的铝圆盘, , 其电导率其电导率为为 . . 把圆盘放在磁感强度为把圆盘放在磁感强度为 的均匀磁场中的均匀磁场中, , 磁磁场方向垂直盘面场方向垂直盘面. .设磁场随时间变化设磁场随时间变化, ,且且 为一常量为一常量. .求盘内的感应电流值求盘内的感

11、应电流值. .（圆盘内感应电流（圆盘内感应电流自己的磁场略去不计）自己的磁场略去不计）BktBddRBhrrdrrdh, R, h已知：已知：, , BktBdd求：求：I解：解： 如图取一半径为如图取一半径为 , ,宽度宽度为为 , ,高度为高度为 的圆环的圆环. .rrd h圆环中的感生电动势为圆环中的感生电动势为SLstBlEddddki2 dddrkstBS又又rhrRd 21 d所以所以rrkhdRIid2 drrdrrdhRrrkhII0d2 dhRk241例例10.10.半径为半径为R R的无限长直载流密绕螺线管，管内磁场的无限长直载流密绕螺线管，管内磁场均匀，管外磁场近似为零。

12、若所通电流均匀变化，使均匀，管外磁场近似为零。若所通电流均匀变化，使得得dB/dtdB/dt为常量，且为正值，求管内外由磁场变化激为常量，且为正值，求管内外由磁场变化激发的感生电场分布。发的感生电场分布。O OR Rr r解解: :螺线管内感生电场线是一系列螺线管内感生电场线是一系列以以O O为圆心的同心圆为圆心的同心圆, ,圆上各点圆上各点E Ek k大小相等大小相等, ,方向沿切向方向沿切向. .时Rr Lkil dEdtdrEdtdBrk22dtdBrEk21时Rr Lkil dEdtdrEdtdBRk22dtdBrREk22时Rr dtdBrEk21kEkEkELkLkixdExdE0

13、0cosrLR4cos22LkidxE0cosLdxrLRdtdBr022421 dtdBLRL2222L Ldxdx例例11.11.半径为半径为R R的圆柱形空间区域，充满着均匀磁场。的圆柱形空间区域，充满着均匀磁场。已知磁感应强度的变化率大于零且为恒量。求棒已知磁感应强度的变化率大于零且为恒量。求棒ABAB上上的感生电动势的感生电动势。解：法一解：法一2222LRLB dtdBLRLtddi2222法二法二求求感感生电动势的方法生电动势的方法: : dtdiLkil dE式只适用于无限长螺线管或磁场均匀的圆柱空间式只适用于无限长螺线管或磁场均匀的圆柱空间.O O0OBOA)(ldEk dt

14、dBLRLAB2222取顺时针为绕行方向取顺时针为绕行方向解：解：lIlNBISlNNBS2线圈体积：线圈体积：lSV lNn VnL2SlNIL2lSlN22例例12.12.长为长为 的螺线管，横断面为的螺线管，横断面为S S，线圈总匝数为，线圈总匝数为N N，管中磁介质的磁导率为管中磁介质的磁导率为 ，求自感系数。，求自感系数。llr rdrdr解：解：rIB2BldrBdSd12ln2221RRIlldrrIRR12ln2RRlIL例例13.13.有一电缆，由两个有一电缆，由两个“无限长无限长”的同轴圆桶状导的同轴圆桶状导体组成，其间充满磁导率为体组成，其间充满磁导率为 的磁介质，电流的

15、磁介质，电流I I从内桶从内桶流进，外桶流出。设内、外桶半径分别为流进，外桶流出。设内、外桶半径分别为R R1 1和和R R2 2 ，求，求长为长为 的一段导线的自感系数。的一段导线的自感系数。l解解: : 先设某一线圈中通先设某一线圈中通以电流以电流 I I 求出另一求出另一线圈的磁通量线圈的磁通量M 设半径为设半径为 的线圈中的线圈中通有电流通有电流 , , 则则1r1I1101101InIlNB例例14.14.有两个长度均为有两个长度均为 , ,半径分别为半径分别为r1和和r2（r1 r2）, ,匝数为匝数为N1和和N2的同轴长直密绕螺线管的同轴长直密绕螺线管. .求求互感互感 。 Ml

16、)(2112rlBn) (2112212rBNN则穿过半径为则穿过半径为 的线圈的磁通匝数为的线圈的磁通匝数为2r121210) (Irlnn) (21210121221rlnnINM2202202InIlNB) (2121rlBn221210) (Irlnn则则) (21210212112rlnnINM) (2121121rBNN 则穿过半径为则穿过半径为 的的线圈的磁通匝数为线圈的磁通匝数为1r 或或设半径为设半径为 的线圈的线圈中通有电流中通有电流 , , 则则2r2I) (2121021rlnnMMMM2112解：解：r rdrdrrIB2ddrrIBdSd2abaIddrrIdbaa

17、ln22abadIMln2例例15 15 在磁导率为在磁导率为 的均匀无限大磁介质中，有一无限的均匀无限大磁介质中，有一无限长直导线，与一边长分别为长直导线，与一边长分别为b b和和d d的矩形线圈在同一平的矩形线圈在同一平面内，求它们的互感系数。长直导线通以面内，求它们的互感系数。长直导线通以 电流时，求矩形线圈中的互感电动势。电流时，求矩形线圈中的互感电动势。tIIsin0abatIddtdIMMlncos20例例1616 自感分别为自感分别为L L1 1和和L L2 2，互感为，互感为M M的两线圈串联。的两线圈串联。如果两线圈的磁通互相加强，称为顺接（图如果两线圈的磁通互相加强，称为顺

18、接（图a a），），如果两磁通互相削弱，称为反接（图如果两磁通互相削弱，称为反接（图b b）。计算在）。计算在这两种接法下两线圈的等效总自感。这两种接法下两线圈的等效总自感。解：解：顺接顺接线圈线圈1 1中的电动势：中的电动势：dtdIMdtdIL11线圈线圈2 2中的电动势：中的电动势：dtdIMdtdIL22（图（图a a）1 12 2（图（图b b）2 21 1总自感电动势总自感电动势dtdIMLL)2(2121（图（图a a）1 12 2（图（图b b）2 21 1总自感系数总自感系数MLLL221反接：反接：MLLL221021LLLM则：则：顺接：顺接：04LL 反接：反接：0L总

19、自感电动势总自感电动势dtdIMLL)2(2121dtdIMdtdIL11dtdIMdtdIL22dtdIMLL)2(2121若两线圈完全耦合，且若两线圈完全耦合，且021LLL解：解：R2R1rIB2222282rIBwmrldrdV2法一：法一：lrdrrIdVwWRRVmm2821222I例例17.17.一根长直同轴电缆，由半径为一根长直同轴电缆，由半径为R R1 1和和R R2 2的两同心圆的两同心圆柱和圆筒组成，柱和圆筒组成，中间充以磁导率为中间充以磁导率为 的的磁介质，磁介质，电缆中电缆中有稳恒电流有稳恒电流I I经内层流进外层流出形成回路。计算长为经内层流进外层流出形成回路。计算长为 的一段电缆圆柱与圆筒间的磁场能量。的一段电缆圆柱与圆