二节正项级数-精选 ppt课件

1、第二节第二节 正项级数正项级数一、正项级数收敛的充分必一、正项级数收敛的充分必要条件要条件二、正项级数的比较判别法二、正项级数的比较判别法三、正项级数的比值判别法三、正项级数的比值判别法一 、正项级数收敛的充分必要条件正项级数 ，由于 ，因此1nnu可知数列 为单调添加数列., 2 , 1, 0nun,11211nnnnnnSuSuuuuS,21nSSS定理9.1 正项级数 收敛的充分必要条件为：它的前n项部分和所构成的数列 有上界.nS用反证法可知：1nnu 假设 的前n项部分和所构成的数列 无界，那么 必定发散，且 .nS1nnu1nnu1nnu 假设 发散，那么其前n项和所构成的数列 必

2、定无界.1nnunS二、 正项级数的比较判别法1nnu1nnv 设有两个正项级数 与 . 假设 ，那么有), 2 , 1(nnvunn,02121nnnnvvvuuuS 假设 发散，那么 必定发散.由于假设后者收敛，由前述可知 应收敛而引起矛盾.1nnu1nnv1nnu假设 收敛，可知 有上界，从而知 有界.再由正项级数收敛的充分必要条件可知 收敛.1nnvn1nnunS定理9.2(比较判别法) 设两个正项级数 与 假设满足1nnu,1nnv，), 2 , 1( nvunn那么(1) 假设 收敛，那么 收敛.1nnu1nnv(2) 假设 发散，那么 发散.1nnu1nnv留意：比较判别法的条件

3、，只需从某一项起), 1,( NNnvunn就可以.这将比定理8.2更适用.例1 断定级数 的收敛.12sinnn 解，且), 2 , 1(0,2sinnuunnn因此 为正项级数.12sinnn假设取 ，那么 为几何级数，公比 ，nnv2112nnnnv21r因此 为收敛级数.由比较判别法可知 收敛.112nnnnv12sinnn.22sinnnnu当x0时，有sin x0为常数.假设0p1时， 收敛.11npn项881814141414121211pppppppp它的各项不大于以下级数中的对应项.,151817161514131211pppppppp综合上述有. 10 , 1 ,11ppn

4、np发散收敛为常用的作为比较对象的级数有. 1 , 10 ,0rrarnn发散收敛为几何级数(a0)调和级数 发散.11nnp-级数. 10 , 1 ,11ppnnp发散收敛为例3 断定级数 的收敛性. 1211nn由于 发散，因此设nvn1 111nnnnv,1121111 22nnvnnnnu而解 所给级数的通项 与 为同阶无穷小，时，当nn1 112nun发散，又 1 11 121nnnnnnv. 11 12发散故nn例4 断定级数 的收敛性.1311nn解 所给级数的通项311nun因此设 .231nvn由p级数知， 收敛，11231nnnnv,111 233nnvnnu而由比较判别法

5、知 收敛.1311nn与 为同阶无穷小，231n时，当n推论 假设正项级数 收敛，且存在N，当 时，有 ，那么正项级数 也收敛.1nnvNn nnkvu 01nnu 假设正项级数 发散，且存在N，当 时，有 ，那么正项级数 也发散.Nn )0( kkvunn1nnu1nnv定理9.3(极限方式的比较判别法) 设 与 都是正项级数,且 ,那么 与 的收敛性一样.1nnv1nnu1nnv1nnulim( 0)nnnukv利用极限方式比较法,可以免去放大或减少un的困难.三、正项级数的比值判别法定理9.4 (比值判别法，又称达朗贝尔(dAlembert)判别法) 假设正项级数 满足 ，那么1nnun

6、nnuu1lim当 时， 收敛；11nnu 当 时， 能够收敛，也能够发散，即此时不能利用比值判别法断定 的收敛性.1nnu1nnu1当 时， 发散，并且此时 ；1nnu10limnnu!)!1() 1(limlim111nannanuunnnnnnnn例5 断定级数 收敛性.) e, 0( !1aanannnn解 原级数为正项级数，其通项为，)!(nanunnn)!1() 1(111nanunnn,e11lim1anannnnnann) 1(lim当ae时，原级数收敛；当0ae时，原级数发散.例6 断定级数 的收敛性.12112nnn解 所给级数为正项级数，其通项,1122nnun.1) 1

7、(1) 1(221nnun,11121) 1(1) 1(2limlim221nnnnuunnnn比值判别法失效，利用比较判别法2211limlim21nnnnnunvn留意到当n时, 与 为同阶无穷小量,令 那么 为发散级数.由于 2211nnun1n1nvn111nnnvn由极限方式的比较判别法知 发散.12112nnn例7 断定级数 的收敛性.1) 12(1nnn解 原级数为正项级数，其通项为,) 12(1nnun. 1) 1(2)1(11nnun,1) 12(1 1) 1(2)1(1limlim1nnnnuunnnn不能利用比值判别法断定，利用比较断定法留意到当n时, 与 为二阶无穷小量,由p级数猜测所给级数收敛1(21)nunn1n令 ,那么 为收敛级数,由于21nvn2111nnnvn211(21)limlim12nnnnunnvn由极限方式的比较判别法知 收敛.1) 12(1nnn 由例7，例8可知 ，正项级数 的比值判别法，对于 的情形失效.只能思索利用其他方法判定.1lim1nnnuu1nnu断定正项级数 的收敛性应留意以下几点：1nnu1.假设 易求，应先断定能否 ？假设 那么可知 发散.nnulim1nnu0limnnu0limnnu2.可以先思索利用比值判别法断定其收敛性.特别是 中含有因子n!的情形，利用比值判别法通常比较方便.nu