初等函数的连续性PPT学习教案

1、会计学1初等函数的连续性初等函数的连续性2定理1),()()()1(xgxf 函数函数差差和和如,),(cos,sin内连续内连续在在xx,tan x故故,)(),(0处连续处连续在点在点若函数若函数xxgxf则),()()2(xgxf 乘积函数乘积函数由于)()(, 0)()3(0 xgxfxg则商函数则商函数如果如果 xcot一、四则运算的连续性 也在点 x0连续; 在其定义域内连续.连续函数的运算与初等函数的连续性 在点 x0连续; 在点 x0连续.第1页/共24页3区间套定理 Def 3.10 设一组实数的闭区间序列满足：则称 构成一个区间套. Thm 3.16设 是一个区间套，则必存

2、在唯一的实数 使得 包含在所有的区间里，即 ,2,1,nbann;,2,1,)(11nbabainnnn,0)(lim)(nnnabii,nnba,nnba,rr. ,1nnnbar证明：P75第2页/共24页4的零点.,0)(的根的根是方程是方程 xf )(xfy 又称为函数又称为函数定理(方程实根的存在定理),)(baCxf 设设),(af且且,)(异号异号bf则至少存在一点则至少存在一点),(ba 使得, 0)( f).,(ba 零点定理几何意义: 如图所示.二、介值定理闭区间上连续函数的性质xyO)(xfy ba 证明：用区间套定理P75-76第3页/共24页5定理(介值定理),)(b

3、aCxf 设设),()(bfaf ,)(,)(BbfAaf 且且, 之间的任一数之间的任一数为介于为介于BAC),(ba 则则至至少少存存在在一一点点使得,)(Cf ).,(ba 证,)()(Cxfx ,)(baCx 则则Cafa )()( 且且,CA Cbfb )()( ,CB , 0)()( ba 使使),(ba , 0)( , 0)()( Cf 即即.)(Cf 零点定理闭区间上连续函数的性质 辅助函数第4页/共24页6几何意义:Cyxfy 与水平直线与水平直线连续曲线弧连续曲线弧)(至少有一个交点.闭区间上连续函数的性质xyO)(xfy 1 ABCba2 3 1P2P3P第5页/共24页

4、7如,上上在在2,2sin xyxyarcsin xyarccos xyarctan 结论: 反三角函数在其定义域内皆连续定理2故同理,上上在在1,1 xycotarc 内内在在),( 内内在在),( 上上在在1,1 二、反函数与复合函数的连续性单调增加且连续,单调的连续函数必有单调的连续反函数.连续函数的运算与初等函数的连续性也是单调增加且连续.单调减少且连续.单调增加且连续.单调减少且连续.证明：使用介值定理P76第6页/共24页8此定理对计算某些极限是很方便的.定理3)(xgfy 设函数是由函数)(ufy 与函数)(xgu 复合而成,.)(0ogfDxU ,)(lim00uxgxx 若若

5、而函数)(ufy 0uu 在在连续,则)(lim0ufuu )(lim0 xgfxx).(0uf 证, 0 ,)(lim00uxgxx 又又, 0 对对于于,0时时使当使当 uu, 0 .)()(0成立成立恒有恒有 ufuf, 0 ,00时时使当使当 xx.)(0成立成立恒有恒有 uxg,)(0连续连续在点在点uuuf 0uu 连续函数的运算与初等函数的连续性第7页/共24页9将上两步合起来:, 0 )()(0ufuf .成立成立 )()(lim00ufxgfxx.f, 0 , 0 对对于于,0时时使当使当 uu, 0 .)()(0成立成立恒有恒有 ufuf, 0 ,00时时使使当当 xx.)

6、(0成立成立恒有恒有 uxg0uu , 0 , 0 ,00时时使使当当 xx)()(0ufxgf , 0 ,00时时使当使当 xx.)()(0成立成立恒有恒有 ufuf)(lim0 xgxx连续函数的运算与初等函数的连续性第8页/共24页10f与与lim意义例解可交换次序;xxx 11sinlim求求由 )(limxgxusin所以 xxx11sinlim,连连续续在在eu sin xxx11lim.sine 2. 变量代换)(xgu 的理论依据. )(xgxxx 11lim, e xlimsinxxx 11sinlim1. 在定理的条件下,定理3,)(lim00uxgxx 若若,)(0连续连

7、续在点在点函数函数uuf)(lim0 xgfxx则有)(0uf .f )(lim0 xgxx连续函数的运算与初等函数的连续性第9页/共24页11例.)1ln(lim0 xxx 求求. 1 xxx10)1(lim eln 解xx)1ln( 这里xx1)1ln( 0 x在在不连续,但,)1(lim10exxx uln,连连续续在在eu 所以xxx)1ln(lim0 xxx10)1ln(lim ln定理3,)(lim00uxgxx 若若,)(0连续连续在点在点函数函数uuf)(lim0 xgfxx则有)(0uf .f )(lim0 xgxx连续函数的运算与初等函数的连续性第10页/共24页12例.1

8、lim0 xexx 求求. 1 0lim t解,1tex 令令),1ln(tx 则则,0时时当当 xttt10)1ln(1lim 同理可得axaxxln1lim0 . 0txexx1lim0 t)1ln(t xex1 , 0 x连续函数的运算与初等函数的连续性第11页/共24页13定理4)(xgfy 设函数是由函数)(ufy 与函数)(xgu 复合而成,.)(0gfDxU 若函数连续,0)(xxxgu 在在,)(00uxg 且且0 xx 在点在点而函数0)(uuufy 在在连续, 则复合而成)(xgfy 也连续.是由连续函数因此复合而成 例xy1sin uysin 内连续内连续在在),( xu

9、1 内内连连续续在在), 0()0,( xy1sin .), 0()0,(内连续内连续在在 连续函数的运算与初等函数的连续性第12页/共24页14三角函数及反三角函数(1)1, 0( aaayx内内在在),()1, 0(log aaxya内内在在), 0(2)(3)是连续的;三、初等函数的连续性单调且连续; 证明：P74指数函数对数函数单调且连续; xy xaalog ,uay xualog 内内在在), 0( (均在其定义域内连续 )(4) 幂函数连续; 讨论不同值.在它们的定义域内基本初等函数在定义域内是连续的.连续函数的运算与初等函数的连续性第13页/共24页15定义区间是指包含在定义域

10、内的区间.基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在定义区间内连续 1. 初等函数仅在其定义区间内连续, 如, 1cos xy,4,2, 0: xD这些孤立点的邻域内没有定义.注在其定义域内不一定连续;连续函数的运算与初等函数的连续性第14页/共24页16例. 1sinlim1 xxe求求1sin1 e原式原式. 1sin e例.11lim20 xxx 求求解解)11()11)(11(lim2220 xxxxx原式原式11lim20 xxx20 . 0 )(lim0 xfxx2. 初等函数求极限的方法注代入法.)(0定义区间定义区间 x0 x )(

11、f连续函数的运算与初等函数的连续性第15页/共24页17nnannana )21(12lnlim,21则则设常数设常数ealn211 连续函数的运算与初等函数的连续性解 nnannan)21(12lnlimlnnnan )21(11limln)21()21(11limlnannan )21(1a .211a nnannan )21(12lim第16页/共24页18四、小结连续函数的和差积商的连续性;复合函数的连续性:初等函数的连续性:求极限的又一种方法.两个定理; 两点意义.反函数的连续性;定义区间与定义域的区别;连续函数的运算与初等函数的连续性第17页/共24页19思考题1连续函数的运算与初

12、等函数的连续性如果函数 f (x)、g(x)至少有一个在点x0不那么, f (x) + g(x)在该点是否连续?连续,思考题2 (是非题) )(lim0 xgfxx)(lim0 xgfxx),(),(xguufy 设设,)(lim0存在存在且且xgxx)()(00 xguufy 在在处有定义,则第18页/共24页20解答连续函数的运算与初等函数的连续性思考题1如果函数 f (x)、g(x)至少有一个在点x0不那么, f (x) + g(x)在该点是否连续?连续,(1) 若两个函数 中只有一个在点x0不连续,则f (x) + g(x)在点x0必不连续. 用反证法证之:不妨设在点x0, 并假设 f

13、 (x) + g(x)在点x0连续, 则由连续函数的运算性质有:)()()()(xfxgxfxg 在点x0连续,与已知矛盾. 故 f (x) + g(x)在点x0不连续. f (x)连续, g(x)不连续;第19页/共24页21解答连续函数的运算与初等函数的连续性思考题1如果函数 f (x)、g(x)至少有一个在点x0不连续,(2) 若f (x)、g(x)在点x0均不连续,则 在f (x) + g(x)在点x0可能连续,那么, f (x) + g(x)在该点是否连续?也可能不连续.如: , 0, 0, 0, 1)(xxxf , 0, 1, 0, 0)(xxxg在 x = 0处均不连续,1)()

14、( xgxf但但在 x = 0处在 x = 0处连续. , 0, 0, 0, 1)(xxxf又又 , 0, 1, 0, 2)(xxxg在 x = 0处均不连续, , 0, 1, 0, 3)()(xxxgxf在 x = 0处亦不连续.第20页/共24页22思考题2 (是非题) )(lim0 xgfxx)(lim0 xgfxx),(),(xguufy 设设,)(lim0存在存在且且xgxx)()(00 xguufy 在在处有定义,则连续函数的运算与初等函数的连续性非 , 0, 1, 0, 1)(uuufy设设,sin)(xxgu ,00处处在在 x, 0sinlim)(lim00 xxgxx故. 1)0()(lim0 fxgfx但 .)22()12(, 1,)12(2, 1)( nxnnxnxgf., 2, 1, 0 n第21页/共24页23连续函数的运算与初等函数的连续性思考题2 (是非题) )(lim0 xgfxx)(lim0 xgfxx),(),(xguufy 设设,)(lim0存在存在且且xgxx)()(00 xguufy 在在处有定义,则1)0()(lim0 fxgfx .)22()12(, 1,)12(2, 1)( nxnnxnxgf., 2, 1, 0 n, 1)(lim0 x