有题目——多自由度振动-拉格朗日方程

1、多自由度系统振动姓名: 何江波学院: 机械工程学院邮箱：2022-5-20教学内容 拉格朗日方程 多自由系统的无阻尼自由振动2拉格朗日方程3m1m2k3k1k2F1(t)F2(t)m3k4k5k6F3(t) g1mg2mAB)(tFkx对于如图所示的三质量系统，有6个弹簧，三个外界激励，求系统的动力学方程。 图示机构在铅垂面内运动，均质杆AB用光滑铰链与滑块连接。求系统动力学方程。AB2L拉格朗日方程4单自由度系统受迫振动的动力方程： mcx kx( )F tkcx0m( )F t mx cx kxF t 212d mxdkxF tcxdtdx 221122dddmxkxF tcxdt dxd

2、x ddTdVF tcxdt dxdx对于多自由度系统，能否从能量入手建立动力方程？动能：T，势能：V拉格朗日方程5 1736年1月25日生于意大利西北部的都灵, 1813年4月10日卒于巴黎。19岁就在都灵的皇家炮兵学校当数学教授。 他用纯分析的方法发展了欧拉所开创的变分法， 为变分法奠定了理论基础。 他的论著使他成为当时欧洲公认的第一流数学家。 1766他应邀去柏林，居住达20年之久.在此期间，他完成了分析力学(1788出版)一书， 这是牛顿之后的一部重要的经典力学著作。 书中运用变分原理和分析的方法，建立起完整和谐的力学体系，使力学分析化了。他在序言中宣称：力学已经成为分析的一个分支。拉

3、格朗日方程先看一个例子：图示双摆，质量m1， m2在平面摆动。 因此，只有两个坐标独立。广义坐标：),(11yxL1L2xy12),(22yxm1m2可以取四个直角坐标 来描述系统的运动。 11(,)x y22(,)xy但这四个直角坐标不独立，有：22211122221212(-)(-)xyLxxyyL能完备的描述系统运动的一组独立的坐标叫广义坐标。本例中，可选 作为广义坐标；也可选 作为广义坐标。12(,) 12(,)x x6拉格朗日方程7ddjjjLLQtqq拉格朗日方程（ Lagrange 方程）:应用Lagrange方程建立系统动力学方程的基本步骤：1、确定系统的广义坐标；2、用广义速

4、度和广义坐标给出系统的动能和势能；3、给出系统的拉格朗日函数；4、确定系统的广义力；5、拉格朗日函数、广义力带入Lagrange方程广义坐标: ；拉格朗日函数: LT-V；动能: ；势能(包括重力势能和弹性势能): ；广义力：11(, )kkTT qq qq t12,kqqq1( , , )kV V qqjQ拉格朗日方程8单自由度系统受迫振动的动力方程：kcxm( )F t应用Lagrange方程建立系统动力学方程的基本步骤：1、广义坐标 x2、动能，势能：3、拉格朗日函数：4、系统的广义力：5、拉格朗日函数、广义力带入 Lagrange方程：2211,22Tmx Vkx221122L T V

5、mxkx ddLLF ttxx mx kxF tcx F tcx 拉格朗日方程9 g1mg2mAB)(tFkx图示机构在铅垂面内运动，均质杆AB用光滑铰链与滑块连接。求系统动力学方程。AB2LAvx coscxvx L sincyvL2222221212222211112()cos222231(1 cos )2ccTm xm vJmmxm xLm LVm gLkx1、选定广义坐标 x， 质量块速度为：均质杆转动速度为： 均质杆质心的速度为：AB2、动能和势能分别为：拉格朗日方程104、广义力：5、建立系统动力学方程：( ),0 xQF t Q g1mg2mAB)(tFkx22221222212

6、1()cos(1 cos )232L T Vmmxm xLm Lm gLkx dd,ddxLLLLQQtxxt212222222()cossin( )1(2 )cossin03mmxm Lm LkxF tmLm Lxm gL3、拉格朗日函数拉格朗日方程11m1m2k3k1k2F1(t)F2(t)m3k4k5k6F3(t) 对于如图所示的三质量系统，有6个弹簧，三个外界激励，求系统的动力学方程。 拉格朗日方程12m1m2k3k1k2F1(t)F2(t)m3k4k5k6F3(t)对于如图所示的三质量系统，有6个弹簧，三个外界激励，求系统的动力学方程。 22211223312345622222211

7、122213332443552662111222111111,222222Tm xm xm xVVVVVVVVk x VkxxVkxxVk x Vk x Vk x1、选定广义坐标 x1， x2， x3 2、动能和势能分别为：拉格朗日方程135、建立动力学方程：4、广义力：F1， F2， F3123456LTVVVVVV123112233ddd,dddLLLLLLFFFtxxtxxtxx1 11 12121222213235262233332433m xk xkxxFm xkxxkxxk xk xFm xkxxk xF3、拉格朗日函数拉格朗日方程141 11 12121222213235262233332433m xk xkxxFm xkxxkxxk xk xFm xkxxk xF11122112222356322333343