专升本资料5-2(多元函数积分学)

1、四川省普通高等学校“专升本”选拔高等数学考试大纲（理工类）总体要求考生应理解或了解高等数学中函数、极限、连续、一元函数微分学、一元函数积分分学、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程以及线性代数的行列式、矩阵、向量、方程组的基本概念与基本理论；掌握上述各部分的基本方法。应注意各部分知识的结构及知识的内在联系；应具备一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力；能运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明，准确、简捷地计算；能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。本大纲对内容的要求由低到高，对概念和理论分为“了解”和“理解”两个层次；对方法和运算分为“

2、会”、“掌握”、“熟练掌握”三人层次。考试用时：120分钟考试范围及要求一 函数、极限和连续二 一元函数微分学三 一元函数积分学四 向量代数与空间解析几何五 多元函数积分学（一）二重积分1. 理解二重积分的概念及的性质。性质1 有限个函数代数和的积分等于各个函数积分的代数和（也叫逐项积分），即 性质2 常数因子可以提到积分号外作因子，即 其中相对积分变量与而言是常数。性质3 （可加性） 二重积分对积分区域具有可加性，即，若，则 性质4 如果在上，为的面积，那么 性质5 (比值定理) 如果在上，那么 性质6 (估值定理) 设、分别是在上的最大值和最小值，为的面积，那么 性质7（二重积分中值定理）

3、 如果在闭区域上连续，为的面积，那么在上至少存在一点，使得 2. 掌握直角坐标系下及极坐标系下二重积分的计算方法。（1）型积分区域： 区域可表示为： （2）型积分区域：区域可表示为： 综合上所述，在直角坐标系下计算二重积分的一般步骤和方法是： 作出积分区域示意图，通过解方程组求出积分区域边界曲线交点的坐标； 根据被积函数和积分区域的特点，决定二次积分的顺序； 将区域看作为型或型积分区域，并用相应的不等式组表示； 确定每个单积分的积分上（下）限，将二重积分化为二次积分（这是关键步骤，尤其是在直角坐标系下交换二次积分顺序时，更为重要）； 计算出两个单积分，得到二重积分的结果。例 1 （攀枝花学院：

4、 理科解答题6分）3、计算二重积分，其中是由曲线和围成的区域.例 2 （攀枝花学院： 文科解答题6分）计算二重积分，其中是由曲线和围成的区域.例 3 （成都理工大学2013： 理科及文科解答题8分）计算二重积分：；其中D：；（3）极坐标系下的二重积分的计算当极点与原点重合、极轴正方向与轴正方向重合且有相同长度单位时，平面内点的直角坐标与其极坐标有变换关系 ， 显然，被积函数可变换为 极点在积分区域的外部时，积分区域可用不等式组表示，从而二重积分化为： 极点在扇形积分区域的顶点处时，积分区域可用不等式组表示，从而二重积分化为： 极点在积分区域的内部时，积分区域可用不等式组表示，从而二重积分化为：

5、 极坐标系下计算二重积分的一般步骤和方法是： 根据被积函数和积分区域的特点选择适当的坐标系。如果积分区域属于圆面域、扇面域、圆环域等与圆有关的区域，或者被积函数具有特点时，可以试用极坐标计算二重积分；否则，试用直角坐标计算二重积分。 作出积分区域示意图，计算出积分区域边界曲线交点的坐标，用几何直观法，将区域看作型、型、极坐标型区域，并用相应的不等式组来表示。 确定两个单次积分的上、下限，将二重积分化为二次积分（这是最关键的步骤）。 依次计算出两个单积分（注意使用某些运算技巧），得到二重积分的结果。例1 （攀枝花学院： 文科解答题6分） 计算，其中是由不等式所表示的区域。（3）交换积分次序的方法

6、 根据原来二次积分写出积分区域的不等式组表达式； 画出区域的示意图，并将区域看作为另一类型的积分区域，写出相应的不等式组表达式； 将原二次积分化为新的二次积分。例1 （攀枝花学院：文科选择题3分）交换积分次序为 （ ）.（A）.（B）.（C）. （D）. 例2 交换积分次序例 3 （成都理工大学2014：选择题3分）7二次积分在直角坐标系下可以表示为【 】（A）； （B）；（C）； （D）.3. 会用二重积分解决简单的应用问题（限于空间封闭曲面所围成的有界闭区域的体积）。 当时，以为底，曲面为曲顶的柱体体积为当时，曲顶的柱体体积为空间曲面的面积：设曲面方程为 ，曲面在面内的投影区域为D，例1

7、（成都理工大学2013： 理科解答题8分）设有一高度为的雪堆，其侧面满足方程，求该雪堆的侧面积与体积例2 （成都理工大学2014： 理科解答题8分）20. 形状如，的碗形容器。请你给碗标上刻度（高度间隔），使其能够成为一个测量容积的测量器。例3 计算由两个椭圆抛物面与所围成立体的体积。（三）曲线积分1. 了解对坐标曲线积分的概念及的性质。 2. 掌握对坐标曲线积分的计算。 设有向光滑连续曲线的参数方程为（为参数）。如果（1）与起点对应，与终点对应，当从变到时，动点从点沿变到点；（2）函数和都在上连续；（3）和在区间（或）上连续； 那么 例1 （成都理工大学2014：选择题8分）设是平面内任意一

8、条简单闭曲线且取正方向，点在曲线围成的区域内部，则曲线积分的值是【 】（A） （B） （C） （D）例2 计算曲线积分，其中，为椭圆上从点到点在第一象限的有向弧段。例3 计算曲线积分，其中，为抛物线上从点到点的有向曲线弧段3. 掌握格林公式，掌握曲线积分与路径无关的条件，并会应用于曲线积分的计算中。（1）格林公式 若是由光滑（或分段光滑）的闭曲线围成的平面有界闭区域，二元函数和在上具有一阶连续偏导数，则 其中积分路径取关于区域的正方向。（2）曲线积分与路径无关的条件设函数、都在单连通区域内具有一阶连续偏导数，是内任意光滑（或分段光滑）简单曲线。曲线积分在内与路径无关 例1 计算曲线积分，其中是

9、椭圆曲线上从点到点在第一象限有向弧段。六 无穷级数（一）数项级数1. 理解级数收敛、发散的概念掌握级数收敛的必要条件，了解级数基本性质。2. 掌握正项级数的比较判别法、比值判别法、根值判别法。3. 掌握几何级数、调各级数与p-级数的敛散性。4. 会使用莱布尼茨判别法。5. 理解绝对收敛与条件收敛的概念，会判定任意项级数的绝对收敛与条件收敛的方法。（二）幂级数1. 了解幂级数的概念。2. 掌握幂级数在收敛区间内的逐项求导与逐项积分的性质与方法。3. 掌握幂级数的收敛半径、收敛区间（不要求讨论端点）的方法。4. 会运用 、的麦克劳林展开式，将一些简单的初等函数式展开为或的幂级数。七 常微分方程（一

10、）一阶微分方程1. 理解微分方程的定义，理解微分方程的阶、解、通解、特解及初始条件。2. 掌握可分离变量微分方程的解法。3. 掌握一阶线性微分方程的解法。（二）二阶线性微分方程1. 了解二阶线性微分方程解的结构。2. 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法。3. 了解二阶常系数非齐次线性微分方程的解法（自由项限定为，其中为的次多项式，为常数）。八 线性代数（一）行列式1. 理解行列式的概念，掌握行列式的性质。2. 会用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式。（二）矩阵1. 理解矩阵的概念，了解单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵和反对称矩阵以及它们的性质。2. 掌握矩阵的线性运算、乘法、转置、方阵乘积的行列式及它们的运算规律。3. 理解逆矩阵的概念，掌握矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴伴随矩阵求矩阵的逆矩阵。4. 掌握矩阵的初等变换，了解矩阵秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法。（三）向量1. 理解n维向量的概念，向量的线性组合与线性表示。2. 理解向量组线性相关或线性无关的定义，掌握判别向量组线性相关的方法。3. 了解有关向量组