《常微分方程》(第三版)课后答案

1、常微分方程2.11. dx 2xy,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得dy 2xdx ,两边同时积分得： ln y x2 c,即y c ex把x 0, y 1代入得2c 1,故它的特解为 y ex。2.y2dx (x 1)dy 0,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得:dx 工dy,当y 0时，两边同日t积分得；ln x 1 c,即y 1x 1 yyc In x当y 0时显然也是原方程的解。当x 0,y 1时，代入式子得c 1,故特解是y 1 ln 123 虫dx1 y3xy x y解：原式可化为:2 2曳 匚土？二显然Ly 0,故分离

2、变量得dy dxdx y x x y1 y x x2cx121222两边积分得 In 1 y In x In 1 x lnc(c 0),即(1 y )(1 x)222故原方程的解为(1 y)(1 x ) c x4：(1 x)ydx (1 y)xdy 0解：由y 0或x 0是方程的解，当xy 训，变量分离1_xdx 1ydy 0 xy两边积分 ln x x In y y c,即 In xy x y c,故原方程的解为ln xy x y c; y 0; x 0.-26 -5:(y x)dy (y x)dx 0解.dyy x 令 y u vux dyuxdu, u, yux,uxdx y x xdx

3、 dx则U xdu ，变量分离，得：上;du 1dxdx u 11 x12两边积分得：arctgu ln(1 u ) ln|x c。dy22x_du,则原方程化为: dxdx y x y ux解：令 y u, y ux,dy u xdxdudx22' x "-u-L分离变量得：,1 du sgnx?-dxx1 u2x两边积分得：arcsin u sgnx ? ln|x| c代回原来变量，得 arcsin sgn x ?ln|x c x一，22另外，yx2也是方程的解。7 : tgydx ctgxdy 0解：变量分离，得： ctgydy tgxdx 两边积分得：ln|sin y

4、| ln|cos x| c.2y 3xo. dy e8 ：dx y解：变量分离，得y2eydy1 3x3e9:x(lnx ln y)dy ydx 0解：方程可变为：lny?dy -dx 0x x令u ',则有：1dxln u-d ln ux x 1 ln u代回原变量得:y cy 1 ln - °xdy x y10 e dx e解：变量分离 两边积分eyyxe dy e dxxe cdy x y忌e解：变量分离，e，dy e'dx两边积分得：ey ex c 11.dx (x y)2解：令x y t,则业由1 dx dx原方程可变为：虫-12 1dx t1变重分离得：出

5、 dx,两边积分arctgt x ct 解：方程组2x y 1 0,x 2y 1 0;的解为x代回变量得：arctg (x y) x c12.dy 1dx (x y)2令x X 3，yY 1,则有dY 3 dX2X Y, X 2Y，丫 一.、一一 一令Y U,则方程可化为:X2X dU 2 2U 2UdX 1 2U令x y t,则曳由1,原方程可变为 史 1dx dxdx t、口t2变重分离 fdt dx,两边积分t arctgt x c,代回变重 t2 1x y arctg (x y) x cdy 2x y 113.dx x 2y 1变量分离dy15.限(x 1)22(4y 1) 8xy 1

6、7)dt 7dx7x c.dy 14,-dx解：令 x y 5 t,则 dy 1 , dx dx原方程化为：1里 ，变量分离(tdx t 72两边积分1t 7t 7x c212代回父:重-(x y 5) 7(x y 5)4y 1)2 229u ,46x c,是解：方程化为 dy x2 2x 1 16y2 8y 1 8xy 1 (x dx令1 x 4y u,则关于x求导得1 4dy曳，所以1包dx dx 4 dx分离变量 一2 du dx, 两边积分得 arctg (- - x - y) 4u 9333原方程的解。16.dy y6 2x2dx 2xy5 x2y2解:,，3、 2 _2,33、2

7、_2.dy (y ) 2x dy 3(y ) 2x 令 y3 dx y2 (2xy3 x2 dx 2xy3 x2 ''u,则原方程化为3u2du 3u2 6x2x26x丁2""dx 2xu x c u2- 1 x这是齐次方程，令udu dz 3z 6一 乙则 z x ，所以xdx dx 2z 1当 z2 z 6 0,得 z 3或z2是(1)dzdzz x,xdxdx方程的解。即y32z z 62z 13x或y32x是方程的解。当z22z 11z 6 0时，变重分离 2dz - dx,两边积分的(z 3) (z 2)z z d x5x c,即(y3 3x)7(

8、y3 2x)3 x5c,又因为 y3 3x或y32x包含在通解中当c 0时。故原方程的解为(y3 3x)7(y3 2x)3 x15c17.3dy 2x 3xy x丁 2 Z3dx 3x y 2y y解：原方程化为dy x(2x：刃： ；尤2x： 3y2 1dx y(3x 2y 1) dx 3x 2y 12V y u,；2du 2v 3u 1；x v；则.dv 3v 2u 12v方程组3v3u 1 0 一一 .的解为（1, 1）;令Z v 1, , Y u 1,2u 1 02 3-则有 2z3y0, ,从而方程（1）化为dyz3z2y0dz& o 丫3 2 z2 2t20时,z巴，所以t

9、 dzdtz dz2 3t dt,z3 2t dz1,是方程(2)的解。得y22或y22 2t23 2tx2是原方程的解当3 2t12 2t2 0时，分离变量得 上一2dt 1dz两边积分的y2 x2 (y2 x2 2)5c2 2t2z另外y2 x2 2,或y2x2,包含在其通解中，故 原方程的解为y2 x2 (y2 x2 2)5c18.证明方程)dy f(xy)经变换xy u可化为变量分离方程，并由此求解下列方程 y dx(1) .y(1 x2y2)dx xdy.22x dy 2 x y22y dx 2 x y证明：因为xy u,关于x求导导得y阳 1 dudu得：1 f(u),y dxdx

10、 y(f(u) 1)故此方程为此方程为变程。dy x -dx u(f(u) xdy,所以xdy四ydx dx dx1 .1) - (uf(u) u)x解(1):当x 0或y 优原方程白解，当xy0s时，方程化为令xy u,则方程化为由dx-(2u x3u，变量分离得:du32u ux dy y dx-dx x2两边同时积分得:一uu 2cx,即工x2y_2y 2cx2,y0也包含在此通解中。2故原方程的解为*y2 2x y 22cx ,x0.解(2)令xyu,则原方程化为业 dx1/ 2(u -x 22 u-2 uu)1 4u，、一2分离变量得22 du4u1 一dx,两边积分得In xx22

11、一C,这也就是方程的解。3 dyy ; dx2x c代入f(x)dt01. 2x c19.已知 f(x) f(x)dt 1, x 0,试求函数f (x)的一般表达式0x,解：设f(x)=y, 则原方程化为f(x)dt 1 1百；;； 行 x c 37; y两边求与得 0y11, dtV2xC； G2x c <c) 2Xx c4c 0,所以 y -=0 .2t c. 2x20.求具有性质X(t+S尸 xx(s)的函数 x(t),已知1 x(t)x(s)x'(0)存在。解：令 t=s=0 x(0)=x(0) x(0) = 2x(0)若 x(0) 0 得1 x(0)1 x(0)x(0)

12、' /x2=-1矛盾。所以x(0)=0.,、 2、x' (t)= limx-t) x(t) lim x( t)(1 x (t) x'(0)(1 x2(t) tt1 x(t)x( t), x (0)(1 x (t)(2)x'(0)dt 两边积分得 arctg出1 x2(t)x(t)=x，(0)t+c 所以 x(t)=tgx ，(0)t+c 当 t=0时x(0)=0 故c=0所以x(t)=tgx ' (0)t习题2.2求下列方程的解1 . dy = y sin x dx解： y=e dx( sinxe dx dx c)=ex- 1 e x ( sin x c

13、osx)+c=c e x- - ( sin x cosx)是原方程的解。2.解:dx +3x=e2t出原方程可化为:-=-3x+e2t3.解:4.解:5.所以：x=e=e=c e3dt (3t 15 5dte2t ee5t +c)3t+1e2t5ds =S cost +- sin 2tdt2costdts=e ( 1sin2te 2=e sint ( sin tcostesintdt=e sint( sintesintsin t=ce当xydx nsint原方程可化为:5+3y dx x21 =0解：原方程可化为:6.43dy x xdx xy2sint e3dtdtc)3dt、dt c)是原

14、方程的解。是原方程的解。ndydx为常数.xynn_ dxe x (n xx (en一dxx dx c)c)dy _ 1 2x£=-Ty是原方程的解.2x 11 2x2 dx /2 dxy e x ( e x dx c)(ln x2 )In x2 e 2 ( exdxc)1= x2(1 cex)是原方程的解.解:43dy x xdx xy令y ux因此：u3二十_yy2x则y uxdu xx = 2dx u2du 1dx u2u2du dx1 3-u x c3dy=udu x -dxu3 3x x c将u带入 （*）中x(*)得:y3 3x4 cx3是原方程的7弓解:dydx2yx

15、12y(x 1)3P(x),Q(x)1)3(x1)3(x1)2_24P(x) dxdxe e方程的通解为：即:y二e=(x+1)(=(x+1)(=(x+1)2y=c(x+1)P(x)dx(P(x)dxQ(x) dx c)(x 1)2*(x+1)dx+c)(x+ 1)dx+c)2,(x 1)* * 2、(丁 c)2+(x+1)4为方程的通解。8.曳 dx解d - dyy1 - -,Q(y) yP(y)dye方程的通解为:-dyyx=eP(y)dy(P(y)dye Q(y)dy c)=y(1* yy2dy c)cy解.即x二亡+cy是方程的通解，且y=0也是方程的解。 29.dy aydxx,a为

16、常数 x解：P x)P(x)dxe,Q(x)xa .-dx_ xaex xP(x)dx P(x)dxc)方程的通斛为：y=e (e Q(x)dxa/ 1 x+1 ,、=x(dx+c)xa x当a 0时，方程的通解为y=x+ln/x/+c当a 1时，方程的通解为y=cx+xln/x/-1当a 01时，方程的通解为a x 1y=cx+1- a ady 310.xy xdx解:dy1y x3dxxL,1 3P(x),Q(x)xx1,P(x)dx-dx1e e x-x方程的通解为：P(x)dxP(x) dxy= e ( e Q(x)dx c)3 . 、=(x* x dx c)x3=x_ c4 x3方程

17、的通解为：y=-4 xxydy 11.dx解嗖xy两边除以y dy y3dx dy-2dx令y223xy x23、2( xy x )zdz 2( xz x3)dxP(x) 2x,Q(x) 2x3p x2xdxx2e dx e e方程的通解为：p xp xz= e dx( e dxQ(x)dxx2x23=e( e ( 2x )dx c)=x2 cex21故方程的通解为：y2(x2 cex1) 1,且yc)0也是方程的解。c 212.( y In x 2) ydx xdy x 4解：电” y22 dx x x两边除以 y21dy In x 2 yy 2dx x x11dy In x 2 ydx x

18、 x令y 1 zdz 2 In xz dx x x2In xP(x) 一,Q(x) xx方程的通解为：In x 1P(x)dxP (x)dxe ( e Q (x)dxc)227dx-dxin x2/ 1 / ln xz e x ( e x ( )dx c) x ( ( ) dxxx xc 2 in x 1x -424方程的通解为：y(cx2 詈 1) 1,且y=0m是解。c)1322xydy (2y x)dx2dy 2y x y 1dx 2xy x 2y这是n=-1时的伯努利方程两边同除以1, ydy y2 1y dx x 2令 y2 z dZ 2ydy dx dxdz 2y22z11dxxx

19、P(x)= 2 Q(x)=-1x由一阶线性方程的求解公式2dx2dxz e x ( e x dx c)14dy ey 3x12-dx x，y、2- y两边同乘以eyeydy (e) 23xedx x今 °ydz oy dyV e z e dx dx.22乎z 3xz 3z Z_ 这是n=2时的伯努利方程dx x x x两边同除以z2dT1 dzdTdxz dxdx1 dz 7 z dx31一 2 xz x3T x12 xP (x) =3Q(x)=xx由一阶线性方程的求解公式3dxT e x (z(ey(1x3(1 x211x211-x21x1x213-dxx dx c)c)3 cx3

20、cx ) 13cx ) 1-x e2123x x e2cey15dydxxydx dy3 3yx y x这是n=3时的伯努利方程。两边同除以x34生工y3x dy x人 2dz 3dx xz 2xdy dy32y"2x 2y3= 2yz 2y3 P(y)=-2y Q(y)=由一阶线性方程的求解公式2ydy2ydyz e ( 2y3edy c) yy2=y 1 ce3 y2=e ( 2y e dy c)2/2y2、x ( y 1 ce ) 12 y2 /2y2、y2x e ( y 1 ce ) ey222 22e (1 x x y ) cx16 y= ex+0y(t)dtdy xy(x

21、)edxdy dxP(x)=1 Q(x)=ex由一阶线性方程的求解公式1dx x 1dxy e ( e e dx c)一 _xx_ x=e ( e e dx c)ex(x c)x xxxc)dxe (x c) e ° e (xc=1y=ex (x c)17设函数 于0°<t< 00上连续，(0)存在且满足关系式(t+s尸(t) (s)试求此函数。令 t=s=0 得(0+0)= (0) (0)即(0)= (0)2故(0) 0 或(0) 1(1)当(0) 0 时 (t) (t 0)(t) (0)即 0t ( OO, OO)(t) (t)t(0) 1时(t t) (t

22、).(t) lim-limt 0tt 0一 lim t 0(t) 1)二lim(t 0) t(0)(t)(0) (t)于是d(0) (t)变量分离得幺'(0)dt积分ce(0)t由于(0) 1,即 t=0 时 11= ce0 c=1故(t) e'(0)t20.试证：(1) 一阶非齐线性方程(2 .28)的任两解之差必 为相应的齐线性方程(2.3)之解；(2)若 y y(x)是(2.3)的非零解,而 y y(x)是(2.28) 的解，则方程(2.28)的通解可表为y cy(x) y(x),其中c为任意常数.(3)方程(2.3)任一解的常数倍或任两解之和 (或差)仍是方程(2.3)

23、的解.证明：孚 P(x)y Q(x)(2.28)dx P(x)y(2.3)(1)设y, y2是(2.28)的任意两个解则dy1 P(x)y Q(x)(1)dx华 P(x)y2 Q(x)(2)(1)-得d yi y2dxP(x)(yi y2)即y yi y2是满足方程(2.3)所以，命题成立。(2)由题意得：竿 P(x)y(3)dxd) P(x)y(x) Q(x)(4)dx1)先证y cy y是(2.28)的一个解于是c 3 4得cdy d ydx dxcP(x)y P(x) y Q(x)d(cy y)dxP(x)(cy y) Q(x)故y cyy是(2.28)的一个解。2)现证方程(4)的任一

24、解都可写成cy y的形设yi是(2.28)的一个解则 孚 P(x)yi Q(x)(4')dx于是 (4')- (4)得州T P(x)(yi y)dx从而yi y ce P(x)dx cy即yi y cy所以，命题成立(3)设y3, y4是(2.3)的任意两个解则dy3 P(x)y3(5)dx普 P(x)y4(6)dx于是(5) c得/cP(x)y3dx即哼32 P(x)(cy3)其中c为任意常数dx也就是y cy3满足方程(2.3 )(5)(6)得竽孚 P(x)y3 P(x)y, dx dx即 d2 P(x)(y3 y4)dx也就是y y3 y4满足方程(2.3)所以命题成立。

25、21.试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程并求解。(5)曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方；(6)曲线上任一点的切线的纵截距是切点横坐标和 纵坐标的等差中项；解：设p(x,y)为曲线上的任一点，则过P点曲线的切线 方程为Y y y'(X x)从而此切线与两坐标轴的交点坐标为-51 -(x ,0),(0, y xy') y即横截距为纵截距为由题意得：xy(5)y xy方程变形为于是所以,(6)dy x 一dx dy dxy1 yx1 -dxx (enx1()dxx)e x dx c)x)e nxdx c)x ( ( x) x dx c)x(x( x2x1、，x

26、g-)dxxc)cxc)方程的通解为y xy'方程变形为xdydx dy dx于是 y217 y 2xdxe 2x (1 一51nlxe2 (2x cx ox2122)e(=)dx2x dx c)1 ，121nlx")e dx c)c)11 , ,2(2)lxl dx1x2(；gx2)dxc)1x2(1x2c)1cx2所以，方程的通解为1cx222.求解下列方程。(1) (x2 1)y'xy 0解：y'xy 1x21yx24dx ec)/x211/21/x2-dx 1/2c/ x211/2dx/x231”cy sin xcosx y.3sin xdydx.2

27、sin xsin xcosxcosxP(x)=sin xcosxQ(x)=_._2 sin xcosx-dx y e sinxcosx由一阶线性方程的求解公式_/ 1sin x dx(sne s1nxe0sx dx c)cosxsin x ( cosxsin xdx c)sin x ,、(cosx c) cosxtgxc sin x习题2.31、验证下列方程是恰当方程，并求出方程的解。1.(x2y)dx (x2y)dy 0解:所以此方程是恰当方程。2x dx 2ydy (ydx xdy)y2 C1 3 x xy32.(y2、3x )dx (4yx)dy 0解:所以此方程为恰当方程。,IC 2,

28、4,ydx xdy 3x dx 4ydy3x xy2y2 C3.dx -y (x y)2dy解:(x y)4_2_ 2_2y(x y) 2y (x y)( 1) 2xy(x y)3N 2x(x y)y ,u in x in y yx y 2x2(x y) 2xy(x y)(x y)4则也x因此此方程是恰当方程。(x y)2 x(1)2x(x y)2对（1）做x的积分，则u2/dx1 dx (y)xln x(y)(3)对（3）做y的积分，则y2(1)y (x y)2y(x y)2d (y)dyc2，、2xy y d (y)(x y)2dyy (x y)2则 dJl)dyy2 2xy2y (x y

29、) (x y)22x 2xy y(x y)2ln - x22y xy yx y，、，1(y)(一 1)dy in y yy故此方程的通解为in2上Cx x y4、2(3xy2 2x3)dx 3(2x2 y y2)dy 0解:12xy)12xy .则此方程为恰当方程。凑微分，6xy2dx 4x3dx 6x2ydy 3y2dy 0 2 2433d(x y ) d(x ) d(x ) 0得：x4 3x2y2 y3 C5 .( -sin 毛-2cos2+1)dx+( 1 cos - 42 sin ?+4)dy=0 y y x xx x yy y解：M= 1sin 3-%cos?+1 N= - cos)

30、-2 sin 2+4y y x xx x yy y=- sin - Acos- A cos、+Wsin) 2323y yy y y xx x x_N=-J2 sin x-=cosx-口 cos¥+J3sin¥ x yy y y xx x x所以，网=型，故原方程为恰当方程 y x因为-sin - dx- 4 cos y dx+dx+ - cos y dy-与 y y xxxx ysin -dy+rdy=0 y yd(-cos x)+d (sin ?)+dx+d(- -)=0 yxy所以,d(sin y-cos -+x - 1)=0x y y故所求的解为sin -cos -+

31、x - -=C x y y求下列方程的解：6 . 2x(y ex2-1)dx+ ex2 dy=0解：JM= 2x ex2二2Xex2y'x所以，网=上，故原方程为恰当方程 y x又 2xy ex2 dx-2xdx+ ex2dy=0所以，d(y ex2-x 2)=0故所求的解为yex2-x2=C7 .(e x+3y2)dx+2xydy=0解：exdx+3y2dx+2xydy=0ex x2dx+3x2 y 2dx+2x3ydy=0所以，d e x( x 2-2x+2)+d( x 3y2)=0即 d e x( x 2-2x+2)+ x 3y2=0故方程的解为ex( x 2-2x+2)+ x

32、3y2=C8 . 2xydx+( x 2+1)dy=0解:2xydx+ x 2dy+dy=0d( x 2y)+dy=0即 d(x 2y+y)=0故方程的解为x2y+y=C9 、 ydx xdy x2 y2 dx解：两边同除以x2 y2得绊号dxx y即,d arctg dx y故方程的通解为 argtg - x cy10、ydx x y3 dy 0解：方程可化为：世/ ydy y即, d - ydy y故方程的通解为：9 1 c即：22 c同时，y=0也是方程的解。11、 y 1 xy dx xdy 0解：方程可化为：ydx xdy 1 xy dxd xy 1 xy dx 即：d xy dx

33、1 xy故方程的通解为：ln|1 xy x c12、 y x2 dx xdy 0解：方程可化为：吟当dx xd dxx故方程的通解为：，cx即：y x c x x13、 x 2y dx xdy 0解：这里M x 2y, N xM N、一 -iy x 1方程有积分因子e户xN x两边乘以 得：方程xx 2ydx x2dy。是恰当方程故方程的通解为：x2 2xy dxx2 - x2 2xy dx dy cy3x 3x y c3即：x3 3x2y c14、解：这里 M xcos x ysin x y , N xcos x y因为网yNcos x y xsin x y x故方程的通解为:xcos x

34、y sin x y dxxcos x y xcos x y sin x y dx dy y即:xsin x yxcosx y sin x y dx xcosx y dy解：这里MM N中 1方程有积分因子:dy y e e两边乘以15、ycosx xsinx dx ysinx xcosx dy oycosx xsin x, N ysin x xcosx得:方程 ey ycosxxsin x dx ey ysin xxcosx dy 0 为恰当方程ey y cosx xsin x dxye y cosxxsin x dx dy c即:eysin x y 1_ ye cosx16、x 4ydx 2

35、xdy3 ,y 3ydx 5xdy解:两边同乘以x2y得:34x y2dx 2x4ydy 3x31dx 5x ydy,42,35d x y d x y 0故方程的通解为:x4y2 x3y517、试导出方程M(X,Y)dx N(X,Y)dy 0 具有形为 (xy)和(x y)的积分因子的充要条件。解：若方程具有(x y)为积分因子,(M)y(N)x(x y)是连续可与)NxMyN xN) xddzddzMdz Ndz( x(M N)dzdz (x y)dz方程有积分因子(xy)的充要条件是:函数，此时，积分因子为(2)令(x y)(z)dzdx dzddzdz ydXdzMx Ny dz dz(

36、X(M)d(Mx Ny) dzN M d x y Mx Ny此时的积分因子为(xy)N M dzMx Ny e18.设f(x,y)及f连续，试证方程dy f(x, y)dx 0为线性方 y程的充要条件是它有仅依赖于X的积分因子.证：必要性若该方程为线性方程，则有dx P(x)y Q(x)，此方程有积分因子(X)e P", (x)只与x有关.充分性若该方程有只与X有关的积分因子(X).则 (x)dy (x) f (x, y)dx 0 为恰当方程,从而(x)f(x, y)yd (x)dx(x)(x)-(x)dy Q(x) (x)粤 y Q(x) P(x)y Q(x). (x)其中P(x)

37、(x)(x)于是方程可化为dy (P(x)y Q(x)dx 0即方程为一阶线性方程.20.设函数f(u) , g(u)连续、可微且f(u)试证方程 yf(xy)dx+xg(xy)dy=0有积分因子 u=(xyf(xy)-g(xy)证：在方程 yf(xy)dx+xg(xy)dy=0两边同乘以u得:uyf(xy)dx+uxg(xy)dy=0uyfyfy一 y=uf+uy +yf =f +y y xy(f g) xy( f g)-yfx(f g) xy xyy y y2(f g)2工gf 工yf gy fyy =xy(f g)2g xy g f xy xy y xy yx(f g)2,gff 一 g

38、 一xyxy(f g)2y(f g)=ug+ux+xg -xgxy(f g)x+ xy(f g)xyJ xy出xg222x y (f g)r g xyf xygfxf xg f g xy xxy x xyxyxy(f g)2(f g)2故网=强，所以u是方程得一个积分因子 y x21 .假设方程(2.43)中得函数M (x,y) N(x,y)满足关系M N =y xNf(x)-Mg(y),其中f(x),g(y) 分别为x和y得连续函数，试证方程(2.43)有积分因子u=exp( f(x)dx+ g(y)dy )证明：M(x,y)dx+N(x,y)dy=0即证回2皿 u网+m=uE+n y xy

39、 y x xu( W-)=N,- M， u(也-H)=Ne f(x)dx g(y)dyf(x) y x x yy x-M e f(x)dx g(y)dyg(y) u(0-型-e f(x)dx g(y)dy(Nf(x)-Mg(y)y x由已知条件上式恒成立，故原命题得证22、求出伯努利方程的积分因子解：已知伯努利方程为：dy Pxy Qxyn,y o dx两边同乘以y n,令zdz 1dxnQx,线性方程有积分因子:1 n P x dx en 1 P x dx故原方程的积分因子为:1 n P x dx edx,证毕!23、设x, y是方程Mx,ydx Nx,ydy 0的积分因子，从而 求得可微函

40、数U x,y ,使得 dU Mdx Ndy. 试证x,y 也是方程M x,y dx N x,y dy 0的积分因子的充要条件是 其中t是t的可微函数。x,yM证明：若u ,则 y yu M yM uyu NuyN又丁My即 为 M x, y dx N x,y dy24、设ix,y, 2x,y是方程0的一个积分因子。Mx,ydx N x, y dy 0的两个积分因子，且1 2常数，求证J 2 C （任意常数）是方程Mx,ydx N x,y dy 0 的通解。证明：因为1, 2是方程Mx,ydx N x, y dy 0的积分因子所以iMdx iNdy o i 1,2为恰当方程即 N- M - i

41、里型，i 1,2 x yy x下面只需证的全微分沿方程恒为零2事实上：2 - dx - dyx ydx x dxN y12221xdx -2dy x ydxM,dxN ydxN 22dxN"7-M xMy1 yNx即当2时,c是方程的解。证毕!习题2.4求解下列方程1、xy 3 1 y解：令曳y p上则x 1 M3 t3 t2, dxt 't'从而 y pdx c ；dt3 t2 c 3t 2 dt c -312 2t c ?于是求得方程参数形式得通解为x t3 t2y 翼22t c2、y 3 x3 1 y 03斛：令 _yy ptx贝ttx 3 x31 tx 0 即

42、 x t2 -dxtt 7从而 y pdxct t2 1 d t21 ct tt3 12t2t4tdt ct21t 2于是求得方程参数形式得通解为2 2 y3 、 y ye解：令adxd p2epcP从而x1 _ p 2 p .2 pep p2ep dp c pp 一p一 一= 2e pe dp cpx 1 pep c2 p y y e1 p e c)于是求得方程参数形式的通解为另外，y=0也是方程的解.4、y 1 y2 2a, a 为常数解：令?y tg ,则y号2acos2 ,dx71 tg sec7从v而 xdy c-d 2a cos2cptg,24a cos d41 cos 24a 2

43、于是求得方程参数形式的通解为x a 2 sin 2 c2y 2acos5、x2 y2 1解：令 dy y p cost,则x JET Sint,从而 y costd sin t ccos2 tdt c1 cos2t . dt c211t sin 2t24c，于是求得方程参数形式的通解为sin t11t sin 2t c246、y2 y 12 y 2解：令 2 y yt,则 1 y yt 1,得 y t ；,所以dx dy居221 t dt t 1 d 1 d222 dt 2 dt1 t2t2 1 t2 t2从而 x 4" dt c 1 c) t2t于是求得方程参数形式的通解为因此方程的通解为y1 x c.x c习题2.52. ydx xdy x2ydy解：两边同除以x2,得:ydx xdy , 2- ydyx,y12d yc即丫 1y2x 24. dy ydx X . xy解：两边同除以X,得y dy x-52 -令2 ux则dy u x四dx dx即dy u x型udx dx 1, u得到1 uc 2lny 2,2Jny另外y 0也是方程的解6. xy 1 ydx xdy 0解:ydx xdy xydx 0也资yxdxy得到d -x2 cy2即且x2cy 2另外y 0也是方程的解8. adx解：令Y x则：也2 y y 一3