微分方程和解

1、1.1 微分方程和解微分方程和解常微分方程课程简介常微分方程课程简介 常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。物理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程，如牛顿运动定律、万有引力定律、机械能守恒定律，能量守恒定律、人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗传基因变异、股票的涨伏趋势、利率的浮动、市场均衡价格的变化等，对这些规律的描述、认识和分析就归结为对相应的常微分方程描述的数学模型的研究。因此，常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学的各个领

2、域。 常微分方程 学习常微分方程的目的是用微积分的思想，结合线性代数，解析几何等的知识，来解决数学理论本身和其它学科中出现的若干最重要也是最基本的微分方程问题，使学生学会和掌握常微分方程的基础理论和方法，为学习其它数学理论，如数理方程、微分几何、泛函分析等后续课程打下基础；同时，通过这门课本身的学习和训练，使学生学习数学建模的一些基本方法，初步了解当今自然科学和社会科学中的一些非线性问题，为他们将来从事相关领域的科学研究工作培养兴趣，做好准备。 教材及参考资料教 材：东北师大数学系编. 常微分方程(第二版) .高教出版社参考资料：1.丁同仁. 常微分方程教程. 人民教育出版社 2.张锦炎. 常

3、微分方程几何理论与分支问题（修订本）.北京大学出版社 定义定义1:1: 联系自变量、未知函数及联系自变量、未知函数及未知函数导数未知函数导数（或微（或微分）的关系式称为微分方程分）的关系式称为微分方程. ; 2 ) 1 (xdxdy; 0 (2) ydxxdy; 0 )3(322xdtdxtxdtxd; sin35 )4(2244txdtxddtxd; )5(zyzxz. 0 )6(2222uzyxyuxu例1：下列关系式都是微分方程一、常微分方程与偏微分方程一、常微分方程与偏微分方程 如果在一个微分方程中，自变量的个数只有一个，则这样的微分方程称为常微分方程常微分方程.;2 ) 1 (xdx

4、dy; 0 (2) ydxxdy; 0 )3(322xdtdxtxdtxd;sin35 )4(2244txdtxddtxd都是常微分方程1.常微分方程常微分方程如 如果在一个微分方程中,自变量的个数为两个或两个以上,称为偏微分方程偏微分方程.; )5(zyzxz. 0 )6(2222uzyxyuxu 注: 本课程主要研究常微分方程. 同时把常微分方程简称为微分方程或方程. 2.偏微分方程偏微分方程如都是偏微分方程.定义定义2 2：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数或微分的微分的阶数阶数称为称为微分方程的阶数微分方程的阶数. . 2 ) 1 (xdxdy

5、是一阶微分方程； 0 (2) ydxxdy是二阶微分方程； 0 )3(322xdtdxtxdtxd是四阶微分方程. sin35 )4(2244txdtxddtxd二、微分方程的阶二、微分方程的阶如:( , ,)0(1)nndyd yF x ydxdxn阶隐式微分方程的一般形式为.,dxdyy,x,0),dxdyy,F(x,是自变量是未知函数而且一定含有的已知函数是这里xydxyddxyddxydnnnnnnn阶显式微分方程的一般形式为 1, ,(2)nnyfx y yy 2 ) 1 (xdxdy 是线性微分方程是线性微分方程. 0 (2) ydxxdy sin35 )4(2244txdtxdd

6、txd三 线性和非线性( , ,)0nndyd yF x ydxdx如如.,dxdyy阶线性方程则称其为的一次有理式及的左端为ndxydnn1.如果方程 是非线性微分方程是非线性微分方程. . 如如 0 )3(322xdtdxtxdtxd2.n阶线性微分方程的一般形式111( )( )( )(2)nnnnnd ydya xax yf xdxdx.)(),(),(1的已知函数是这里xxfxaxan不是线性方程的方程称为非线性方程四 微分方程的解定义4:,),(满足条件如果函数Ixxy;)() 1 (阶的连续导数上有直到在nIxy, 0)(),(),(,(:)2(xxxxFIxn有对.0),dxd

7、yy,F(x,(x)y上的一个解在为方程则称Idxydnn例2.),(0ycosxysinx,y上的一个解在都是微分方程验证y证明:由于对sinx,y xsinycosx,y(,),x 故对有 yyxsin0 xsin.),(0ysinxy上的一个解在是微分方程故y.),(0yxcosy上的一个解在是微分方程同理y1 显式解与隐式解是方程的一个则称的解为方程所确定的隐函数如果关系式0),(,0),dxdyy,F(x,Ix(x),y0),(yxdxydyxnn相应定义4所定义的解为方程的一个显式解.隐式解.注:显式解与隐式解统称为微分方程的解.例如yxdxdy对一阶微分方程有显式解:2211.y

8、xyx 和和隐式解:. 122 yx2 通解与特解定义5 如果微分方程的解中含有任意常数,且所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,则称这样的解为该方程的通解.例如:为任常数2121,ccosx,sinxyccc.0y的通解是微分方程 yn阶微分方程通解的一般形式为),(1nccxy.,1为相互独立的任常数其中ncc 注1:使得行列式的某一邻域存在是指个独立常数含有称函数,),(,),(11nnccxnccxy0),(),()1(2)1(1)1(212121)1(nnnnnnnncccccccccccc.)(kkkdxd表示其中例3.62y2y3cy2321的通解是微分方程验证yy

9、ececexxxxxxecece23212cy证明:由于,4cy2321 xxxececexxxecece2321 8cy故yy2y2y)2(c2321xxxecece)8(c2321xxxecece)4(c22321xxxecece)32(c2321xxxecece6xe )c2cc2c (1111xecccc)22(-2222xecccc23333)228(86.62y2y3cy2321的通解是微分方程故yyececexxx又由于3 3 1 321321ccccccccc2222264xxxxxxxxxxeeeeeeeeee 0.62y2y3cy2321的解微分方程是故yyececexxx

10、注2:.),(,0),(),(11该微分方程的所有解包含了并不表示的通解是微分方程的nnnnccxydxyddxdyyxFccxy注3: 类似可定义方程的隐式通解 如果微分方程的隐式解中含有任意常数,且所含的相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,则称这样的解为该方程的隐式通解.以后不区分显式通解和隐式通解,统称为方程的通解. 在通解中给任意常数以确定的值而得到的解或不含任意常数的解称为方程的特解.例如.0ycosxysinx,y的特解都是方程y中分别取可在通解cosxsinxy21cc:, 0, 1c21得到c:, 1, 0c21得到csinx,y cosx.y 定义63 定解条件 为

11、了从通解中得到合乎要求的特解,必须根据实际问题给微分方程附加一定的条件,称为定解条件.求满足定解条件的求解问题称为定解问题. 常见的定解条件是初始条件,n阶微分方程的初始条件是指如下的n个条件:)1(01)1()1(000,xxnnnydxydydxdyyy时当.1,)1(0)1(000个常数是给定的这里nyyyxn当定解条件是初始条件时,相应的定解问题称为初值问题.注1:n阶微分方程的初始条件有时也可写为)1(010)1()1(0000)(,)(,)(nnnydxxydydxxdyyxy通常记为问题的解的初值问题也称满足条件阶微分方程求,)(,)(,)(, 0),(:)1(010)1()1(0000CauchyydxxydydxxdyyxydxyddxdyyxFnnnnnn注2:0),(nndxyddxdyyxF)1(010)1()1(0000)(,)(,)(nnnydxxydydxxdyyxy例4.1)0(, 2)0(,045yecy-4x21的特解并求满足初始条件的通解是方程验证yyyycexyy45y-4x21)ec (cex)e16c (-4x21cex0-4x21)ec (5cex)ec (4