第三章 可靠性概率分布

1、可靠性的概率分布可靠性的概率分布1. 了解二项分布、泊松分布的含义和计算了解二项分布、泊松分布的含义和计算 2. 掌握指数分布、正态分布、对数正态分布掌握指数分布、正态分布、对数正态分布和威布尔分布的特性以及特征值的获取和威布尔分布的特性以及特征值的获取 3. 会查标准正态分布表会查标准正态分布表主要内容主要内容 离散型离散型随机变量的几种常见分布随机变量的几种常见分布n两点分布两点分布n二项分布二项分布n泊松分布泊松分布n几何分布和负二项分布几何分布和负二项分布n超几何分布超几何分布 连续型连续型随机变量的几种常见分布随机变量的几种常见分布n正态分布正态分布n截尾正态分布截尾正态分布n对数正

2、态分布对数正态分布n指数分布指数分布n伽玛分布伽玛分布n威布尔分布威布尔分布可靠性的概率分布可靠性的概率分布 可靠性工程以产品的寿命特征为主要研究对象。产品的寿命特征一般是连续的随机变量，例如产品故障时间和维修时间等。处理这种问题可利用概率统计方法，找出它们的概率分布和概率密度函数，有了确定的分布就可以求出该分布特征统计量，如正态分布的均值及标准差。即使不知道具体的分布函数，也可以通过对分布的参数估计求得某些特征量的估计值。这些分布及概率密度函数，不仅描述了寿命的内在规律，而且分布的参数还决定了产品的寿命特征。因此必须对失效分布作较深入的研究 离散型随机变量的几种常见分布离散型随机变量的几种常

3、见分布 可靠性抽样试验以及产品质量保证等大量工程实际问题需要用到离散模型离散模型。主要有n两点分布n二项分布n泊松分布n几何分布与负二项分布n超几何分布 两点分布又称（0，1）分布 数学模型的随机试验只可能有两种试验结果 两点分布的分布列或分布律也可写成: 也可表示为 :111 , 0)1 (poqpxqpxXPkkkxxk两点分布两点分布 两点分布两点分布数字特征:两点分布可以作为描绘从一批产品中任意抽取一件一件得到的“合格品”或“不合格品”的概率分布模型 pqppppXDpqpXE)1 ()(01)(2二项分布又称贝努里分布。二项分布满足以下基本假定：n 试验次数n是一定的；n 每次试验的

4、结果只有两种，成功或失败；n 每次试验的成功概率和失败概率相同，即p和q是常数；n 所有试验是独立的。 所谓独立试验是指将试验A重复做n次，若各次试验的结果互不影响，即每次试验结果出现的概率都与其他各次试验结果无关，则称这n次试验是独立的，并称它们构成一个序列二项分布二项分布 在二项分布中，若一次试验中， ,则在n次独立地重复试验中，试验A发生的概率为:上式为二项概率公式。若用X表示在n次重复试验中事件A发生的次数，显然，X是一个随机变量，X的可能取值为0,1,2,n，则 随机变量X的分布律为： 此时，称随机变量X服从二项分布B（n,p）。 当n=1时，二项分布简化为两点分布即：), 2 ,

5、1 , 0()(nkqpCkPknkknn), 2 , 1 , 0()(nkqpCkXPknkkn1 , 0,1kqpkXpkk二项分布二项分布 pAPpAP1)(,)( 随机变量X取值不大于k的累积分布函数为: X的数学期望与方差分别为: 二项分布用来计算冗余系统的可靠度，也可用于计算一次性使用装置或系统的可靠度估计 比如汽车上的双管路制动系统nrrnrrnqpCkXPkF0)()(nknkpnpnpqkXPXEkXDnpkXkPxE020)1 ()()()()()(二项分布二项分布 在二项分布中，如果 （常数），则二项分布可表示为： 此时，称随机变量X服从参数为的泊松分布。泊松分布可认为是

6、当n无限大时二项分布的推广。当n很大、p很小时，可用泊松分布近似代替二项分布。一般地，当n20,p0.05时，近似程度较好。 随机变量X取值不大于k次的累积分布函数为： X的期望与方差分别为： nnplim)0,2, 1 , 0(!)(nkekkXPkkrrerkXPkF0!)()(020)()()()()(kkKXPXEkXDkXkPXE泊松分布泊松分布 泊松分布，经过适当的处理可成为指数分布。假泊松分布，经过适当的处理可成为指数分布。假定：定：n在互不相交的时间区间内所发生的失效是统计独立的；n单位时间内的平均失效次数为常数，而与所考虑的时间区间无关。泊松过程有下面两个重要性质: (1)设

7、t是时间区间的长度，则在此区间内发生失效的次数X是一个整数型的随机变量，在此时间区间内，发生k次失效的概率服从一个均值为t的泊松分布: (2)在任意两次相邻的失效之间的时间T是独立的连续型的随机变量，服从参数为的指数分布 : )0(!)()(kektkXPtktetRtTP)()(泊松分布泊松分布 两次失效的平均时间为 ,泊松过程适合于建模有较多的元件倾向于失效，而每个元件失效的概率比较小的情况1泊松分布泊松分布 例：有人打靶，每次命中率均为0.7，现独立射击5次，求恰好命中2次的概率？解：每次射击有“击中”和“未击中”两个可能，设 ，“恰好有两次几种”的情况有 种共有C25543215432

8、154321,.AA,AA,AAAAAAAAAAA3254321543213 . 07 . 03 . 03 . 03 . 07 . 07 . 0)()()()()()AA(APAPAPAPAPAAAP1323.03.07.0)(3225CCknkknqPAP二项分布实例二项分布实例次击中第iAi如果要求命中不少于2次的概率？例：一架飞机有三个着陆轮胎，若不多于一个轮胎爆破，飞机便能安全着陆。试验表明，每一千次着陆发生一次轮胎爆破。求飞机安全着陆的概率？解： 99999.0999.0001.0999.0001.0)()()(21133003）（）（）（）（只有一个轮胎爆破没有轮胎着陆安全着陆CC

9、PPP二项分布实例二项分布实例思考：假如只有两个轮胎，安全着陆的概率？ 正态分布正态分布 对数正态分布对数正态分布 指数分布指数分布 伽玛分布伽玛分布 威布尔分布威布尔分布连续型随机变量的几种常见分布连续型随机变量的几种常见分布指数分布指数分布1.1.指数分布指数分布 在数学上易处理成直观的曲线在数学上易处理成直观的曲线 失效率反映了特征参数失效率反映了特征参数 单参数分布单参数分布 最基本最常用的分布最基本最常用的分布 若产品的寿命或某一特征值若产品的寿命或某一特征值t的的故障密度故障密度为为 则称则称t服从参数服从参数的指数分布的指数分布( )(0,0)tf tet 指数分布的特征量函数:

10、n不可靠度（失效）函数n可靠度函数n平均寿命 ( )tR tettedttftF01)()(1)(00dttedtttfEt指数分布指数分布n 中位寿命：r=0.5 n 特征寿命： n 寿命方差： n 标准差： te5.07E.06971.0ln0.5t5 .0368. 0er1t1ee1t368.0 220221E-dttft1指数分布性质指数分布性质 指数分布性质指数分布性质指数分布的一个重要性质是指数分布的一个重要性质是无记忆性无记忆性。无记忆性是产。无记忆性是产品在经过一段时间品在经过一段时间t0工作之后的剩余寿命仍然具有原来工作之后的剩余寿命仍然具有原来工作寿命相同的分布，而与工作寿

11、命相同的分布，而与t无关。这个性质说明，无关。这个性质说明，寿寿命分布为指数分布的产品，过去工作了多久对现在和命分布为指数分布的产品，过去工作了多久对现在和将来的寿命分布不发生影响将来的寿命分布不发生影响在在“浴盆曲线浴盆曲线”中，它是属于偶发期这一时段的中，它是属于偶发期这一时段的 指数分布的特点指数分布的特点n 只含单一参数，形式简单n 平均寿命、特征寿命、标准离差相等，为n 故障率越小，平均寿命越大，但越大，分布越分散n 平均寿命大于中位寿命1发动机中有四种故障的寿命概率分布属于指数分布发动机中有四种故障的寿命概率分布属于指数分布n 受受随机性冲击随机性冲击时产生的故障：故障与使用时间无

12、关，时产生的故障：故障与使用时间无关，仅与外界超强度的冲击力随机到来和内部潜伏的隐患仅与外界超强度的冲击力随机到来和内部潜伏的隐患偶然爆发有关，它们是随机性偶然发生故障，如内燃偶然爆发有关，它们是随机性偶然发生故障，如内燃机超载下工作或过热造成的故障机超载下工作或过热造成的故障n 正常使用下的正常使用下的突发故障突发故障：常载下往复运动零件损伤，：常载下往复运动零件损伤，或人为失误造成的故障，或偶然性操作不当或人为失误造成的故障，或偶然性操作不当n 浴盆曲线的浴盆曲线的阶段（使用寿命期）阶段（使用寿命期）n 发动机返复多次维修期间所发生的故障可考虑为指数发动机返复多次维修期间所发生的故障可考虑

13、为指数分布故障分布故障例：内燃机增压器处于使用寿命期中工作，根据以往经验知，寿命服从指数分布，在100小时工作内有1%发生故障，求可靠度R（2000）， 的使用寿命？ 解：先求 F（100）=0.01 01. 0e11000001005. 00.991ln10018187.0e)2000(R2000小时69316971.0t5.0 10489 .01ln1t9 .0小时9.05.0tt和指数分布例题指数分布例题例：一元件寿命服从指数分布，其平均寿命()为2000小时，求故障率及求可靠度R (100)=? R(1000)=?解： 此元件在100小时时的可靠度为0.95，而在1000小时时的可靠度

14、为0.60 410520001195. 0)100(05. 01004105eeR60. 0)1000(5 . 010001054eeR正态分布正态分布 正态分布在机械可靠性设计中大量应用，如材料强度、正态分布在机械可靠性设计中大量应用，如材料强度、磨损寿命、齿轮轮齿弯曲、疲劳强度以及难以判断其分布磨损寿命、齿轮轮齿弯曲、疲劳强度以及难以判断其分布的场合。的场合。属于属于递增型故障率递增型故障率的概率分布。它的分布曲线处的概率分布。它的分布曲线处于浴盆曲线的于浴盆曲线的耗损阶段耗损阶段 若产品寿命或某特征值有故障密度若产品寿命或某特征值有故障密度 22()21( )(0,0,0)2tf tet

15、正态分布正态分布正态分布的特征量函数: 不可靠度 查附表2 可靠度 故障率 平均寿命 E=E= tdt) t (f) t (Ft t1tF1tR t1t21exp21tRtft2n可靠寿命 n特征寿命 n中位寿命 rt134. 0t1e5 . 0t 在柴油机或机械系统中，有些零件故障是由几种相对独立的微小主导因素迭加而成的如气缸、活塞、齿轮和轴类零件 因磨损引起的故障，以及管、阀系统的腐蚀性故障，燃油传给系统沉淀性故障都属正态分布正态分布正态分布例例：有两种内燃机配套机构，A种寿命分布是指数型，其平均寿命为1000h；B种寿命分布是正态型，其平均寿命为900h，标准离差= 400h，求：在10

16、0小时使用期内，尽量不发生故障，求哪种设计为好？ 100011000,tA905. 0e100R1000100A解：A：400,900tB9772. 0214009001001100RBB： 对数正态分布是自变量取对数自变量取对数时，其故障密度函数符合正态分布的一种偏态性偏态性概率分布。它的故障率其本属于递增型的，但递增的速度是变化的，先快后慢然后趋于平稳 对数均值，对数标准离差 222lntexpt21tf对数正态分布对数正态分布对数正态分布的特征量 不可靠度函数 可靠度函数 故障率函数 -lntdttftFt lnt1tR lnt1lnt21expt21tRtft2n平均寿命E n特征寿命

17、 34. 0eet1 -22eE 对数变换可将较大的数缩小为较小的数，且愈大的数缩小得愈多，这一特性可以使较为分散的数据通过对数变换相对的集中起来，所以常把跨几个数量级的数据用对数正态跨几个数量级的数据用对数正态分布去拟合分布去拟合。 在机械零件及材料的疲劳寿命中，对数正态分布应用得较多。05.0对数正态分布对数正态分布 例：例：一般气动弹簧承载 次后要更换，已知服从对数正态分布，系数=25,=1.4问：更换弹簧前，故障的可能性多大？ 解：内燃机在 次后，气动弹簧的不可靠度: 即 次更换前，故障的可能性为7.9%。 079. 04 . 14 . 125ln1010F10101010101010

18、10 威布尔分布应用比较广泛，常用来描述材料疲劳失效、轴承失效等寿命分布的。分布包括了产品寿命周期三个阶段的失效分布特征。 威布尔分布是递增型、恒定型、递减型多种故障概率分布，威布尔分布是从考虑链式强度模型提出来的，当“链条”中“环”的强度低于随机应力时，某一“环”便可能发生断裂，只要某一薄弱环发生故障则会整体失效，因此最弱“环”的寿命即是产品的寿命。 威布尔分布是用三个参数来描述，这三个参数分别是尺度参数，形状参数m、位置参数，其概率密度函数为： ()1( )()(,0,0)mtmm tf tetm威布尔分布威布尔分布不同m值的威布尔分布 （=1，=0）m =3m =1/2m=2m =1f(

19、t)t形状参数m的大小决定威布尔分布的形状，当m1，密度函数曲线呈单峰型，且随m的减小峰高逐渐降低，当m=3.5时，接近正态分布；当m=1时，密度函数曲线就是指数分布的密度函数曲线；当m1时，密度函数曲线渐进直线t=不同值的威布尔分布 （=2，=0）=1/3=1/2=2=1f(t)t随着尺度参数的减小，曲线由同一原点向右扩展，最大值减小。不同 值的威布尔分布 （ =1， =2） =0=0.5= - 0.5 =1f(t)t位置参数的大小反映了密度函数曲线起始点的位置在横坐标上的变化 当m和不变，威布尔分布曲线的形状不变。随着的减小，曲线由同一原点向右扩展，最大值减小。 当和不变，m变化时，曲线形状随m而变化。当m值约为3.5时，威布尔分布接近正态分布。 当和m不变时，威布尔分布曲线的形状和尺度都不变，它的位置随的增加而向右移动。 威布尔分布其它一些特点，m1时，表示磨损失效；m=1时，表示恒定的随机失效，