高中数学函数知识点(详细)

1、第二章函数f，使对于集合A中1、函数的概念：1定义：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定 的数f(X)和它对应，那么就称 f : At B为从集合A到集合B的一个函数.记作：y=f(x) , X A.其中，x叫做自变量， X的取值范围A叫做函数的定义域；与 X的值相对应的y值叫做函数值，函数值的 集合 f (X) | X A 叫做函数的值域.2函数的三要素： 定义域、值域、对应法那么3相同函数的判断方法:2、定义域：表达式相同与表示自变量和函数值的字母无关；定义域一致(两点必须同时具备)1定义域定义：函数f (x)的自变量x的取值范围。2确定函

2、数定义域的原那么：使这个函数 有意义的实数的全体构成的集合3确定函数定义域的常见方法： 假设f(X)是整式，那么定义域为全体实数 假设f(x)是分式，那么定义域为使分母不为零的全体实数例：求函数的定义域。 假设f(x)是偶次根式，那么定义域为使被开方数不小于零的全体实数4 X23x34例1.求函数 yii的疋义域。x12例2.求函数y2x21X 1的定义域。 对数函数的真数必须大于零 指数、对数式的底必须大于零且不等于1 假设f(x)为复合函数，那么定义域由其中各根本函数的定义域组成的不等式组来确定指数为零底不可以等于零，如X0 1(x 0)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义4求抽

3、象函数复合函数的定义域2函数f (X)的定义域为0,1求f(x )的定义域函数f (2x1)的定义域为0,1丨求f (13x)的定义域3、值域:1值域的定义：与X相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。2确定值域的原那么： 先求定义域3常见根本初等函数值域：一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数正余弦、正切4确定函数值域的常见方法： 直接法：从自变量x的范围出发，推出 y f(x)的取值范围。例：求函数y .X 1的值域。解：、. x 0 , 、x 11 ,函数y 、.£1的值域为1,)。 配方法：配方法是求“二次函数类值域的根本方法。形如 F(x)

4、; 数的值域问题，均可使用配方法。2例：求函数y x 4x 2 x 1,1的值域。2 2解：y x 4x 2 (x 2)6 ,/ x 1,1,.x 2 3, 1 , 1 (x 2)29 3(x 2)2 6 53 y 52函数 y x 4x 2 x 1,1的值域为3,52(x) bf (x) c 的函o此类问题一般也可以 别离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用别离常数法, 利用反函数法。1x，亠例:求函数y的值域。2x51 、77解: y1x(2x 5)221 22x52x 52 2x 5720 , y2x 5函数y1 x2x 5的值域为 y | y从而求得原函数的值的函数常用此法求解

5、。 换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数,域，形如y ax b . cx d a、b、c、d均为常数，且a 0例：求函数y 2x '.1 2x的值域。解：令t1 2x t0丨，那么x1 t2,2.八1.25ytt1 (t -)24135当t，即x -时，max24函数y2xJ 2x的值域为(无最小值。判别式法：把函数转化成关于X的二次方程F(x, y) 0 ；通过方程有实数根，判别式从而求得原函数的值域,形如常用此方法求解。例：求函数2x-2x解：由y2x2x x2 uax 0x q2a?xb2X C2 a1、比不同时为零的函数的值域,匚3的值域。x 13变形得(

6、y 1)x2 (y 1)x y 31时，此方程无解;1 时， x R(y 1)2 4(y 1)(y 3)解得113函数yx2x 32x的值域为 y |1x 1值域为y|y 1练习：求函数y2x2 的值域x 14、函数的表示方法1解析法、列表法、图象法2求函数解析式的常见方法:换元法例:f (3x1)4x3,求f (x)的解析式.例:假设f(x).例:f( Jx 1) 2x 3,求 f(x).解：设x y那么f (0)f (x) x(2x x 1) 1解方程组法1例：设函数f(x)满足f(X)+2 f一= X x工0，求f(x)函数解析式X一变：假设f (x)是定义在 R上的函数，f(0) 1，

7、并且对于任意实数 x,y，总有f(x-)f(x) yy(2x y1),求 f(x)。令 x=0， y=2x待定系数法例：f (x)是一次函数，并且ff(x) 4x3 求 f(x)解：设 f(x) kx b，那么ff(x)kf(x) bk(kx b)2b k x kbb 4x 3k24k 2k2那么，解得或kbb 3b 1b3故所求一次函数解析式f(x) 2x1 或 f (x)2x 3配变量法1例：f(x -)x2 x12 ,求f (x)的解析式x例：假设f (、x 1)x2.x,求 f (x).特殊值代入法取特殊值法例：假设f(x y)f(x)f(y),且 f(1)2，求值 f(2)f(3)f

8、 (4)f (2005)f(1)f(2)f(3)f(2004)例：设f (x)是R上的函数，且满足 f(0) 1并且对任意实数x,y有f(x y)f (x) y(2x y 1)求f (x)的表达式即 f (x) x2 x 1或设x 0那么f ( y)f(0) y( y 1) 1 y( y 1)f(x) 1 x(x 1) x2 x 1利用给定的特性奇偶性周期性求解析式例：对 x R, f(x)满足 f(x) f(x 1),且当 x 1,0时,f (x) x22x求当x 9,10时f (x)的表达式.解析：f(x) f (x 1)，那么 f(x 1) f (x)那么f(x 1) f (x 1),

9、f (x) f (x 2) , T=25、分段函数(1)定义：在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数叫分段函数。(2)注意：分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集; 分段函数是一个函数，而不是几个函数； 写分段函数定义域时，区间端点不重不漏。6、复合函数fg(x)F(x),(xA),称为 f、g如果 y f(u),(u M),u g(x),(x A)那么 y 的复合函数。7、函数图象问题1熟悉各种根本初等函数的图象如：y 0, y c(c为常数)，2丨图象变换0)个单位长度y f(x a)平移：y f (x)向右平移a(ayf(x)向上平

10、移b(b0)个单位长度y f(x) b对称：yf(x)关于x轴对称y -f(x)yf (x)关于y轴对称y f( x)yf(x)关于原点对称y -f( x)翻折：y f (x) ,y f(x)注意：带绝对值的函数去绝对值方法有分情况讨论法，平方法，图象法*课堂习题*1.求以下函数的定义域:x22x 15y2.设函数f (x)的定义域为0, 1，那么函数f(x2)的定义域为3. 假设函数f(x 1)的定义域为2, 3，那么函数f(2x 1)的定义域是 x 2(x1)4.函数 f (x) x2( 1x 2)，假设f (x)3，那么x =2x(x2)5.求以下函数的值域： y x2 2x 3 (xR

11、) y x2 2x 3 x 1,2(3) y x J 2x(4)yx2 4x 5二.函数的性质1. 函数的单调性(局部性质)1增减函数和单调区间设函数y f (x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个 自变量x1, x2，当x1 x2时，都有f (x1) f (x2)，那么就说f (x)在区间D上是增函 数区间D称为y f (x)的单调增区间X2时，都有f(x)的单调如果对于区间D上的任意两个自变量的值X-X2当洛 f(X1) f(X2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数区间D称为y 减区间 注意：函数的单调性是函数的局部性质；2图象的特点f (x)在这一如果函数y f

12、(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函 数的图象从左到右是下降的3函数单调区间与单调性的判定方法重点(A) 定义法：e 任取 X-I , X2 D,且 X1X2 ；3 作差 f (xj f (X2)；e变形通常是因式分解和配方；e定号即判断差f(xj f(x2)的正负；e下结论指出函数f(x)在给定的区间d上的单调性.(B) 图象法(从图象上看升降)(C) 复合函数的单调性复合函数fg(x)的单调性与构成它的函数u g(x), y f (u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减 注意：函数的单调区间只能是其定义域

13、的子区间，不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集2例：是否存在实数a使函数y f(x) loga(axx)在闭区间2,4上是增函数？如2x)在闭区间2,4上是增函数x在闭区间2,4上是增函数，故果存在，说明a可取哪些值；如果不存在，说明理由。解：当a>1时，为使函数y f (x) log a (ax2只需g(x) ax12，又由a>1，得a>1x22f (x) loga(ax x)在闭区间2,4上是增函数2a g(2) 4a 2当0< a <1时，为使函数2只需g(x) ax x在闭区间2,4上是减函数，故x1 42a无解g(4)16a 40综上，当a (1,)

14、时，2f (x) loga(axx)在闭区间2,4上是增函数D常用结论函数yf (x)与函数yf(x)的单调性相反；函数f (x)与f (x) c(c为常数)具有相同的单调性；当c 0时，函数f (x)与cf (x)具有相同的单调性，c 0时，它们具有相反的单 调性；1假设f(x) 0那么函数f(x)与具有相反的单调性；f (x)公共区间，增函数+增函数=增函数、减函数+减函数=减函数、增函数-减函数=增函数、减函数-增函数=减函数假设f (x)0, g (x)0,且f (x)与g(x)都是增或减函数，那么 f (x) g(x)也是增或减函数；假设f (x) 0, g (x) 0,且f (x)

15、与g(x)都是增或减函数，那么 f (x) g(x)也 是增或减函数；n n假设f (x) 0，且在定义域上是增函数，贝y . f(x)也是增函数，f n (x)(n1)也是增函数。k常见函数的单调性一次函数、二次函数、反比例函数、对勾函数y x (k 0)xE利用函数的单调性求函数的最值确定函数的定义域；将复合函数分解为根本的初等函数；分别判断其单调性；根据同 增异减判断2例：求函数f (x)在区间2,6上的最大值和最小值x 12. 函数的奇偶性整体性质1函数奇偶性定义一般地，对于函数f(x)的定义域D内的任意一个x，都有 x D，且 f( x) f (x) 或f( x) f (x)，那么f

16、 (x)就叫做奇或偶函数.2图象的特征偶函数的图象关于 y轴对称；奇函数的图象关于原点对称.3利用定义判断函数奇偶性的步骤：°首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；心确定f( x) f(x)与f( x) f (x)是否成立；°作出相应结论：假设 f( x) f(x)或f( x) f (x) 0，那么f (x)是偶函数； 假设f( x) f (x)或f( x) f (x) 0，那么f (x)是奇函数.注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称，假设不对称那么函数是非奇非偶函数假设对称，再根据定义判定；或由变式f( x)

17、 f (x) 0或B Q 1来判定；利用定理，或借助函数的图象判定f(x)4函数奇偶性的重要结论具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称；f(x)、g(x)是定义域分别为 Di, D2的奇函数，那么在Di D2上，f(x) + g(x)是奇 函数，f (x)?g(x)是偶函数。类似结论：奇 奇=奇、奇x奇=偶、偶偶=偶、偶x偶=偶奇灯禺=奇假设f(x)是具有奇偶性的单调函数，那么奇偶函数在正负对称区间上的单调性是相 同反的。假设f (x)的定义域关于原点对称，那么F(x) f (x) f( x)是偶函数，f(x) F(x) G(x)G(x) f (x) f ( x)是奇函数。假设f(x)既是奇函

18、数又是偶函数，那么 复合函数的奇偶性：内层是偶函数，那么不用死记硬背2f(x) 0 y fg(x)是偶函数内层是奇函数，外层是奇函数，那么外层是偶函数，那么y fg(x)是奇函数 y fg(x)是偶函数5函数奇偶性与单调性的关系奇函数在a.b上是增函数，在 偶函数在a.b上是增函数，在 例：函数求不等式y f (x)(x0)是奇fx(x 2)0的解集。b, a上也是增函数; b, a上是减函数。 函数，且当x(0,)时是增函数，假设f(1) 0,解：f (1)0不等式可化为fx(x 1)f(1),因为f (x)在x (0,)上递增，所以0x(x 1)11.17117小得 x，或x 0244又由

19、f(x)是奇函数，它在关于原点对称的两个区间上的单调性相同，1、彳1,2 ，且 f( 1)f(1)0，得 fx(x综上，原不等式的解集是1x x21 1-)f( 1)，即有 x(x -)1.17 亠 1.17，或x44无解。0例：设奇函数f (x)在(0,)上为增函数，且f(1)0,那么不等式f(x)x的解集为?解：由f(x)是奇函数得f(x) f( x)，所以里®x即 f(x) 0 或 f(x) x 0x由奇函数f (x)在(0,)上为增函数，故f (x)在(，0)上为增函数由 f(1)0知 f( 1)0f(x)0f(x)f (1)沖x 1，同理可化为得0x0x0f(x)0f(x)

20、f( 1)ZB可化为得1 x 0x0x0解集为1 x 00 x13. 函数的周期性1周期函数的定义假设函数f(x)对于定义域中任意 x，存在不为零的常数 T ,使得f(x T) f(x)恒 成立，那么f (x)为周期函数，T为f(x)的周期2有关周期性的一些结论假设f (x)的周期为T,那么nT(n Z,n 0)也是f (x)的周期假设周期函数的周期T是所有正周期中最小的，那么T为f(x)的最小正周期1假设函数f (x)满足 f (x a) f (x)(a0), f (x a)(a 0),f(x)f (x a)证明提示：3函数的对称性令1(a 0)，贝U f(x)比以2a为周期，反之不成立。

21、f(x)x =令x x a ；令x满足条件f(xa)f(bx)的函数的图象关于直线假设满足f (xa)f(bx)的函数的图象关于点a b对称;2b一,0)对称点(x, y)关于y轴的对称点为 y f( x)点(x, y)关于x轴的对称点为yf (x)(x,y)关于原点的对称点为yf( x)(x, y)，函数(x,x,f (x)关于y轴的对称曲线方程为y)，函数y)，函数函数y f (x a)与函数yf(bx)关于直线xa注意：f(x a) f (b x)，对称轴求法：x f (x)关于x轴的对称曲线方程为f (x)关于y轴的对称曲线方程为a b 对称。2b xy f (x a)与y f (b

22、x)的对称轴求法:*课堂习题 *1.函数f (x 1) x2 4x，求函数f(x), f(2x 1)的解析式2.函数f(x)满足2f(x) f( x) 3x 4，那么 f (x)=3. 设f(x)是R上的奇函数，且当x 0,)时，f(x) x(1 3 x),那么当x (,0)时f(x> =f (x)在R上的解析式为4. 求以下函数的单调区间： y x2 2x 3 y x2 2x 3 y x2 6x 15. 判断函数y x31的单调性并证明你的结论.彳 26. 设函数f(x) J 判断它的奇偶性并且求证：f(1) f(x)1 xx三、一次函数略与二次函数函数应用中有提及1、二次函数的定义及

23、表达式21定义：函数y ax bx c(a 0)叫做二次函数，它的定义域是 R2丨表达式：一般式、顶点式、两根式2、二次函数的图象与性质1图象：抛物线：开口方向、对称轴、顶点坐标；2性质：定义域、值域、单调性、奇偶性、最大值最小值。3、二次函数在闭区间上的最值分情况讨论对称轴与闭区间的位置关系4、一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的关系判别式b2 4ac>0=0<0二次函数y ax2 bx c (a 0)的图象一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)的根有两不等实根b Vb2 4acX1,X22ax1 x2有两相等实根b X X1 X22a没有 实根元 二次 不等 式的 解集ax2 bx c 0(a 0) xx