第三节--逆矩阵

1、引例引例引例引例 1 1 矩阵与复数矩阵与复数矩阵与复数矩阵与复数复数可以用二维有序数组来表示，如复数复数可以用二维有序数组来表示，如复数 a+bi可表示为可表示为 (a , b)，因此，从结构上看复数是矩阵的因此，从结构上看复数是矩阵的特殊情形特殊情形.在第二节我们也看到，矩阵与复数相在第二节我们也看到，矩阵与复数相仿，有加法、减法、乘法三种运算仿，有加法、减法、乘法三种运算. 我们知道，复我们知道，复数的乘法运算有逆运算，那么矩阵的乘法运算是否数的乘法运算有逆运算，那么矩阵的乘法运算是否也有逆运算呢？也有逆运算呢？ 如果有的话，这种运算如何定义，如果有的话，这种运算如何定义，如何计算呢？如

2、何计算呢？这就是本节所要讨论的问题这就是本节所要讨论的问题.引例引例引例引例 2 2 坐标旋转变换坐标旋转变换坐标旋转变换坐标旋转变换在平面直角坐标系在平面直角坐标系 xOy 中，将两个坐标轴同中，将两个坐标轴同时绕原点旋转时绕原点旋转角角( (逆时针为正，顺时针为负逆时针为正，顺时针为负) )，任何一点任何一点在两个坐标系中的坐标分别记为在两个坐标系中的坐标分别记为（x，y）与（与（u，v）则不难得到则不难得到就得到一个新的直角坐标系就得到一个新的直角坐标系 (见图见图 2. 4) 平面上平面上引例引例引例引例 3 3 线性变换的逆变换线性变换的逆变换线性变换的逆变换线性变换的逆变换设给定一

3、个线性变换设给定一个线性变换) 1 (,22112222121212121111nnnnnnnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxay它的系数矩阵是一个它的系数矩阵是一个 n 阶矩阵阶矩阵 A，若记若记 如果不存在满足（）的矩阵如果不存在满足（）的矩阵 B，则称矩阵，则称矩阵 A 是不可逆的是不可逆的 现在的问题是，矩阵现在的问题是，矩阵 A 满足什么条件时可逆？满足什么条件时可逆？可逆矩阵的逆矩阵是否唯一，如何求逆矩阵？可逆矩阵的逆矩阵是否唯一，如何求逆矩阵？可逆矩阵有什么性质？这是本节要讨论的问题可逆矩阵有什么性质？这是本节要讨论的问题 设矩阵设矩阵 B 与与 C 都是都是 A 的

4、逆矩阵，则有的逆矩阵，则有AB = BA = E，AC = CA = E ，因而因而B = BE = B(AC) = (BA)C = EC = C 证毕证毕证毕证毕证明证明证明证明定理定理定理定理 1 1如果如果如果如果 n n 阶矩阵阶矩阵阶矩阵阶矩阵可逆，则它的逆可逆，则它的逆可逆，则它的逆可逆，则它的逆矩阵是唯一的矩阵是唯一的矩阵是唯一的矩阵是唯一的,A|A|A*11 设矩阵设矩阵 B 与与 C 都是都是 A 的逆矩阵，则有的逆矩阵，则有AB = BA = E，AC = CA = E ，因而因而B = BE = B(AC) = (BA)C = EC = C 证毕证毕证毕证毕证明证明证明证

5、明定理定理定理定理 1 1如果如果如果如果 n n 阶矩阵阶矩阵阶矩阵阶矩阵可逆，则它的逆可逆，则它的逆可逆，则它的逆可逆，则它的逆矩阵是唯一的矩阵是唯一的矩阵是唯一的矩阵是唯一的由由 可得下述推论：可得下述推论：AB=E=，因而因而 A- -1 存在，于是存在，于是B = EB = (A- -1A)B = A- -1(AB) = A- -1E = A- -1.证毕证毕证毕证毕证明证明证明证明AB=E=，因而因而 A- -1 存在，于是存在，于是B = EB = (A- -1A)B = A- -1(AB) = A- -1E = A- -1.证毕证毕证毕证毕证明证明证明证明若若 n 阶矩阵阶矩阵

6、 A 的行列式不为零，即的行列式不为零，即 | |A| | 0，则称则称 A 为为，否则称，否则称 A 为为.说明，矩阵说明，矩阵 A 可逆与矩阵可逆与矩阵非奇异是非奇异是等价的概念等价的概念.定理不仅给出了矩阵可逆的充要条件，而定理不仅给出了矩阵可逆的充要条件，而且给出了求矩阵逆矩阵的一种方法，称这种方法为且给出了求矩阵逆矩阵的一种方法，称这种方法为. ;1)(11AkkA设设 A, B, Ai (i = 1, 2, , m) 为为 n 阶可逆矩阵，阶可逆矩阵，k 为非零常数，则为非零常数，则 A- -1, kA, AB, A1A2 Am , AT 也都是可逆矩阵，且也都是可逆矩阵，且(A-

7、 -1)- -1 = A;(AB)- -1 = B- -1A- -1, (A1A2 Am)- -1 = Am- -1 A2- -1A1- -1 ; (AT)- -1 = (A- -1)T ;11|A|A (Am)- -1 = (A- -1)m , m 为正整数为正整数.我们只证（）和（）我们只证（）和（）（）（） (AB)(B- -1A- -1) = A(BB- -1)A- -1= AEA- -1 = AA- -1= E.（）（） AT(A- -1)T= (A- -1A)T= ET= E, 所以所以(AT)- -1= (A- -1)T.证毕证毕证毕证毕证明证明证明证明我们只证（）和（）我们只证

8、（）和（）（）（） (AB)(B- -1A- -1) = A(BB- -1)A- -1= AEA- -1 = AA- -1= E.（）（） AT(A- -1)T= (A- -1A)T= ET= E, 所以所以(AT)- -1= (A- -1)T.证毕证毕证毕证毕证明证明证明证明 求二阶矩阵求二阶矩阵的逆矩阵的逆矩阵.dcbaA解解解解矩阵矩阵 A 的行列式的行列式 | A | = ad bc ,伴随矩阵伴随矩阵.*acbdA利用逆阵公式利用逆阵公式,|1*1AAA当当 | A | 0 时，有时，有.1|1*1acbdbcadAAA例例例例 1010求二阶矩阵求二阶矩阵的逆矩阵的逆矩阵.dcba

9、A最最后后用用 |A| 去去除除 A的的每每一一个个元元素素, 即即可可得得 A的的逆逆矩矩bc.ad|A|,dcbaA“ “两两调调一一除除两两调调一一除除” ”法法法法求求二二阶阶矩矩阵阵的的逆逆阵阵可可用用“两两调调一一除除两两调调一一除除”的的方方法法.其其方方法法是是: 先先将将矩矩阵阵 A中中的的主主对对角角线线上上的的元元素素调调换换位位置置,再再将将次次对对角角线线上上的的元元素素调调换换其其符符号号,阵阵. 用伴随矩阵法求下列矩阵的逆矩阵：用伴随矩阵法求下列矩阵的逆矩阵：325121321)2(2A213011322(1)1A5341172332124131) 3(3A矩阵的

10、求逆模型矩阵的求逆模型矩阵的求逆模型矩阵的求逆模型.C,B,A021102341010100001100001010 解矩阵方程解矩阵方程 AXB = C ，其中，其中.C,B,A021102341010100001100001010单单击击这这里里可可求求逆逆单单击击这这里里可可求求逆逆,1000010101A例例例例1212解解矩矩阵阵方方程程AXB = C ，其其中中解解解解下下面面求求 A 和和 B 的的逆逆矩矩阵阵.由由已已知知易易得得 X = A- -1CB- -1, 设设,2001,4121PAPP求求 An .例例例例 1313设设,2001,4121PAPP求求 An.解解解

11、解因为因为 | P | = 2，所以所以 P 可逆，可逆，由由求二求二阶矩阶矩阵逆阵逆矩阵的矩阵的“两调一除两调一除”法，得法，得.1124211P在在等式等式 AP = P 两边右乘两边右乘 P - -1，得得A = P P - -1，于是于是A2= P P - -1P P - -1= P 2P - -1，贩，An= P nP - -1，设设 (x) = a0 + a1x + + amxm 为为 x 的的 m 次多次多项式，项式，A 为为 n 阶方阵，记阶方阵，记 (A) = a0 E + a1 A + + am A m ， (A) 称为称为.从而从而 A 的几个多项式可以像数的几个多项式可

12、以像数 x 的多项式一样相的多项式一样相乘或分解因式乘或分解因式. 例如例如( E + A )( 2E A ) = 2E + A A2 ,( E A )3 = E 3A + 3A2 A3 .因为矩阵因为矩阵 Ak、 Al 和和 E 都是可交换的，所以都是可交换的，所以矩阵矩阵 A 的两个多项式的两个多项式 (A) 和和 f (A) 总是可交换的，总是可交换的，即总有即总有 (A) f (A) = f (A) (A)，如果如果 A = P P 1，则，则 Ak = P k P 1，从而，从而 (A) = a0 E + a1 A + + am Am = Pa0EP 1 + Pa1 P 1 + +

13、Pam mP 1= P ( )P 1 .如果如果 = diag(1 , 2 , , n)为对角矩阵为对角矩阵,则，则， k = diag(1k , 2k , , nk)，从而，从而 ( ) = a0 E + a1 + + am m mnmmmnaaa212110111.)()()(21n 设设,321,111201111PAPP求求 (A) = A3 + 2A2 3A .解解解解111201111|P计算计算计算计算6，所以所以 P 可逆，可逆，从而从而A = P P - -1，(A) = P( )P - -1.而而(1) = 0，(2) = 10，(3) = 0，故故( ) = diag(0

14、 , 10 , 0) .例例例例 1414设设,321,111201111PAPP求求(A) = A3+ 2A2 3A . 设方阵设方阵 A 满足满足,22OEAA证明证明EAA2及都可逆，并求都可逆，并求.)2(11 EAA及移移项项 得得EAA2及都都可可逆逆，并并求求.)2(11 EAA及变变形形所所给给的的等等式式，得得,22OEAA,22EAA,2)(EEAA分分解解因因式式 得得解解解解例例例例 b1b1设设方方阵阵 A 满满足足,22OEAA证证明明 设设,A321011324求求 B.B,AAB2例例例例 b2b2设设,A321011324求求 B.已已知知方方程程变变形形得得B,AAB2,2ABAB,)2(ABEA两两边边左左乘乘,)2(1 EA得得分分解解因因式式 得得解解解解 设设 n 阶矩阵阶矩阵 A, B, A + B 均可逆均可逆, 证明证明 (A- -1 + B- -1)- -1 = A(A + B)- -1B = B(B + A)- -1A. 设设 A 为为 n ( n 2 )阶方阵阶方阵, 证明证明 |A | = |A|n- -1.由由