自适应滤波及其应用

1、第第7章章 自适应滤波及其应用自适应滤波及其应用本章内容n一、自适应滤波的基本概念n二、横向自适应滤波器结构与随机梯度法n三、自适应滤波的最小均方算法n四、自适应滤波器的递归最小二乘法n五、自适应滤波器在医学信号分析处理中的应用7.1 自适应滤波的基本概念自适应滤波的基本概念n自适应滤波或自适应滤波器是信号处理领域的一个重要分支。自适应滤波器是一种能够根据输入信号自动调整自身性能并进行数字信号处理的数字滤波器，其本质特点是具有自学习和自调整即所谓自适应的能力。n自适应滤波器的原理如图7.1所示。7.2 横向自适应滤波器结构与随机梯横向自适应滤波器结构与随机梯度法度法7.2.1横向自适应滤波器的

2、结构及其性能函数横向自适应滤波器的结构及其性能函数.横向自适应滤波器 横向自适应滤波器是一类基本的自适应滤波器形式，一般分为单输入和多输入两种结构。在图7.2和图7.3中，自适应滤波器的权矢量为 (7.1)单输入结构，输入信号矢量 来自单一的信号源，即 ( 7.2)对于多输入结构的输入信号矢量来自M+1个不同的信号源，即 (7.3) TMnnnnw.10 TMnxnxnxnx.1 TMnxnxnxnx.10输入信号矢量 与滤波器权系数矢量 相乘 形成了时刻n的输出信号，即 (7.4)自适应系统的误差信号则为 n (7.5) nx nw nxnwnwnxnyTT nwnxndnxnwndnynd

3、neTTn当输入信号为平稳随机序列时，对式（7.5）两边平方，并取数学期望，可得 （7.6） 定义输入信号的自相关矩阵R为 (7.7) nwnxndnwnxnxnwndneTTT222 MnxnxMnxnxMnxMnxnxnxnxnxMnxnxnxnxnxnxnxRT222.1.1.11.1n或者 (7.8)n式（7.7）对应单输入的情况，是（7.8）对应多输入的情况。 nxnxnxnxnxnxnxnxnxnxnxnxnxnxnxnxnxRMMMMMT210110101020.n自适应滤波器的性能函数n习惯上称均方误差 为自适应滤波器的性能函数，并记为 、J或MSE，即 MSE= =J= (7

4、.12) 图7.4为典型的二维均方误差函数的示意图，通常称性能函数曲面为自适应滤波器的性能表面。f ne2 ne27.2.2二次型性能表面的搜索二次型性能表面的搜索n所谓在性能表面的搜索，其目的是找出性能函数最小值，并由此得到这个最小值的最佳权矢量，在数学上是利用导数求取曲线和曲面极值的问题。对于性能函数来说，需求其梯度，再根据二次型的性质，当梯度值为0时，即对应着性能函数的最小值。 n1. 牛顿法n牛顿法是求 的数学方法。假定 为变量x的一元函数，牛顿法的求解过程是由初始估值 开始，利用 的一阶导数在 点的值来计算新值 ，即 （7.17）n然后，利用 来计算 。迭代公式为 （7.18） 0

5、xf xf0 x xf0 x1x1x0001xfxfxx, 1 , 0,)( )(1kxfxfxxkkkk1x2xn通常用式（7.19）对导数值进行估计，即 （7.19）n这样，牛顿法可以表示为 （7.20）n注意，分母不能为零。11kkkkkxxxfxfxf,.1 , 0,111kxfxfxfxxxxkkkkkkkn利用牛顿法搜索性能表面，实际上是寻找性能函数的最小值，即其一阶导数（或梯度）为零的点。定义 为性能函数第m个权系数的一阶导数，则权系数的迭代公式为 （7.21）n其中， 和 分别为均方误差函数相对于第m个权系数的一阶二阶导数。Mmm,.,1 , 0, MmnnnnmmmM,.,1

6、 , 0, 1 nm nm n考虑矢量形式，性能函数的梯度可以表示为 （7.22）n其性能函数的二阶导数为 （7.23）n另一方面，已知均方误差性能函数的梯度表示为 （7.24） TMnwn.10 TMnwn22212202. pnRwn22 n用 左乘上式两边，并根据 ，有 （7.25）n写成自适应迭代形式，有 （7.26）n这表明，当性能函数为二次型函数时，牛顿法经过一步迭代就可以达到最佳 。121RpRwopt1 nRnwwopt121 nRnwnw1211optwn实际应用中，牛顿法的计算要复杂得多。一方面，由于缺少关于信号噪声的统计先验知识，必须对矩阵R和矢量p进行估计；另一方面，性

7、能函数还有可能是非二次型的。这些因素都是直接影响牛顿法的性能。通常，需要引入一个收敛因子来调节牛顿自适应迭代的速度，这样式（7.26）变为 （7.27） 10 ,11nRnwnwn2. 最速下降法n在自适应滤波器的性能表面搜索过程中，最速下降法沿性能表面最速下降的方向，即负梯度方向，或性能函数 的梯度 的反方向连续调整滤波器的权矢量 。梯度矢量可以表示为 （7.28）n这样，最速下降法可以表示为 nw n nw nwnwn （7.29） 其中，是正值常数，称为收敛因子，用于调整自适应迭代的步长，故又称为自适应算法的迭代步长。n为了证明最速下降法满足 将性能函数在 处进行一阶泰勒展开，并利用式（

8、7.29），有 （7.30） nnwnw1 nwnw1 nw 21nnwnwn最速下降法的自适应迭代公式可以通过把式（7.24）代入到式（7.29）得到，即 （7.31）n最速下降法的稳定性取决于两个因素，一个是收敛因子的取值，二是自相关矩阵R的特性。定义权误差矢量 为 （7.32）n利用式（7.32）和 ，消去式（7.31）中的互相关矢量p，有 nRwpnwnw1 optwnwnc ncpRwopt1 （7.33）n式（7.33）再次强调了最速下降法的稳定性是由和R控制的。利用正交相似变换，可以将自相关阵R表示为 （7.34）n其中， 为正交矩阵，满足 （7.35a） （7.35b） ncR

9、Inc211QQRTQQ1IQQ 1Qn矩阵 的各个列矢量为自相关矩阵R的特征值相对应的特征矢量。 为一对角阵，其对角元素为矩阵R的特征值。通常将这些特征值表示为 ，且均为正的实值。每一个特征值对应矩阵 中一列特征矢量。将式（7.34）代入式（7.33），有 （ 7.36）n两边左乘 ，并利用正交矩阵的性质，有 （7.37）QM,.,10Q ncQQInc1211Q ncQIncQ1121n定义 （7.38）n有 （7.39）n设 的初始值为 （7.40）n再假定自适应滤波器权矢量的初始值为 =0，则有 （7.41） optwnwQncQnc11 ncInc21 0 c optwnwQc10

10、0w optwQc10n考虑 矢量的第m个模式，则式（7.39）所示最速下降法的迭代公式变为 （7.42）n其中， 的自相关矩阵R的第m个特征值； 为矢量 的第m个元素。 由于矩阵R为正定矩阵，其特征值均为正实值。 ，n=0,1，.构成一个等比级数，公比为 。为了保证最速下降法稳定收敛，必须保证 （7.44） nc Mmncncmmm,.,1 , 0,211m ncm nc ncmm211211mMm,.1 , 0n由此式可得最速下降法收敛因子的限制条件，即 （7.46）n其中， 为自相关矩阵R的最大特征值。n在实际应用中，如果计算的简单性相对重要，选择最速下降法是合适的，如果收敛速度是更重要

11、的，则应选取牛顿法及其改进方法。max10max7.3 自适应滤波的最小均方算法自适应滤波的最小均方算法7.3.1 最小均方算法nLMS算法包括滤波过程和自适应过程 。滤波过程和自适应过程组成一个反馈环，如图7.5所示。n误差信号 （7.47）n输出信号 （7.48）n输入信号矢量，单输入 n多输入 nyndne nxwnwnxnyTT TMnxnxnxnx.1 TMnxnxnxnx.10n现在的任务是采用一种方法来估计均方误差函数 的梯度 ，并以此梯度估值n 来替代最速下降法中的理论情况下的梯度真值。LMS算法进行梯度估计的方法是以误差信号每一次迭代的瞬时平方值代替其均方值，并以此来估计梯度

12、的，即 （7.49a）n写成矢量形式，有 ne2 n n TMnnennennen21202. （7.49b）n n将式（7.47）和式（7.48）代入式（7.49b），有 （7.50）n用梯度估值 代替最速下降法中的梯度真值 有 （7.51）nwnen2 nxnenwnenen22 n n nxnenwnnwnw21n其中，为自适应滤波器的收敛因子。n式（7.51）即为著名的LMS算法的滤波器权矢量迭代公式。下图给出了实现LMS算法的流程图。7.3.2 LMS算法的性能分析算法的性能分析n1.LMS算法的收敛性n首先，可以证明LMS算法对性能函数梯度的估值是无偏的（证明略）。n为了研究方便，

13、假设LMS算法的连续两次迭代时间足够长，以保证输入信号 和 互不相关。由式（7.51）， 与 互不相关，这样，对式（7.51）取数学期望，有 （7.53） nx1nx nw nx nwnxnxnxndnwnxnenwnwT221n利用R和p的定义及 和 的互不相关性，有 （7.54）n其中，I为与R具有相同维数的单位矩阵。 nx nw pnwRInwRpnwnw2221n设权系数矢量的初始值为 ，则经过n+1次迭代，有 （7.55） 利用矩阵的正交相似变换，有 （7.56） 0w pRwRnwjnjn0122021 021cncnn其中， 为权矢量 的主轴坐标形式，即经过平移和旋转变换后的 ；

14、为自相关矩阵R的对角阵形式，其对角元素为才R的特征值，即 （7.57） 由于R是正定的，故所有特征值均为正实值。 nc nw nwM.10n对于角阵（I-2）,只要它的所有对角元素的值小于1，则有 （7.58）n这样，主轴坐标下权矢量c(n)的期望值达到最佳权矢量，即 （7.59）收敛因子应该满足下列收敛条件，即 （7.60）02limnnI 0nccoptmax10n其中， 是自相关矩阵R的最大的特征值，也是A阵中最大的对角元素。n由于 （7.61）n因此，式（7.60）所示收敛因子的限制条件可以改写为 （7.61）或 max Rtrtrmax Rtr10 （7.63）n其中，tr表示矩阵的

15、迹；Pin为输入信号的功率。n通常，式（7.63）比式（7.62）更便于使用。这是因为输入信号的功率比其自相关矩阵的特征更容易估计。n由式（7.59）知，当收敛条件 得到满足时，自适应滤波器的主轴坐标权矢量c(n)最终将收敛为0矢量，将c(n)变回到原始坐标inPM110max10n系下，则由c(n)的定义式（7.38）可知，LMS算法最终收敛为维纳滤波器， 对应于 （7.64） 上面的讨论过程中，对于两输入样本间不相关的假设是十分苛刻的。实际上，这类自适应滤波器的具体实现表明，即使在输入样本间有较大相关性时，权系数矢量的数学期望值也能收敛到维纳解，但这时得到的均方误差值比不相关时要大。 0o

16、ptcpRwopt1n2.自适应时间常数与学习曲线n由均方误差函数和最小均方误差表达式（7.11）和式（7.16），可以得到均方误差函数的另一种表达形式，即 （7.65） 按照式（7.32）的定义，可进一步改写为 （7.66） 经过正交相似变换，将坐标轴旋转至主轴坐标 optToptwnwRwnwmin nRcncTminn系，有 （7.67） 将式（7.45）代入式（7.67），由矩阵（I-2）和矩阵为对角阵，有 （7.69） 或写为标量形式 （7.70） ncncTmin 0202mincIcnT nmmMmmc202min210n其中， 为矢量c(0)的第m个分量； 为对角阵中第m个对角

17、元素。n式（7.70）即为LMS算法的自适应学习曲线，可见均方误差函数是迭代次数n的指数函数，只要收敛条件式（7.62）得到满足，均方误差将随着迭代的进行而指数下降，并最终收敛为最小均方误差 ，均方误差函数学习曲线如图7.7所示。 0mcmmn定义 （7.71）n实际上， 为式（7.43）所示等比级数的公比。若用指数包络曲线拟合这个等比级数，则可以得到时间常数，即 （7.72） 如果取式（7.71）的前2项，有 （7.74） Mmrmm,.,1 , 0,21mrMmrmm,.,1 , 0,1expMmrmm,.,1 , 0,11n比较式（7.71）和式（7.74），有 （7.75）n式（7.7

18、5）即为LMS算法的第m个权系数的时间常数。由公比 的定义及自适应学习曲线式（7.70），可以得到均方误差时间常数 与权系数时间常数 的关系，即 (7.76a) (7.76b)mm21Mm,.,1 , 0,mrmseMmMmrrmmmsemmmse,.,1 , 0,2,.,1 , 0,2n这样，第m模式的均方误差时间常数为 (7.77)n其中， 和 分别表示第m个权系数和第m个模式的权系数时间常数和均方误差时间常数； 为式（7.70）所示学习曲线的公比，定义为 (7.78)n时间常数的大小决定自适应学习过程的长短或收敛的快慢。mmmse41mmmsemmseMmrmmmse,.,1 , 0,2

19、127.4 自适应滤波器的递归最小二乘法自适应滤波器的递归最小二乘法n最小二乘(least squares)方法是1795年著名数学家Gauss为了解决行星轨道参数估计问题而提出的。Gauss认为，根据观测数据推断未知参数时，未知参数的最合适的数值是这样一个值，它使各项实际观测值与计算值之间差值的平方乘以度量其精确度的数值以后的和最小。7.4.1 线性最小原理线性最小原理n设线性组合器的结构如图7.11所示n现在的问题是利用线性组合器来估计期望响应 ，即 （7.154） n定义估计误差为 （7.155） 误差 的平方和为 （7.156） ny nxnwnxnnyTkMkk1 nxnwnynyn

20、yneT ne 102Nnnen设系数矢量在整个测量期间保持恒定，即线性时不变系统，则当平方误差最小时所得到的系数矢量为最小二乘准则下估计误差期望响应 的最佳矢量 。式（7.155）可以写为矢量形式为e=y-Xw。n其中， 和 分别为N1维误差矢量和期望响应， 为NM维输入数据矩阵； 为线性组合器的参数 nyLSw TNeeee1.10 TNeeee1.10 TNxxxX1.10TMw.21 矢量。利用矢量形式的回归方程，误差信号的能量可以写成 （7.158）其中， （7.159） （7.160） （7.161）eeTwRwwppwTTTy 102NnTnyyyy nxnxXXRTNnT10

21、nynxyXpNnT10n如果时间平均的相关矩阵 是正定，则最小二乘估计 可以由求下列正则方程得到，即 （7.162）n平均误差的最小值为 （7.163）RLSwpwRLSLSTyTyLSwppRp17.5自适应滤波器在医学信号分析处自适应滤波器在医学信号分析处理中的应用理中的应用7.自适应噪声抵消及其在医学信号噪自适应噪声抵消及其在医学信号噪声抑制中的作用声抑制中的作用n1.自适应噪声低效的基本原理n自适应噪声低消（ANC）系统是一种借助噪声的相关性在噪声中提取有用信号的自适应方法。自适应噪声抵消系统的原理图如图7.13所示。n原始输入信号 为有用信号 与噪声 之和，参考输入信号 是与 相关

22、噪声 。假定 ， 和 均为零均值平稳随机过程，且满足 ， 互不相关。由图7.13可见，自适应滤波器的输出 为噪声 的滤波信号，则整个自适应噪声抵消系统的输出 为 （7.178）n而 ny ns nv nv nvnvnsny nd nx nv nu ns nv nu ns nv nu （7.179）n取数学期望，有 （7.180） nvnvnsnvnvnsny2222 222 nvnvnsnyn信号功率 与自适应滤波器的调节无关，因此自适应滤波器调节使 最小，等价于 最小。由式（7.178） ，有 （7.181） 由自适应 滤波器的基本理论知，如果自适应滤波器的自适应过程是收敛的，且均方误差存在

23、，则自适应滤波器与威纳滤波器等效。该维纳滤波器的物理不可实现最优传递函数为 ns2 ny2 2 nvnv nsnynvnv （7.182）n其中 （7.183） （7.184）n现 ，且 由于 与 不相关，则有 zPzPzWxxxdopt jjxxjjxdzjnxnxzPzjndnxzP nvnsnd nunx ns nu （7.185） n若 与 不相关，则 ， 于是n ，滤波器没意义，因此，二者必须相关。n为了进一步说明自适应噪声抵消系统原理，图7.14说明其工作原理和工作过程。原始输入 由有用信号 与两噪声 和 之和组成，参考输入 由另外两个噪声 和 nu jjuvxdzjnvnuzPz

24、P nv 0zPxd 0zWopt nd ns nv nm1 nx nm2n 之和组成。 nanvnu* nanvnu*n其中，a(n)为传输通道的单位脉冲响应，其对应的传递函数为A(z)。由于v(n)与u(n)=s(n)*a(n)共源，因此二者是相关的。另一方面，v(n)与s(n)是不相关的。噪声m1(n)与m2(n)是互不相关的，且二者与s(n)，v(n)，u(n)均不相关。d(n)=s(n)+v(n)+m1(n)为期望响应。e(n)为误差信号，e(n)=y(n)。若自适应过程是收敛的，并且有最小均方解，则自适应滤波器与维纳滤波器等效，其最优传递函数等于维纳滤波器的传n递函数，与式（7.1

25、82）完全相同。这时，自适应滤波器的输入功率谱为 （7.186）n滤波器输入与期望响应之间的互功率谱n仅与原始输入及参考输入的相关分量有关，即 （7.187）n这样，式（7.182）变为 （7.188） 221zAzPzPzPwmmxx zPxd 1zAzPzPxd 2121zAPzPzAzPzWmmoptn由此可见， 与原始输入中有用信号的功率谱 及非相关噪声功率谱 无关。若参考输入中的加性噪声m2(n)为零，则 为零，滤波最优传递函数变为 （7.189）n式（7.189）表明，自适应滤波器的最优传递函数 等于参考输入传输通道传递函数A(z)的逆。这时，自适应滤波器可以使噪声 zWopt z

26、Pss zPmm11 zPmm22 zAzWopt1 zWoptnv(n)在自适应噪声抵消系统的输出为零，但原始不相关噪声m1(n)则完全不能抵消。n2.自适应噪声抵消的应用n下面举例说明自适应噪声抵消系统在医学信号检测分析中的应用。n母腹电极上胎儿心电信号的提取n胎儿的心电图监护是孕妇怀孕期间保证母子安全的重要技术手段之一。借助胎儿心电图的观测，在优生学方面，孕妇怀孕的中期后期，可以借助胎儿心电图的检查，了解并预测胎儿在子宫内的生理状况。这里我们以胎儿心电信号处理为例，说明自适应噪声抵消系统的应用。n胎儿的心电图是在孕妇母体腹壁测量的，称为腹壁胎儿心电图，简称为胎儿心电图。从母体腹壁测量得到

27、的信号x(t)可以表示为 （7.190）n其中，s(t)为胎儿的心电图信号；m(t)为母亲的心电信号；v(t)为噪声干扰。n胎儿心电图信号测量如图7.15所示。 tvtmtstxn由于胎儿心电信号s(t)较弱，加之母亲心电和噪声干扰的影响，因此医生很难直观地鉴别出胎儿的心电信号，图7.16给出了一个典型的由母体腹壁得到的胎儿心电图。显然，胎儿心电信号基本上被母体心电信号和噪声干扰所淹没。n如果采用自适应噪声抵消系统，以母体胸导得到的母亲心电信号作为参考信号对胎儿心电信号的影响，从而提取出较为纯净的胎儿心电信n号。图7.17给出了采用自适应噪声抵消方法提取胎儿心电信号的结果。n例7.2 心电图中

28、工频干扰的消除n所谓工频干扰，一般指由供电电网所产生的50Hz的干扰。在心电测量时，如果心电图机的屏蔽或接地处理不当，则有可能在心电图中引入一定得工频干扰。工频干扰的存在，对于正确判读心电图信号，并正确进行临床诊断具有很大的危害，应该尽力消除。n如果工频干扰的频率比较稳定，一般可以采用具有固定中心频率的窄带带阻滤波器（陷波器）n来消除。在很多情况下，人们有可能不易准确知道工频干扰的频率，另一方面，工频干扰也许会存在一定的频率漂移，在这种情况下，自适应噪声抵消系统是一个很好的选择。图7.18给出了采用自适应噪声抵消系统在临床上消除工频干扰的示意图及其消除工频干扰后的心电图信号波形。n如图7.18

29、（a）所示，在心电图机的输入端引入自适应噪声抵消系统，图中d(t)=s(t)+n(t)是n心电放大器的输出，其中包含纯净心电信号s(t)和工频干扰n(t)。参考信号n(t)取自工频电源，经降压变压器送入自适应滤波器。自适应滤波器的作用是调节工频正弦信号的幅度和相位，使之与心电放大器输出的信号d(t)的误差信号达到e(t)最小，从而保证d(t)中的工频干扰被抵消，而纯净心电信号s(t)被保留在e(t)中。图7.18（b）为噪声抵消后的心电信号。n另一方面，由于工频干扰的频率相对比较固定，因此可以设计一个90移相网络，使图7.19上取得的两路参考信号 和 相互正交。由于采用多个正交分量经加权组合来

30、进行自适应处理，每路只需一个权重的一阶处理器，且每路可以单独调节，从而使系统收敛速度提高，算法也相对比较简单。c tns tnc图7.19 带有移向网络的自适应系统n例7.3 心电图中高频电刀干扰的去除n当高频电流通过人体组织时，由于每一振荡的电脉冲时间极短，很难引起离子迁移，故仅在富有黏滞性的体液中振动，从而产生热量。高频电刀就是利用高频电流通过机体的这种热效应而制成的，是一种取代机械手术刀进行组织切割的电外科器械。它通过有效电极尖端产生的高频高压电流与肌体接触时对组织进行加热，实现对肌体组织的分离和凝固，从而起到 切割和止血的目的。n高频电刀的工作频率一般为0.35MHz,且工作时功率较大

31、，有可能对其周边的医疗仪器产生高频干扰，从而影响这些仪器的正常使用。自适应噪声抵消系统可以用来消除高频电刀对心电监护波形的干扰，如图7.20所示。主输入信号d(t)取自一段心电图导联，其中既含有心电信号，又含有高频电刀所引入的干扰。参考输入信号 取自臂上相聚不远的两点，因此只含有高频电刀干扰。 txn射频滤波器用来消除来自高频电刀高频信号的直接干扰，其前级是无源滤波，以提高输入阻抗为目的，后级是有源滤波。光耦合的作用是避免共地等共模干扰的产生。低通滤波器用于消除600Hz以上的频率分量。图7.21给出了自适应噪声抵消处理前后的信号波形。显然，经过自适应噪声抵消系统处理之后，信号中的高频干扰显著

32、降低了。7.5.2 自适应谱线增强及其在医学信号分自适应谱线增强及其在医学信号分析处理中的应用析处理中的应用n1. 自适应谱线增强的基本原理n自适应谱线增强（ALE）是一种在带宽噪声中检测较弱的正弦信号或窄带宽信号的自适应方法。原理图如图7.22所示。nASE实际上是一个没有外界参考输入信号的自适应噪声抵消系统。其作用是抑制带宽噪声，尽可能地增强或突出窄带宽或正弦信号，以便进行谱分析等后续处理。设图中右半部分ANC系统的原始输入信号为 ，其中， 为窄带或周期性信号， 表示带宽噪声。将 延迟个采样间隔后再送入自适应噪声抵消系统，自适应滤波器的系数仍然按照最小均方准则进行调整。为使误差信号 的 tvtstx ts tv te txn均方值 达到最小，应使自适应的输出 尽量抵消 中的 成分，使得误差信号 中仅剩下 中的带宽噪声成分 。这样，当自适应算法收敛时， 是 的最优逼近，即可获得所要提取的窄带或正弦信号。nASE系统能够正常工作的关键是要保证延迟后信号 中的 与 不相关，并同时保证 与是 仍然相关。由于正弦或周期信号具有周期性的相关性，其延迟而失去 ty ts te tv ty tstxtv tvts ts txte2 tx txn去相关性，因此自适