信号与系统第7章

1、第第7章章 数字滤波器结构数字滤波器结构27.1 引言引言数字滤波器的数字滤波器的表示表示：差分方程差分方程和和系统函数系统函数： )()(1)(1k0rzXzYzazbzHNkkMrrMrNkknyarnxbny01kr)()()(3例如：例如： 可以证明可以证明: : ，但它们具有不同的运，但它们具有不同的运算结构。算结构。 211z15. 0z8 . 011)z( H112z5 . 015 . 2z3 . 015 . 1)z( H113z5 . 011z3 . 011)z( H)z()z()z(321HHH 运算结构不同，所需的存储单元及乘法次数不同，前运算结构不同，所需的存储单元及乘法

2、次数不同，前者影响运算的复杂性，后者影响运算速度。此外，在有限精者影响运算的复杂性，后者影响运算速度。此外，在有限精度情况下，运算结构的误差、稳定性也是不同的。度情况下，运算结构的误差、稳定性也是不同的。4p 基本结构单元基本结构单元p IIR数字滤波器的结构数字滤波器的结构 直接型、级联型、并联型直接型、级联型、并联型p FIR数字滤波器的结构数字滤波器的结构 直接型、级联型、频率采样型及线性相位型直接型、级联型、频率采样型及线性相位型本章主要内容本章主要内容57.2 基本结构单元基本结构单元p两种表示方法：两种表示方法：方框图表示法；流图表示法方框图表示法；流图表示法p三种运算：三种运算：

3、延时，乘以常数和相加延时，乘以常数和相加。 所以所以DF结构中有三个基本运算单元：结构中有三个基本运算单元：单位延时、乘法单位延时、乘法器和加法器器和加法器。6例例: :一阶数字滤波器一阶数字滤波器其方框图及流图结构如下：其方框图及流图结构如下：)1()()1()(101 nxanxanybny节点节点源节点源节点或或输入节点输入节点吸收节点吸收节点或或输出节点输出节点分支节点分支节点相加节点相加节点相加节点相加节点 信号流图是用信号流图是用节点节点与与有向支路有向支路描述连续或离散系统的。描述连续或离散系统的。77.3 IIR DF的基本结构的基本结构一、一、无限长单位脉冲响应滤波器的特点无

4、限长单位脉冲响应滤波器的特点（1）系统的单位冲激响应是无限长的；）系统的单位冲激响应是无限长的；（2）信号流图中含有反馈支路；）信号流图中含有反馈支路；（3）系统函数在有限平面上有极点，存在不稳）系统函数在有限平面上有极点，存在不稳定现象。定现象。二、二、IIR DF基本结构基本结构直接型、级联型、并联型直接型、级联型、并联型 直接型结构：直接直接型结构：直接I型、直接型、直接II型（正准型、典型（正准型、典范型）范型）81直接型直接型（1）直接）直接I型型由差分方程直接实现由差分方程直接实现)()()(M0N1krnyknyarnxbrk 一个一个N节延时链节延时链结构网络。不过它结构网络。

5、不过它是对是对y(n)延时，因而延时，因而是个是个反馈网络。反馈网络。 对输入对输入x(n)的的M节延时链结构，把每节延时抽头后节延时链结构，把每节延时抽头后加权相加，即是一个加权相加，即是一个横向网络横向网络。9结构特点：结构特点： （1）两个网络级联：第一个横向结构）两个网络级联：第一个横向结构M节延时网络实节延时网络实现零点，第二个有反馈的现零点，第二个有反馈的N节延时网络实现极点。节延时网络实现极点。 （2）共需）共需(N+M)级延时单元级延时单元 （3）系数系数ak、br不是直接决定单个零极点，因而不能很不是直接决定单个零极点，因而不能很好地进行滤波器性能控制。好地进行滤波器性能控制

6、。10（2）直接）直接II型（正准型型（正准型/典范型）典范型） 直接直接I型结构的两部分可看成两个独立的网络。型结构的两部分可看成两个独立的网络。 原理：原理：一个线性时不变系统，若交换其级联子系统的次一个线性时不变系统，若交换其级联子系统的次序，系统函数不变序，系统函数不变。 把此原理应用于直接把此原理应用于直接I型结构。即：型结构。即： （1）交换两个级联网络的次序；（）交换两个级联网络的次序；（2）合并两个具有相）合并两个具有相同输入的延时支路。同输入的延时支路。 直接直接II型型。)z()z()z()z(z1z)z(12211kk0rrHHHHabHNkMr MrbH0rr1z)z(

7、 NkaH1kk2z11)z(11直接直接I型型12 由于对调后前后两路都有一条内容完全相同的延时链，由于对调后前后两路都有一条内容完全相同的延时链，可以合并为一条即可。可以合并为一条即可。直接直接II型型13直接直接II型结构特点：型结构特点： （1）两个网络级联。）两个网络级联。 第一个有反馈的第一个有反馈的N节延时网络实现极点；节延时网络实现极点； 第二个横向结构第二个横向结构M节延时网络实现零点。节延时网络实现零点。 （2）实现）实现N阶滤波器（一般阶滤波器（一般NM)只需只需N级延时单元，级延时单元，所需延时单元最少，故称典范型所需延时单元最少，故称典范型。 （3）同直接）同直接I型

8、一样，型一样，具有直接型实现的一般缺点具有直接型实现的一般缺点。14例例7-1：已知已知IIR DF系统函数，画出直接型的结构流图。系统函数，画出直接型的结构流图。解：其对应的差分方程为解：其对应的差分方程为43214321zz4z2z12z18z27z11z31)z( H)4(18)3(27)2(11)1(3)()4()3(4)2(2)1(12)(16 nxnxnxnxnxnynynynyny 注意反馈部注意反馈部分系数符号。分系数符号。16152级联型级联型（1）系统函数因式分解）系统函数因式分解 一个一个N阶系统函数可用它的零、极点来表示阶系统函数可用它的零、极点来表示。 将将系统函数进

9、行进一步分解，使分子、分母中每个因式系统函数进行进一步分解，使分子、分母中每个因式的次数不高于的次数不高于2，这样可以使，这样可以使各项系数都是实数。各项系数都是实数。 N1k1kM1r1rN1kkkM0rrr)zd(1)zc(1Aza1zb)z(H16（2）基本二阶节的级联结构）基本二阶节的级联结构 经过若干分解及整理，可将经过若干分解及整理，可将H(z)分解为分解为实系数二节因子实系数二节因子的形式。的形式。22i11i22i11iizz1zz1)(z aabbH MiaabbAH122i11i22i11i)zz1(zz1)z(）（一般用直接一般用直接II型（正准型、典范型表示）型（正准型

10、、典范型表示） 基本二阶节基本二阶节，即滤，即滤波器的二阶节。波器的二阶节。17（3）用二阶节级联表示的滤波器系统）用二阶节级联表示的滤波器系统 整个滤波器是多个二阶节级联整个滤波器是多个二阶节级联结构特点结构特点 （a）每个二阶节系数）每个二阶节系数单独控制单独控制一对零点或一对极点，一对零点或一对极点，有利于控制频率响应，有利于控制频率响应，调整方面调整方面。 （b）级联结构中后面的网络输出不会再流到前面，运）级联结构中后面的网络输出不会再流到前面，运算误差的积累比直接型小。算误差的积累比直接型小。 M1ii)z()z(HAH18例例7-2：由下列差分方程描述的滤波器，画出其级联结构。由下

11、列差分方程描述的滤波器，画出其级联结构。 解解: :由差分方程，写出其系统函数由差分方程，写出其系统函数应用应用MATLAB函数函数dir2casb=1 -3 11 -27 18; a=16 12 2 -4 -1; b0,B,A=dir2cas(b,a) % 直接型到级联型的型式转换直接型到级联型的型式转换运行结果运行结果b0 = 0.0625B = 1.0000 0.0000 9.0000; 1.0000 -3.0000 2.0000A = 1.0000 1.0000 0.5000; 1.0000 -0.2500 -0.1250)4(18)3(27)2(11)1(3)()4()3(4)2(2

12、)1(12)(16 nxnxnxnxnxnynynynyny43214321z4z2z12z1618z27z11z3z1(z) H21212120.125z0.25z12z3z10.5zz19z10.625(z) H193并联型并联型（1）系统函数的部分分式展开）系统函数的部分分式展开 将将H(z)展成部分分式的形式，就得到并联型的展成部分分式的形式，就得到并联型的IIR滤波滤波器的结构。器的结构。 “相加相加”在电路中用在电路中用并联并联实现。对于共轭复根部分，可实现。对于共轭复根部分，可将将它们成对地合并为它们成对地合并为二阶实系数的部分分式。二阶实系数的部分分式。 NkkrdAAabH1

13、1kk0N1kkM0rrz1z1z)z( MkLkaabbdAAH122k11k11k0k11kk0zz1zz1)z(20实现结构实现结构（1）可以单独调整极点位置可以单独调整极点位置，但不能象级联那样直接控制零但不能象级联那样直接控制零点。点。（2）误差最小误差最小。因为并联型。因为并联型各基本节的误差互不影响，所各基本节的误差互不影响，所以比级联误差还少。以比级联误差还少。（3）并联型结构运算速度高。并联型结构运算速度高。因为可同时对输入信号进行运因为可同时对输入信号进行运算。算。 MkLkaabbdAAH122k11k11k0k11kk0zz1zz1)z(（2）基本二阶节的并联结构）基本

14、二阶节的并联结构21 例例7-3 由下列差分方程描述的滤波器由下列差分方程描述的滤波器画出其并联结构。画出其并联结构。 解解 根据差分方程，得出对应系统函数为根据差分方程，得出对应系统函数为利用利用MATLAB函数函数dir2parb=1 -3 11 -27 18;a=16 12 2 -4 -1;b0,B,A=dir2par(b,a) %直接型到并联型的型式转换直接型到并联型的型式转换运行结果运行结果b0 = -18；B =-10.0500 -3.9500；28.1125 -13.3625A =1.0000 1.0000 0.5000； 1.0000 -0.2500 -0.1250)4(18)

15、3(27)2(11)1(3)()4()3(4)2(2)1(12)(16 nxnxnxnxnxnynynynyny43214321z4z2z12z1618z27z11z3z1z)( H22211211125. 025. 013625.131125.285 . 0195. 305.1018)(zzzzzzzH237.3 FIR DF的基本结构的基本结构一、一、FIR DF的特点的特点 （1）系统的单位冲激响应是有限长的；）系统的单位冲激响应是有限长的； （2）系统函数在）系统函数在|z|0平面上，只有零点，没有极点，平面上，只有零点，没有极点，所有极点都在所有极点都在z=0处，滤波器永远是稳定的；

16、处，滤波器永远是稳定的； （3）结构上主要是非递归结构，但有些结构也包含反）结构上主要是非递归结构，但有些结构也包含反馈的递归部分，比如频率采样结构。馈的递归部分，比如频率采样结构。24二、二、FIR的系统函数及差分方程的系统函数及差分方程 一个有限长脉冲响应滤波器有如下形式的系统函数一个有限长脉冲响应滤波器有如下形式的系统函数其脉冲响应其脉冲响应对应差分方程对应差分方程 10n)1(1N110zzz)(NnnNbbbbzH nNnbnh其其余余010)(n)1()1()()(110 NnxbnxbnxbnyN25三、三、FIR滤波器实现基本结构滤波器实现基本结构1）横截型结构（直接型）横截型

17、结构（直接型）2）级联型结构）级联型结构3）频率抽样型结构）频率抽样型结构4）线性相位结构）线性相位结构261.直接型结构（卷积型、横截型）直接型结构（卷积型、横截型） 10z )()z(NnnnhH)()()(10mnxmhnyNm or转置转置27例例7-4 已知已知FIR滤波器的单位脉冲响应为滤波器的单位脉冲响应为试画出其直接型结构。试画出其直接型结构。 解：解：)4(21. 0)3(11. 0)2(72. 0)1(3 . 0)()( nnnnnnh 43210.21z0.11z0.72z0.3z1z)( H282.级联型结构级联型结构 当需要控制滤波器的传输零点时，可将当需要控制滤波器

18、的传输零点时，可将H(z)系统函数分系统函数分解成解成二阶实系数因子二阶实系数因子的形成：的形成： 即可以由多个二阶节级联实现，每个二阶节用横截型结即可以由多个二阶节级联实现，每个二阶节用横截型结构实现。构实现。 MiNnnaaanhH122i11i0i10)zz(z )()z(29级联型结构特点：级联型结构特点：p由于这种结构所需的系数比直接型多，所需乘法运算也比由于这种结构所需的系数比直接型多，所需乘法运算也比直接型多，很少用。直接型多，很少用。p由于这种结构的每一节控制一对零点，因而只能在需要控由于这种结构的每一节控制一对零点，因而只能在需要控制传输零点时用。制传输零点时用。30例例7-

19、5 已知已知FIR滤波器的差分方程滤波器的差分方程432121. 011. 072. 03 . 01)(zzzzzH试画出其级联型结构。试画出其级联型结构。解解 采用采用MATLAB函数函数dir2caspb=1 0.3 01.72 0.11 0.21;pC,B,A=dir2cas(b,1)运行结果运行结果pC =1pB = 1.0000 0.2514 1.5744 1.0000 0.0486 0.1334 pA = 1 0 0 1 0 0)1334. 00486. 01)(5744. 12514. 01()(2121 zzzzzH313.频率抽样型结构频率抽样型结构p若若FIR DF 的冲激

20、响应的冲激响应h(n)为有限长（为有限长（N）,则有：则有：h(n)H(z)H(k)H(ejw)DFTN等分抽样等分抽样单位园上单位园上频响频响Z变换变换内插内插对对h(n)可以利用可以利用DFT得到得到H(k)，再利用，再利用内插公式内插公式： 1011)(1)1()(NkkNNzWkHNzzH1)频率抽样型结构的导入频率抽样型结构的导入322）频率抽样型滤波器结构）频率抽样型滤波器结构 1011)(1)1()(NkkNNzWkHNzzH它是由两部分级联而成。它是由两部分级联而成。 10)(1)()(NkkczHNzHzH第一部分为梳状滤波器：第一部分为梳状滤波器：第二部分由第二部分由N个个

21、谐振器组成的谐振柜谐振器组成的谐振柜。)1()(NczzH 11)()( zWkHzHkNk 101101)()(NkkNNkkzWkHzH33(1)梳状滤波器梳状滤波器 它是一个由它是一个由N节延时单元所组成的梳状滤波器。它在单位节延时单元所组成的梳状滤波器。它在单位园上有园上有N个等分的零点个等分的零点，无极点。无极点。)1 ()(NczzHNkNNkezzkkNjkN 2:210,0102 而而等等间间隔隔角角度度为为即即令令：N2(a)零、极点特性零、极点特性34(b)幅频特性及流图幅频特性及流图2sin2)cos1(2sin)cos1()(sincos11)(22 NNNNeHNjN

22、eeHjcjNjc 梳状滤波器信号流图梳状滤波器信号流图和幅频曲线和幅频曲线35（2）谐振柜）谐振柜(a)谐振器：是一个一阶网络谐振器：是一个一阶网络。11)()( zWkHzHkNk谐振器的极点：谐振器的极点：的的无无损损耗耗谐谐振振器器。故故等等效效为为谐谐振振频频率率为为，即即处处响响应应为为无无穷穷大大，此此一一阶阶网网络络在在频频率率kNzHkNeeWzkjkNjkN 2)(22 z-1WN-kH (k)101101)()(NkkNNkkzWkHzH36(b)谐振柜：谐振柜：它是由它是由N个谐振器并联而成的。个谐振器并联而成的。101101)()(NkkNNkkzWkHzH这个谐振柜

23、的极点正好与梳状滤波器的一个零点（这个谐振柜的极点正好与梳状滤波器的一个零点（i=k)相抵相抵消，从而使这个频率（消，从而使这个频率（ )上的频率响应等于上的频率响应等于H(k)。将两部分级联起来，得到频率抽样结构。将两部分级联起来，得到频率抽样结构。)()()()()()(22kHezkHezzHzHNkjkNkjkkc kN 2 37频率抽样型结构流图频率抽样型结构流图 1011)(1)1()(NkkNNzWkHNzzH (1)它的系数它的系数H(k)直接就是直接就是滤波器在滤波器在 处的处的频率响应。因此，频率响应。因此，控制滤控制滤波器的频率响应是很直接波器的频率响应是很直接的。的。(

24、2)它的零、极点数目只取决它的零、极点数目只取决于于h(n)的长度，只要的长度，只要h(n)长度相同，利用同一梳状长度相同，利用同一梳状滤波器、同一结构而只有滤波器、同一结构而只有加权系数加权系数H(k)不同的谐振不同的谐振器，就能得到各种不同的器，就能得到各种不同的滤波器滤波器,所以其结构可以所以其结构可以高度模块化、标准化，高度模块化、标准化，适适用于时分复用。用于时分复用。kNk 2 优优 点点38缺点：缺点：(1)所有谐振器的极点都是在单位园上所有谐振器的极点都是在单位园上,由由 决定。考虑到决定。考虑到系数量化的影响，当系数量化时，极点会移动，有些极点系数量化的影响，当系数量化时，极

25、点会移动，有些极点就不能被梳状滤波器的零点所抵消，（零点由延时单元决就不能被梳状滤波器的零点所抵消，（零点由延时单元决定，不受量化的影响）影响系统的稳定性。定，不受量化的影响）影响系统的稳定性。(2)所有的相乘系数及所有的相乘系数及H(k)都是复数，完成复数相乘，对硬都是复数，完成复数相乘，对硬件实现不方便。件实现不方便。kNW39注：修正的频率抽样结构注：修正的频率抽样结构p为了克服系数量化后可能不稳定的缺点，将频率抽样为了克服系数量化后可能不稳定的缺点，将频率抽样结构做一点修正。即将所有零极点都移到单位圆内某结构做一点修正。即将所有零极点都移到单位圆内某一靠近单位圆、半径为一靠近单位圆、半

26、径为r(r1)的圆上，同时梳状滤波的圆上，同时梳状滤波器的零点也移到器的零点也移到r圆圆上。（即将频率采样由单位上。（即将频率采样由单位圆圆移到移到修正半径修正半径r的的圆圆上）上）p为了使系数是实数，可将共轭根合并，这些共轭根在为了使系数是实数，可将共轭根合并，这些共轭根在半径为半径为r的圆周上以实轴成对称分布。的圆周上以实轴成对称分布。4012122111011221121011/)cos()()()(NkkkNNzrzkNrzrzNHrzHNzrzH）N=偶数偶数41N=奇奇数数42例例7-6 设设 求并画出频率采样结构。/,/,/,/)(9192939291，nh直接调用直接调用dir2fs函数程序函数程序 ph=1,2,3,2,1/9;pC,B,A=dir2fs(h)运行结果运行结果pC = 0.5818 0.0849 1.0000pB = -0.8090 0.8090；0.3090 -0.3090pA =1.0000 -0.6180 1.0000； 1.0000 1.6180 1.0000； 1.0000 -1.0000 011618. 11309. 0309. 00849. 0618. 01809. 0809. 05818. 051)(12112115 zzzzzzzzzH43因为