四川大学常微分方程教案

1、四川大学教案【首页】课程名称常微分方程授课专业数学学院年级大二课程编号课程类型必修课校级公共课（）；基础或专业基础课（，）；专业课（）选修课限选课（）;任选课（）授课方式课堂讲授（，）；实践课（）考核方式考试（，）；考查（）课程教学 总学时数学分数学时分配课堂讲授学时； 习题课，测验等学时教材名称常微分方程作者张伟年，杜止东,徐冰出版社及 出版时间高等教育出版社 .可选参考书.（阿诺德），常微分方程，沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译,北京： 科学出版社，.口蔡燧林，常微分方程，杭州：浙江大学出版社,.口 丁同仁、李承治，常微分方程教程（第二版），北京：高等教育出版 社，.口金福临、李训经,常微分方程，

2、上海：上海科学技术出版社,.口林武忠、汪志鸣、张九超，常微分方程，北京：科学出版社，.口 土高雄、周之铭、朱思铭、王寿松，常微分方程（第二版），北京： 高等教育出版社,.口王柔怀、伍卓群，常微分方程讲义，北京：人民教育出版社,.叶彦谦，常微分方程讲义（第二版），北京：人民教育出版社,.授课教师张伟年职称教授单位数学学院授课时间年月一年月注：表中（）选项请打四川大学教案【理科】周次第一周，第次课章节 名称第一讲：§常微分方程模型授课 方式* 一，、.一、教 学理论课（，）；实践课（）；实习（）窘: 时数教 学 目 的 及 要 求.了解常微分方程的一般形式.通过具体实例来了解如何建立常微

3、分方程模型教学内容提要一、问题的提出常微分方程的一般形式）函数方程（泛函方程）：）微分方程常微分方程偏微分方程）阶常微分方程（阶方程） 二、几个具体的例子 例物体作水平运动 例自由落体运动例弹簧振子的水平自由运动 例 大体运动中的二体问题 例几何问题三、本讲习题教学重点 重点：了解常微分方程的一般形式，并通过具体实例来了解如何建立常与微分方程模型。难点作 业、选 作 题习题，.教 学 手 段多媒体课件为主、黑板教学为辅参考资料与备注.（阿诺德），常微分方程，沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译,北京：科学出版 社，.丁同仁、李承治，常微分方程教程（第二版），北京：高等教育出版社,.王柔怀、伍卓群，常微分方

4、程讲义，北京：人民教育出版社,.四川大学教案【理科】周次第一周，第次课章节 名称第二讲：§微分方程求解思想授课 方式理论课（，）；实践课（）；实习（）教学 时数教 学 目 的 及 要 求.了解微分方程的精确解与近似解.微分方程的几何分析.给出微分方程形式的分类教学内容提要一、计算与近似计算.微分方程的解.微分方程的通解与特解.初值问题(问题).近似解二、几何分析.积分曲线.等倾线()水平等倾线，竖直等倾线例例三、微分方程形式.隐式微分方程.规范形式一阶方程.一阶微分方程组.线性微分方程一阶线性微分方程的规范形式 四、本讲习题教 学 重 点 与 难 点重点：了解微分方程的精确解与近似解

5、掌握微分方程形式的分类难点：在不求出精确解的情况卜对微分方程进行几何分析作 业、选 作 题作业：习题,（）.选作题：求以初速度V0在空气中铅直上抛的物体的运动方程,其中物体质量为m , 阻尼与速度的平方成正比，比例系数为k2.又问物体达到最高点的时间是 多少？教 学 手 段多媒体课件为主、黑板教学为辅参考资料与备注.（阿诺德），常微分方程，沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译,北京：科学出版 社，.丁同仁、李承治，常微分方程教程（第二版），北京：高等教育出版社,.王柔怀、伍卓群，常微分方程讲义，北京：人民教育出版社,.四川大学教案【理科】周次第二周，第次课章节 名称第三讲：§基本问题授课 方式*

6、 一，、.一、教 学理论课（，）；实践课（）；实习（）T教 学 目 的 及 要 求.含有个参数的函数是一个阶微分方程的通解。.一个阶微分方程的通解包含个任意常数。教学内容提要一、主要结果事实：微分方程的通解含有任意参数问题：给一个含有任意参数的函数，是否能找到一个微分方程，使 得这个函数正好是这个方程的解呢？定理二、证明思路行列式不为.建立方程组.求解参数补充:隐函数定理，联系数学分析相关知识。.解与方程的对应教 学 重 点 与 难 点三、本讲习题难点：了解一个微分方程的解中的参数与微分方程的解的关系；给定任意一个函数能否找到一个微分方程使其的解正好是这个 函数？作 业、选 作 题作业：习题（

7、）（）.选作题：平面上安放长度为2a的细磁棒，如果撒些小铁钉,他们将按磁场的 方向排列.可将细磁棒简化为放在两端点处的两个异性点磁荷，磁量分 别为和.试求出这个磁场湎足的微分方程.进而，回出磁场的方向场图 并分析上面的积分曲线.教 学 手 段多媒体课件为主、黑板教学为辅参考资料与备注.（阿诺德），常微分方程，沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译,北京：科学出版 社，.丁同仁、李承治，常微分方程教程（第二版），北京：高等教育出版社,.王柔怀、伍卓群，常微分方程讲义，北京：人民教育出版社,.四川大学教案【理科】周次第二周，第次课章节 名称第四讲：§变量分离形式授课 方式理论课（，）；实践课（）；实习

8、（）教学 时数教 学 目 的 及 要 求.什么是方程的隐式解.什么是变量分离形式的方程.分离义量法.常数变易法.可化为变量分离形式方程的求解教学内容提要一、初等积分法初等积分法的定义微分方程的隐式解二、变量分离方程变量分离形式方程方程通解的求法方程特解的求法例例三、可化为变量分离方程的类型一阶线性微分方程常数变易法与常数变易公式例方程例齐次方程线性分式形式的微分方程例四、本讲习题教学重点与难点变量分离形式方程的求解难点:方程的求解2齐次方程的求解3线性分式形式的微分方程的求解作 业、选 作 题作业：习题，()()()()()，()()()，()()，()().选作题：、一一、一 dy ,、，一

9、.设yi(x), y2(x)是万程=十p(x)y = q(x)的两个互异解.求证对于该方程型 dx一解y(x),下式y(x) - yi(x) ，、，、=C，y2(x)-yi(x)恒成立，其中C是某常数.教 学 手 段多媒体课件为主、黑板教学为辅参考资料与备注.(阿诺德)，常微分方程，沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译,北京：科学出版 社，.丁同仁、李承治，常微分方程教程(第二版)，北京：高等教育出版社,.王柔怀、伍卓群，常微分方程讲义，北京：人民教育出版社,.四川大学教案【理科】周次第三周，第次课章节 名称第五讲：§恰当方程形式课式 授方理论课(，)；实践课()；实习()教学 时数教 学 目

10、的 及 要 求.什么是恰当方程2 .如何判定微分方程是恰当的3 .如何寻求恰当方程的解4 .如何使方程变得恰当5 .寻求特殊的积分因子教学内容提要一、恰当方程恰当方程（全微分方程）的形式与所满足的条件首次积分提出两个问题）如何判断一个微分方程是否为恰当方程？）若方程是恰当的，如何寻求全微分的原函数？二、恰当方程的判定定理定理 判定微分方程是恰当方程的充分必要条件例二、积分因子法问题:有的方程即使是分组也无法看出它是恰当方程.这时我们问:是否可以将方程做等式变形从而化成一个恰当方程呢 ？ 积分因子结论问题：如何来寻求这些积分因子？特殊情况下的积分因子例其它情况进一步分析例四、本讲习题教学重点与难

11、点重点：恰当方程的判定 寻求积分因子难点：寻求积分因子作 业、选 作 题作业：习题（）（）（），（）（）（），选择题：假设微分方程 =tan y - e secy有形如e -ax cosy dx的积分因子,试确定其中的常数a,并求解该方程.教 学 手 段多媒体课件为主、黑板教学为辅参考资料与备注.（阿诺德），常微分方程，沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译,北京：科学出版 社，.丁同仁、李承治，常微分方程教程（第二版），北京：高等教育出版社,.王柔怀、伍卓群，常微分方程讲义，北京：人民教育出版社,.四川大学教案【理科】周次第三周，第次课章节 名称第六讲：§隐式方程授课 方式理论课（，）；实践课（

12、）；实习（）教学 时数教 学 目 的 及 要 求1 .隐式方程2.隐式方程的化简教学内容提要一、隐式方程一阶隐式方程的形式求解思想）将p=dy看成独立的变量 dx）将代数方程F（x,y, p）=0所定义的曲面参数化）通过变量替换的方法把方程（）化为导数已解出的显式方程）用上两节已给出的方法求解.具体求解方法二、几类可解的特殊的隐式方程可以解出的方程可以解出的方程不显含的隐式方程不显含的隐式方程例三、其他情形隐式方程中可解出由，例 dx隐式方程轮不显含，例教 学 重 点 与 难 点重点：隐式方程的求解作 业、选 作 题教 学 手 段多媒体课件为主、黑板教学为辅参考资料与备注.（阿诺德），常微分方

13、程，沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译,北京：科学出版 社，.丁同仁、李承治，常微分方程教程（第二版），北京：高等教育出版社,.王柔怀、伍卓群，常微分方程讲义，北京：人民教育出版社,.四川大学教案【理科】周次第四周，第次课章节 名称第七讲：§初等积分法的一些应用授课 方式* 一，、.一、教 学理论课（，）；实践课（）；实习（）T教 学 目 的 及 要 求.方程的奇解与包络.利用初等积分法求解一些特殊的高阶微分方程.平向保守系统的轨道.方程的解教学内容提要一、奇解曲线族的包络 包络的性质判别曲线例方程的奇解方程的奇解判别判别曲线例二、高阶微分方程求解的基本思想：）不显含未知函数的方程）不显含自变

14、量的方程）齐次方程）全微分方程例，例三、平面保守系统一个具体例子相平面，轨道，相图更一般的情况四、方程方程的求解一种特殊情况结果五、本讲习题教学 重点；方程的奇解判别重高阶微分方程求解的基本思想点与难点作业：作 业、选 作 题习题（）（）（），（）（），（）（），.选作题：）求解下列方程a）（第5一5（22 +1 = 0 b） = _Jy-x+l）试证若y =Wx）是方程dy = P（x）sin y的满足初始条件中（。）=。的解, dx邛（x）三0，其中p（x）在一°° < x父°°上连续.教 学 手 段多媒体课件为主、黑板教学为辅参考资料与备注.

15、（阿诺德），常微分方程，沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译,北京：科学出版 社，.丁同仁、李承治，常微分方程教程（第二版），北京：高等教育出版社,.王柔怀、伍卓群，常微分方程讲义，北京：人民教育出版社,.四川大学教案【理科】周次第五周，第次课章节 名称第八讲：§存在性与唯一性授课 方式理论课（，）；实践课（）；实习（）教学 时数教 学 目 的 及 要 求.深刻理解线性系统解的存在唯一性定理的理论意义.理解线性系统解的存在唯一性是近似计算的前提.掌握线性系统的存在唯一性定理及其证明.教学内容提要一、问题的提出解的存在性为方程的求解提供理论基础;的存在唯一性是近似计算的前提。二、存在唯一性定理定理

16、三、矩阵函数的性质四、定理的证明证明共分五步完成小结五、本讲习题教 学 重 点 与 难 点重点：线性系统解的存在唯一性定理难点：线性系统解的存在唯一性定理的证明作 业、选 作 题作业：习题，一选作题：设x(t)连续，且| x(t)|WL+ M f|x(7)|d7,其中L, M非负.试用逐步逼近法证明：|x(t)|WLeM(t4),灯& WtWP.教 学 手 段多媒体课件为主、黑板教学为辅参考资料与备注.(阿诺德)，常微分方程，沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译,北京：科学出版 社，.丁同仁、李承治，常微分方程教程(第二版)，北京：高等教育出版社,.王柔怀、伍卓群，常微分方程讲义，北京：人民教育出

17、版社,.四川大学教案【理科】周次第六周，第次课章节 名称第九讲：§齐次线性方程组的通解结构授课 方式* 一，、.一、教 学理论课（，）；实践课（）；实习（）T教 学 目 的 及 要 求.掌握齐次线性微分方程组解的叠加原理；2 .理解向量函数线性相关和线，性无关的概念；3 .掌握行列式；4 .掌握公式和定理.教学内容提要一、线性相关匕无关的定义二、解的叠加原理定理的证明思路三、行列式四、定理定理的证明基解矩阵与标准解矩阵的定义初值问题的解说明:对定理的一点解释五、本讲习题教学重点：齐次线性微分方程组解的叠加原理重 点公式和定理.与 难 点难点：行列式作 业、选 作 题作业：习题,.选作

18、题：设x(t) = A(t)x(t) , A是与周期连续的，且X(t)为基解矩阵，证明：X (t +切)也是基解矩阵且存在可逆矩阵 C ,使彳4 X (t +6 ) = X (t)C .教 学 手 段多媒体课件为主、黑板教学为辅参考资料与备注.(阿诺德)，常微分方程，沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译,北京：科学出版 社，.丁同仁、李承治，常微分方程教程(第二版)，北京：高等教育出版社,.王柔怀、伍卓群，常微分方程讲义，北京：人民教育出版社,.四川大学教案【理科】周次第六周，第次课章节 名称第十讲：§非齐次线性方程组的通解授课 方式理论课(，)；实践课()；实习()教学 时数教学目.深刻理解齐

19、次与非齐次线性方程组解之间的关系的2.掌握常数变易法；及3.理解并学会使用常数变易公式.教学内容提要、通解结构、通解定理、常数变易法通解定理的证明四、本讲习题教 学 重 点 与 难 点重点：常数变易公式及其应用难点：常数变易法作 业、选 作 题作业：习题，选作题：设A(t)是区间汽邛上的nx n阶连续矩阵函数,f(t)是区间世邛上的不包为零的n维连续列向量.试证非齐次线性方程组x(t)= A(t)x(t) f(t) 存在且至多存在个线，住无关的解。教 学 手 段多媒体课件为主、黑板教学为辅参考资料与备注.(阿诺德)，常微分方程，沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译,北京：科学出版 社，.丁同仁、李承治，常

20、微分方程教程(第二版)，北京：高等教育出版社,.王柔怀、伍卓群，常微分方程讲义，北京：人民教育出版社,.四川大学教案【理科】周次第七周，第次课章节 名称第讲：§高阶线性方程授课 方式* 一，、.一、教 学理论课（，）；实践课（）；实习（）T教 学 目 的 及 要 求i.深刻理解高阶方程常阶方程组解的区别和联系。2.掌握利用公式降阶的方法。教学内容提要一、高阶方程与一阶方程组阶线性微分方程的一般形式齐次与非齐次的情况二、行列式定义三、定理四、通解结构五、例题六、本讲习题教 学 重 点 与 难 点重点：高阶线性方程的解作 业、选 作 题作业：习题,选作题：不用 公式而直接用变量代换x =

21、 x1（t）y来对方程d_X+ai（t）9x + a2（t）x=0降阶并证明其通解表达式.dt2dt教 学 手 段多媒体课件为主、黑板教学为辅参考资料与备注.（阿诺德），常微分方程，沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译,北京：科学出版 社，.丁同仁、李承治，常微分方程教程（第二版），北京：高等教育出版社,.王柔怀、伍卓群，常微分方程讲义，北京：人民教育出版社,.四川大学教案【理科】周次第七周，第次课章节 名称第十二讲：§复值解和级数解法授课 方式理论课（，）；实践课（）；实习（）教学 时数教 学 目 的 及 要 求1 .深刻理解线性方程组的实值解与复值解的区别和联系2 . 了解定理。3 .掌握幕

22、级数解法。教学内容提要一、复值矩阵函数复值矩阵函数的定义复值矩阵函数的求导与积分二、复值线性方程组定理，定理三、定理推论四、幕级数解法五、例题六、本讲习题教 学 重 点 与 难 点重点：理解线性方程组的实值解与复值解的区别和联系 微分方程的幕级数解法难点：定理的理解作 业、选 作 题作业：习题，一选作题：2用幕级数法求方程（t2 2t）修+5（卜1）5+3乂 = 0满足初值条件 dtdtx（1） =7 , x'（1） =3 的解.教 学 手 段多媒体课件为主、黑板教学为辅参考资料与备注.（阿诺德），常微分方程，沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译,北京：科学出版 社，.丁同仁、李承治，常微分方程教

23、程（第二版），北京：高等教育出版社,.王柔怀、伍卓群，常微分方程讲义，北京：人民教育出版社,.四川大学教案【理科】周次第九周，第次课章节 名称第十三讲：§齐次问题授课 方式* 一，、.一、教 学理论课（，）；实践课（）；实习（）T教 学 目 的 及 要 求1 .掌握待定指数函数法。2 .深刻理解齐次方程的基本解组的求解方法。教学内容提要一、微分方程的算子形式 二、齐次方程的基本解组 待定指数函数法 定理定理推论三、例题四、本讲习题教学重点与难点重点：齐次方程的基本解组的求解方法作 业、选 作 题作业：习题（）,（）,（），选作题：分析振动方程 £十26 dx.十82x=0的

24、特征根并给出通解，这里 dt2dt00Q, 0 >0.教 学 手 段多媒体课件为主、黑板教学为辅参考资料与备注.（阿诺德），常微分方程，沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译,北京：科学出版 社，.丁同仁、李承治，常微分方程教程（第二版），北京：高等教育出版社,.王柔怀、伍卓群，常微分方程讲义，北京：人民教育出版社,.四川大学教案【理科】周次第九周，第次课章节 名称第十四讲：§非齐次问题授课 方式理论课（，）；实践课（）；实习（）教学 时数教 学 目 的 及 要 求1 .掌握多项式微分算子的逆算子的基本性质。2 .深刻理解非齐次方程的特解的算子解法。教学内容提要一、逆算子的基本性质三条性质二

25、、非齐次方程的算子解法定理）解析展开法或解析相除法）代换法）二项式法二点注息事项三、例题四、本讲习题教 学 重 点 与 难 点重点：逆算子的基本性质难点：非齐次方程的特解的算子解法作 业、选 作 题作业：习题（）,（）,（）.选作题：一2 d2xdx.证明万程a2t r+ at+a0x= f（t）在适当的自变量代换下，能化为常系数dt21 dt 0线性齐次方程.教 学 手 段多媒体课件为主、黑板教学为辅参考资料与备注.（阿诺德），常微分方程，沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译,北京：科学出版 社，.丁同仁、李承治，常微分方程教程（第二版），北京：高等教育出版社,.王柔怀、伍卓群，常微分方程讲义，北京：人

26、民教育出版社,.四川大学教案【理科】周次第十周，第次课章节 名称第十五讲：§常系数线性方程组授课 方式* 一，、.一、教 学理论课（，）；实践课（）；实习（）T教 学 目 的 及 要 求1 .掌握指数函数法。2 .掌握矩阵指数函数法。3 .深刻理解齐次方程组对应于不同的特征值，其基本解组的不同表达 形式。教学内容提要一、矩阵指数函数引理矩阵指数函数的三条基本性质二、齐次方程组的基本解组定理三、例题四、本讲习题教学重 重点：求齐次方程组的基本解组点与难 难点：矩阵指数函数的基本性质点作 业、选 作 题作业：习题，（），（），（）.选作题：给定齐次方程组x = Ax,证明若A的所有特征根

27、实部都<0 ,则所有解当tT 9时趋于0 ;若实部都 <0且零实部的特征根都是简单根，则一切解对Vt >0都有界；若A有一 个特征根实部>0 ,则有解趋向无穷.教 学 手 段多媒体课件为主、黑板教学为辅参考资料与备注.（阿诺德），常微分方程，沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译,北京：科学出版 社，.丁同仁、李承治，常微分方程教程（第二版），北京：高等教育出版社,.王柔怀、伍卓群，常微分方程讲义，北京：人民教育出版社,.四川大学教案【理科】周次第十周，第次课章节 名称第十六讲：§应用：机械振动授课 方式理论课（，）；实践课（）；实习（）教学 时数教 学 目 的 及 要 求

28、了解一个具体例子教学内容提要关于弹性振动问题mx ax bx = 0, (a =0, b 0).分成下列几种情况讨论一、无阻尼自由振动物理解释，谐振动二、有阻尼自由振动有限运动，阻尼谐振三、无阻尼强迫振动四、有阻尼强迫振动共振现象五、本讲习题教 学 重 点 与 难 点重点：分析机械振动运动方程的解作 业、选 作 题作业：习题,.选作题：考虑一个由电感 L ,电容C和电源E串联组成的简单闭合电路，其中 E = E0sin6t.试证当6 =在 时，将发生共振现象,且当 J8时，电位差v（t）变得无界.教 学 手 段多媒体课件为主、黑板教学为辅参考资料与备注.（阿诺德），常微分方程，沈家骐、周宝熙、

29、卢亭鹤译,北京：科学出版 社，.丁同仁、李承治，常微分方程教程（第二版），北京：高等教育出版社,.王柔怀、伍卓群，常微分方程讲义，北京：人民教育出版社,.四川大学教案【理科】周次第周，第次课章节 名称第十七讲：§存在唯一性定理授课 方式* 一，、.一、教 学理论课（，）；实践课（）；实习（）T教 学 目 的 及 要 求1 .掌握存在唯一性定理及其证明。2 .深刻理解迭代法并与未来泛函分析学习相联系。3 .思考与线性系统的存在唯一性定理的区别和联系。4 .存在唯一性定理的局限性：结果是局部的。教学内容提要一、问题的提出二、条件的定义三、存在唯一性定理四、定理的证明证明思想：逐步逼近法

30、证明分五步完成五、几何意义有具体图例六、例题七、本讲习题教 学 重 点 与 难 点重点：条件的意义存在唯一性定理的证明与几何意义难点：思考与线性系统的存在唯一性定理的区别和联系作 业、选 作 题作业：习题,.选作题：dx试求初值问题 - = P（t）x + Q（t）, x（t0）= Xo的迭代序列，并通过求迭代序列 dt的极限求出初值问题的解。教 学 手 段多媒体课件为主、黑板教学为辅参考资料与备注.（阿诺德），常微分方程，沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译,北京：科学出版 社，.丁同仁、李承治，常微分方程教程（第二版），北京：高等教育出版社,.王柔怀、伍卓群，常微分方程讲义，北京：人民教育出版社,.四

31、川大学教案【理科】周次第周，第次课章节 名称第十八讲：§存在性定理授课 方式理论课（，）；实践课（）；实习（）教学 时数教 学 目 的 及 要 求1 .掌握存在性定理及其证明.2 .掌握折线法及其与微分方程的近似解法的联系3 .从函数空间的高度理解引理.4 .与存在唯一性定理的比较.教学内容提要一、存在性定理二、定理的证明思想：折线法折线法的构造及其几何意义三、一致有界与等度连续一致有界与等度连续的定义对定义的进一步说明四、引理比较Rn上的有界的无限点集必有收敛子列五、存在性定理的证明分四步完成六、e逼近解的定义七、本讲习题教 学 重 点 与 难 点重点：掌握存在性定理及其证明掌握折线法及其与微分方程的近似解法的联系.难点：试着从函数空间的高度理解引理与存在唯一性定理的比较作 业、选 作 题作业：习题第，题.选作题：利用存在定理证明隐函数定理的存在性部分.教 学 手 段多媒体课件为主、黑板教学为辅参考资料与备注.（阿诺德），常微分方程，沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译,北京：科学出版 社，.丁同仁、李承治，常微分方程教程（第二版），北京：高等教育出版社,.王柔怀、伍卓群，常微分方程讲义，北京：人民教育出版社,.四川大学教案【理科】周次第十二周，第次课章节 名称第十九讲：&