高考数学复习 第二章 函数 第四节 二次函数与幂函数课件 理

1、第四节二次函数与幂函数总纲目录教材研读1.二次函数与幂函数考点突破2.幂函数考点二二次函数的图象与性质考点二二次函数的图象与性质考点一幂函数的图象与性质考点三二次函数闭区间上的最值考点三二次函数闭区间上的最值教材研读教材研读1.二次函数二次函数(1)二次函数的定义形如f(x)=ax2+bx+c(a0)的函数叫做二次函数.(2)二次函数的三种表示形式(i)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a0);(ii)顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a0);(iii)两根式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a0).a0a0时,幂函数y=x有下列性质:a.图象都过点(0,0)、(1,1).b.在第

2、一象限内,函数值随x的增大而增大.(ii)当1),上述函数是幂函数的有()A.0个B.1个C.2个D.3个12x答案答案C只有y=x2,y=x是幂函数,故选C.C2.已知函数f(x)=ax2+x+5的图象在x轴上方,则a的取值范围是()A.B.C.D.10,201,20 1,201,020答案答案C由题意知即得a.0,0,a0,1200,aa120C3.若四个幂函数y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在同一坐标系中的图象如图,则a、b、c、d的大小关系是()A.dcbaB.abcdC.dcabD.abdc答案答案B根据幂函数的性质及图象可知选B.B4.已知幂函数f(x)=kx的图象过点,则k

3、+=.12,2232答案答案32解析解析由幂函数的定义知k=1.又f=,所以=,解得=,从而k+=.1222122212325.已知f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,且其定义域为a-1,2a,则y=f(x)的值域为.311,27答案答案311,27解析解析因为f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,所以其定义域a-1,2a关于原点对称,所以a-1=-2a,所以a=,因为f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,即f(-x)=f(x),所以b=0,所以f(x)=x2+1,x,其值域为.13132 2,3 3311,27考点一幂函数的图象与性质考点一幂函数的图象与性质典例典例1(1)已知

4、幂函数f(x)=(m2-3m+3)xm+1为偶函数,则m=()A.1B.2C.1或2D.3考点突破考点突破(2)若(a+1(3-2a,则实数a的取值范围是.12)12)A21,3答案答案(1)A(2)21,3解析解析(1)幂函数f(x)=(m2-3m+3)xm+1为偶函数,m2-3m+3=1,即m2-3m+2=0,解得m=1或m=2.当m=1时,幂函数f(x)=x2为偶函数,满足条件.当m=2时,幂函数f(x)=x3为奇函数,不满足条件.故选A.(2)易知函数y=的定义域为0,+),在定义域内为增函数,所以解得-1a0,若在(0,+)上单调递减,则0.12x1-1已知幂函数y=f(x)的图象过

5、点,则log9f(3)的值为()A.B.-C.2D.-213,331414答案答案A设幂函数f(x)=x(为常数),由题意得=,解得=,所以f(x)=,所以log9f(3)=log9=.33131212314A1-2已知a=,b=,c=2,则()A.bacB.abcC.bcaD.cab432233135答案答案Aa=,c=2=,而函数y=在(0,+)上单调递增,所以,即ba1,即x时,f(x)=x-x2.f(x)=3222321,231,2xxxxxx 或f(x)的图象如图所示,所以c-2或-1c-.34典例典例3已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8

6、,试确定此二次函数的解析式.解析解析解法一:设f(x)=ax2+bx+c(a0),依题意有解得所求二次函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7.2421,1,48,4abcabcacba 4,4,7,abc 解法二:设f(x)=a(x-m)2+n(a0),f(2)=f(-1),抛物线的对称轴为直线x=,m=.又函数f(x)的最大值是8,f(x)=a+8.2( 1)2 1212212xf(2)=-1,a+8=-1,解得a=-4.f(x)=-4+8=-4x2+4x+7.解法三:依题意知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a0),即f(x)=a

7、x2-ax-2a-1.又函数f(x)的最大值为8,=8(a0),解得a=-4.函数解析式为f(x)=-4x2+4x+7.2122212x24 ( 21)()4aaaa 方法技巧方法技巧求二次函数的解析式,一般用待定系数法,其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式,一般选择规律如下:2-1设f(x)=若存在实数b,使得函数g(x)=f(x)-b有两个零点,则a的取值范围是(-,0)(1,+).32,.xxaxxa答案答案(-,0)(1,+)解析解析如图,由y=x3和y=x2的图象可知,若存在b使g(x)=f(x)-b有两个零点,即f(x)=b有两个实根,则a1.2-2已知二次函数f(x)

8、的图象经过点(4,3),且截x轴所得的线段长为2,并且对任意xR,都有f(2-x)=f(2+x),求f(x)的解析式.解析解析f(2-x)=f(2+x)对xR恒成立,f(x)的图象的对称轴为直线x=2.又f(x)的图象截x轴所得的线段长为2,f(x)=0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)=a(x-1)(x-3)(a0),又f(x)的图象过点(4,3),3a=3,a=1.f(x)的解析式为f(x)=(x-1)(x-3),即f(x)=x2-4x+3.考点三二次函数闭区间上的最值考点三二次函数闭区间上的最值命题方向一求二次函数闭区间上的最值命题方向一求二次函数闭区间上的最值典例典例4已知f

9、(x)=ax2-2x,求f(x)在0,1上的最小值.解析解析当a=0时,f(x)=-2x,其在0,1上递减,当0 x1时,f(x)min=f(1)=-2.当a0时,f(x)=ax2-2x的图象的开口方向向上,且对称轴为x=.当1,即a1时,f(x)在上递减,在上递增,当0 x1时,f(x)min=f=-=-.当1,即0a1时,f(x)在0,1上递减.当0 x1时,f(x)min=f(1)=a-2.1a1a10,a1,1a1a1a2a1a1a当a0都成立,则实数a的取值范围为()A.B.C.-4,+)D.(-4,+)1,221,21,2命题方向二二次函数中恒成立问题命题方向二二次函数中恒成立问题

10、答案答案B解析解析因为对一切x,f(x)0都成立,所以当x时,a=-+=-2+,又-2+,则实数a的取值范围为.1,221,22222xx22x2x2112x122112x12121,2B方法技巧方法技巧1.二次函数的最值问题的类型及求解方法(1)类型:对称轴、区间都是给定的;对称轴动、区间固定;对称轴定、区间变动.(2)求解方法:抓住“三点一轴”进行数形结合,三点是指区间两个端点和中点,一轴指的是对称轴,具体方法是利用配方法、函数的单调性及分类讨论的思想求解.2.二次函数中恒成立问题的求解思路求解恒成立问题中的参数问题时,常用思路是分离参数,这种思路是将问题归结为求函数的最值,其依据是af(x)af(x)max,af(x)af(x)min(应用时注意f(x)的最大(小)值是否存在).3-1若函数f(x)=x2-2x+1在区间a,a+2上的最小值为4,则a的取值集合为()A.-3,3B.-1,3C.-3,3D.-1,-3,3答案答案Cf(x)=x2-2x+1=(x-1)2,图象的对