第二十届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷(小中组a卷)

1、2015年第二十届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小中组A卷）一、填空题（每小题10分，共80分）1. （10 分）计算：37524- （39X2） +5030+ （39X10） =.2. （10 分）如图中，NA+NB+NC+ND+NF+NG 等于 度.AB3. （10分）商店以每张2角1分的价格进了 一批贺年卡，共卖14. 57元.若 每张的售价相同，且不超过买入价格的两倍，则商店赚了 元.4. （10分）两个班植树，一班每人植3棵，二班每人植5棵，共植树115 棵.两班人数之和最多为.5. （10分）某商店第一天卖出一些笔，第二天每支笔降价1元后多卖出100 支，第三天每支笔比前一

2、天涨价3元后比前一天少卖出200支.如果这三 天每天卖得的钱相同，那么第一天每支笔售价是 元.6. （10分）一条河上有A, B两个码头，A在上游，B在下游.甲、乙两人分 别从A, B同时出发，划船相向而行，4小时后相遇.如果甲、乙两人分 另U从A, B同时出发，划船同向而行，乙16小时后追上甲.已知甲在静水 中划船的速度为每小时6千米，则乙在静水中划船每小时行驶 千米.7. （10分）某个两位数是2的倍数，加1是3的倍数，加2是4的倍数，加 3是5的倍数，那么这个两位数是.8. （10分）在三个给词语“尽心尽力”、“力可拔山”和“山穷水尽”中，每个汉字代表1至8之间的数字，相同的汉字代表相同

3、的数字，不同的汉字 代表不同的数字，如果每个词语的汉字所代表的数字之和都是19,且“尽” > “山” > “力”，则“水”最大等于.二、简答题（每小题10分，共40分，要求写出简要过程）9. （10分）有一批作业，王老师原计划每小时批改6本，批改了 2小时后， 他决定每小时批改8本，结果提前3小时批改完，那么这批作业有多少本？10. （10分）用五种不同的颜色涂正方体的六个面,如果相邻的两个面不能涂同种颜色，则共有多少种不同的涂色方法？（将正方体任意翻转后仍然 不同的涂色方法才被认为是不同的）11. （10分）如图所示，有一个圆圈填了数字1.请在空白圆圈内填上2, 3,4, 5,

4、6中的一个数字，要求无重复数字，且相邻圆圈内的数字的差至少 为2.问共有几种不同的填法？12. （10分）边长分别为8cm和6cm的两个正方形ABCD与BEFG如图并排放在一起.连接DE交BG于P,则图中阴影部分APEG的面积是多少？第12页（共12页）2015年第二十届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷(小中组A卷)参考答案与试题解析一、填空题(每小题10分，共80分)1. (10 分)计算：37524- (39X2) +5030? (39X10) = 61 .【分析】根据除法的性质，原式=3752239+5030:10：39 = 1876：39+5034-39= (1876+503) 4

5、-39 = 23794-39 = 61,据此解答即可.【解答】解:37524- (39X2) +50304- (39X10)=3752+2 ： 39+5030 ： 10 : 39= 1876 + 39+503 : 39=(1876+503) =39= 2379 : 39= 61;故答案为：61.2. (10 分)如图中，NA+NB+NC+ND+NF+NG 等于度.连接CD,有NG+NF=NEDC+NECD,这样就转化成四边形的内角和了，四第12贞(共12页)边形的内角和是360度.【解答】解：连接CD,有NG+NF=NEDC+NECD,所以，NA+NB+NC+ND+NF+NG= NA+NB+N

6、C+ND+NEDC+NECD =四边 形ABCD的内角和,180X （4-2）= 180X2=360 （度）答：NA+NB+NC+ND+NF+NG 等于 360 度.故答案为：360.3. （10分）商店以每张2角1分的价格进了 一批贺年卡，共卖14. 57元.若 每张的售价相同，且不超过买入价格的两倍，则商店赚了 4.7元.【分析】14. 57元= 1457分，2角1分=21分，根据“总价=单价X数量” 可知：1457是张数和每张售价的乘积，所以先把1457拆分为两个因数的 乘积，再根据若每张的售价相同，且不超过买入价格的两倍（即21X2 = 42分）解答即可.【解答】M： 14.57元=

7、1457分，1457=31 X472角1分=21分21 X2=42 （分）又因为每张的售价不超过买入价格的两倍，所以47是张数，31分是售价；商店赚了：（31 -21） X47= 10X47=470 （分）=4. 7 元；答：商店赚了 4. 7元.故答案为：4.7.4. （10分）两个班植树，一班每人植3棵，二班每人植5棵，共植树115 棵.两班人数之和最多为37.【分析】设一班a人，二班b人，则有3a+5b = 115,求两班人数最多，算 式转化成：3 （a+b） +2b = 115, a+b最大，b尽可能的小，b = 2时，a+b = 37.【解答】解：设一班a人，二班b人，则3a+5b

8、= 115,3 （a+b） +2b = 115,a+b最大，b尽可能的小，b = 1时，得出a不是整数，b = 2 时，3 （a+2） +2X2 = 1153a+6+4=1153a = 105a = 35a+b = 35+2 = 37 （人）答：两班人数之和最多的是37人.故答案为：37.第12页（共12页）5. (10分)某商店第一天卖出一些笔，第二天每支笔降价1元后多卖出100 支，第三天每支笔比前一天涨价3元后比前一天少卖出200支.如果这三 天每天卖得的钱相同，那么第一天每支笔售价是4 元.【分析】设第一天每支笔售价x元，卖出y支，那么根据总价=单价X数 量可知：第一天卖出的钱数就是x

9、y元，第二天的单价就是x-1元，卖出 的支数是y+100支，第二天卖出的总价就是(x-1) (y+100)；同理得出 第三天卖出的总价，再分别根据第一天卖出的钱数与第二天和第三天卖出 的钱数分别相等列出方程组，再化简求解.【解答】解：设第一天的单价为x元，数量为y只，那么有：(x-1)(y+100)=xy (x-l+3)(rF100-200)=xy 化简得： 100x-y=100 2y-100x=200 解得： 1fx二4(y=300答：第一天每支笔售价是4元.故答案为：4.6. (10分)一条河上有A, B两个码头，A在上游，B在下游.甲、乙两人分 别从A, B同时出发，划船相向而行，4小时

10、后相遇.如果甲、乙两人分 别从A, B同时出发，划船同向而行，乙16小时后追上甲.已知甲在静水 中划船的速度为每小时6千米，则乙在静水中划船每小时行驶10 千 米.【分析】在流水行船问题中，两船相遇的速度即两船的速度和，两船追及速度即两船的速度差.相向而行两船所行的路程是A、B两个码头之间的距离，同向而行两船的 距离差也为A、B两个码头之间的距离，因此根据路程相等，设乙船的速 度是x千米/小时，列出方程（x+6） X4= （x-6） X16,解决问题.【解答】解：设乙船的速度是每小时x千米，（x+6） X4= （x-6） X164x+24=16x-9612x = 120x = 10答：乙在静水

11、中划船每小时行驶10千米.故答案为：10.7. （10分）某个两位数是2的倍数，加1是3的倍数，加2是4的倍数，加 3是5的倍数，那么这个两位数是62 .【分析】根据2、3、5的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数都是 2的倍数；各位上的数字之和是3的倍数，这个数一定是3的倍数；个位 上是。或5的数都是5的倍数；据此解答即可.【解答】解：2、3、4、5的最小公倍数是：2X3X2X5 = 60,已知这个两位数是偶数，在6070之间5的倍数是65,又知这个两位数加上3是5的倍数，所以这个两位数是65- 3 = 62,答：这个两位数是62.故答案为：62.8. （10分）在三个给词语“尽心尽力

12、”、“力可拔山”和“山穷水尽”中，每 个汉字代表1至8之间的数字，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字第12贞（共12页）代表不同的数字，如果每个词语的汉字所代表的数字之和都是19,且“尽”> “山” > “力”，则“水”最大等于 7.【分析】通过分析可知：由“尽心尽力”、“力可拔山”和“山穷水尽”三个词语中每个词语的汉字"尽+心+尽+力=19（1）所代表的数字之和都是19,可得方程：J力+可+协山=19山+穷+水+尽=19可得 3尽+心+2力+可+拔+2山+穷+水= 19X3 = 57而18的和是36,则有2尽+1力+1山=57- 36 = 21,与（1）比较得山 一心

13、=2.“尽” > “山” > “力”，“力”尽可能大，“尽”才最小,假定"力”、"山”、“尽”是连续自然数，有2 （力+2） +力+1 +力=21“力”为4,此时山=5,心=3,尽=6;（1）式满足：6+3+6+4=19;（3）式：5+穷+水+6=19穷水，水此时最大为7,穷为1,来推倒2式：（2）式：4+可+拔+5 = 19可拔，而现在只剩下2和8 了，满足条件.此时 水最大为7.6（尽）+2（心）+6（尽）+5（力）=K若水最大取8时,有，5（力）+3（可）+7（拔）+4（山）二U4（山）+1（穷）+8（水）+6（尽）二U *但此时6 （尽）、4 （山）、5

14、 （力），不满足“尽” > “山” > “力”，所以不符合要求.故水最大为7.据此解答即可.【解答】解：由“尽心尽力”、“力可拔山”和“山穷水尽”三个词语中每 个词语的汉字所代表的数字之和都是19,可得方程:尽+心+尽+力=19（1）-力+可+拨+山二19（2）山+穷+水+尽=19（1） + （2） + （3）可得：3尽+心+2力+可+拔+2山+穷+水= 19X3=57而18的和是36,则有2尽+1力+1山=57-36=21,与（1）比较得山-心=2.“尽” > “山” > “力”，“力”尽可能大，“尽”才最小，假定“力”、“山”、“尽”是连续自然数，有2 （力+2）

15、+力+1 +力=21“力”为4,此时山=5,心=3,尽=6：（1）式满足：6+3+6+4=19;（3）式：5+穷+水+6=19穷水，水此时最大为7,穷为1,来推倒2式：（2）式：4+可+拔+5 = 19可拔，而现在只剩下2和8 了，满足条件.此时 水最大为76（尽）+2（心）+6（尽）+5（力）二U若水最大取8时，有, 5（力）+3（可）+*拔）+4（山）=U4（山）+1（穷）+8（水）+6（尽）=1£但此时6 （尽）、4 （山）、5 （力），不满足“尽” > “山” > “力”，所以 不符合要求.故水最大为7.故答案为:7.二、简答题（每小题10分，共40分，要求写出简

16、要过程）9. （10分）有一批作业，王老师原计划每小时批改6本，批改了 2小时后， 他决定每小时批改8本，结果提前3小时批改完，那么这批作业有多少本？【分析】根据题意知道，这批作业的总数本变，即工作总量一定，那么计 划与实际的工作效率与工作时间成反比例，据此设出原计划X小时批改完, 列出方程先求出原计划用的小时数，再根据工作效率X工作时间=工作量 进而得解.【解答】解：设原计划x小时批改完，由题意得：6X2+8 （x-3-2） =6x12+8x - 40 = 6x8x - 6x=282x = 28x = 14.6X14=84 （本）；答：这批作业有84本.10. （10分）用五种不同的颜色涂正

17、方体的六个面.如果相邻的两个面不能 涂同种颜色，则共有多少种不同的涂色方法？（将正方体任意翻转后仍然 不同的涂色方法才被认为是不同的）【分析】用五种不同的颜色涂正方体的六个面.先确定1种颜色染一组对 面，剩下的4种颜色（用a、b、c、d表示）有abed、aedb、aebd, 3种 染色方法，有cl 3 = 15种；据此解答即可.【解答】解：根据分析可得，3=5X3 = 15 （种）； 答：共有15种不同的涂色方法.11. （10分）如图所示，有一个圆圈填了数字1,请在空白圆圈内填上2, 3, 4, 5, 6中的一个数字，要求无重复数字，且相邻圆圈内的数字的差至少为2.问共有几种不同的填法？【分

18、析】可以按照数字找位置来分析，数字2不能在1附近，数字3有不在2附近，可以根据数字的位置枚举出来进行分析即可.【解答】解：相邻两个圆圈内的数字的差至少为2,设如图所示字母为a,b, c, d, e所以2只能填在d和e.（1）d处填2, 2的周围不能有3.所以3只能填在a处.3的周围不能填4, 4只能填在c和e.，5、6不能在一起，所以5填在b. 6和4可以在c 和e交换，此时2种填法；（见中图）（2） e处填2, 3填a或者b处.3填a处，4、5、6必有两个相邻，没有满足条件的填法；3填b处，4只能填入c处，5只能填入a处，6填入d处.1种填法；（见右图）故共2+1 =3种填法.答：共有3种不同的方法.12. （10分）边长分别为8cm和6cm的两个正方形ABCD与BEFG如图并排放在一起.连接DE交BG于P,则图中阴影部分APEG的面积是多少？【分析