2019年高考数学(理科_重点生)高考专题辅导专题跟踪检测(十三)圆锥曲线的方程与性质

1、专题跟踪检测(十二)圆锥曲线的方程与性质一、全练保分考法一一保大分1 “1 直线 I 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到I 的距离为其短轴长的 4 则该椭圆的离心率为( () )1AA3解析：选 B 不妨设直线 I 经过椭圆的一个顶点B(0, b)和一个焦点 F(c,O)，则直线 Ix y| bc| 1c 11的方程为一一+y= 1,即 bx+ cy bc= 0.由题意知 - =丁2b,解得-=-,即 e=T.故选 B.c bQb2 3+ c2 4a 222 22. (2019 届高三 湖南长郡中学模拟) )已知 F 为双曲线 C: p y= 1(a0, b0)的一个焦 点，其关于双曲

2、线 C 的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线C 的离心率为( )A. 2B.3C. 2D.5解析：选 C 依题意，设双曲线的渐近线 y=bx 的倾斜角为则有 30= n, 0=7, =a3 a8x 的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为y=xC. y= 3xtan；=3，双曲线 C 的离心率 e=33. (2019 届高三南宁、柳州名校联考) )已知双曲线b= 1(b0)的一个焦点与抛物线2A. 15B. 301(2,0)，则 c= 2,且双曲线的焦点在 x 轴上，所以 3+ b= 22, 即卩 b= 1,于是双曲线的渐近线 方程为 y=jx.4. (2018 昆明调研) )过抛物线

3、C: y2= 2px(p0)的焦点 F 且倾斜角为锐角的直线 l 与 C 交于 A,B两点，过线段 AB 的中点 N 且垂直于 l 的直线与 C 的准线交于点 M，若|MN|= |AB|, 则 l 的倾斜角为( () )y= , 3x解析：选 B 由题意知，抛物线的焦点是2 2(2,0)，即双曲线xy= 1 的一个焦点坐标是3 bA. 15B. 301C. 45D. 60解析：选 B 分别过 A, B, N 作抛物线的准线的垂线，垂足分别为A , B , Q,由1 1抛物线的定义知 |AF| = |AA T, |BF|=|BB |, |NQ| = -（|AA |+ |BB |）= |AB|，因

4、为 |MN|1=|AB|,所以|NQ| = 2|MN |,所以ZMNQ = 60 ,即直线 MN 的倾斜角为 120 ,又直线 MN 与 直线 l 垂直且直线 I 的倾斜角为锐角，所以直线l 的倾斜角为 305. （2018 南昌模拟）已知 F1, F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点,且/ F1PF2=n,则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为（）（）41 2 A_B2B.2C. 1D.2解析：选 B 如图，设 F1, F2分别是椭圆和双曲线的左、右焦点，P是第一象限的点，椭圆的长半轴长为 a1,双曲线的实半轴长为 a2,则根据椭圆及双曲线的定义得 |PF1|+ |PF2|=

5、2a1, |PF1|PF2| = 2a2,PF1| = a1n2+ a2, |PF2|= a1 a2.设|F1F2|= 2c,又/F1PF2= 4,则在PF1F2中，由余弦定理得， 4c2=+ a2) )+ 一 a2) ) 2(a1+ a2) )(a1 a2) )cos 4，化简得( (2J2)a1+ (2+*2)a2= 4c ,设椭圆的离2 2e12；2 2 + , 2于是椭圆的离心率 e=c=1 b2=3.a * a 2答案：宁解析：选 A 不妨设 P 在双曲线的左支，如图，延长FIH 交 PF2于点 M，由于 PH 既是ZF1PF2的平分线又垂直于 FiM，故APFiM 为等腰三角形，|

6、PFi|=|PM|且 H 为 FiM 的中点，所以 0H 为 AMF1F2的中位11 1线，所以 |0H|= 2|MF2|= 2( (|PF2|PM|) = 2( (|PF2|PFi|) = 1.17已知椭圆 E 的中心在坐标原点，离心率为2，E 的右焦点与抛物线 C : y2= 8x 的焦点重合，A, B 是 C 的准线与 E 的两个交点，贝 U |AB|=_ .解析：抛物线 C: y2= 8x 的焦点坐标为( (2,0)，准线方程为 x = 2.从而椭圆 E 的半焦距2 21c= 2.可设椭圆 E 的方程为 a2+詁=1(ab0)，因为离心率 e= 2，所以a=4,所以 b2= a2c2=

7、 12.由题意知22b12|AB|=2X =6.a4答案：62 28. (2018 南宁模拟) )已知椭圆字+浮=1(ab0)的一条弦所在的直线方程是x y+ 5= 0,弦的中点坐标是M( 4, 1),则椭圆的离心率是 _解析:设直线 x y+ 5= 0 与椭圆2 2b= 1 相交于 A( (X1, y1), B( (X2, y2) )两点,因为 AB 的中点 M( 4,1),所以 x1+ X2= 8,1+ y2= 2.易知直线 AB 的斜率 k = 1.X2 X12 2xi , yida2+b2=1,J由2两式相X2X2+X1+ X2X1 X2+y+y2y1y2=0,b2所以=122aX1X

8、2aX1+ X22 29. (2019 届高三 惠州调研) )已知 Fi, F2是双曲线 y2-器=1(a0, b0)的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点 M 在以线段 F1F2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是 _ .解析：如图，不妨设 Fi(0, c), F2( (0, c),则过点 Fi与渐近a 丨y=b + c， aby= bx + c,联立baly bx，即 M If，2因为点 M 在以线段 F1F2为直径的圆 x2+ y2= c2内, 化简得b2v3a2,即卩 c2 a23a2,解得c 1,aa所以双曲线离心率的取值范围是(

9、1,2).答案：(1,2)2 210. (2018 宁五校协作体联考) )已知椭圆 C：字+讣=1(ab0)的左、右焦点分别为 F1,F2,上顶点为 B，若 BF1F2的周长为 6,且点 F1到直线 BF2的距离为B.(1)求椭圆 C 的方程；设 A1, A2是椭圆 C 长轴的两个端点，P 是椭圆 C 上不同于 A1, A2的任意一点，直 线 A1P 交直线 x= m 于点 M，若以 MP 为直径的圆过点 A2，求实数 m 的值.解：( (1)由题意得 F1( c,0), F2(c,0), B(0, b),则 2a+ 2c= 6.直线 BF2的方程为 bx+ cy bc= 0,| bc bc|

10、所以=b,即卩 2c= a.jc2+ b2又 a2= b2+ c2,所以由可得a= 2, b= .3,22所以椭圆 C 的方程为x+y= 1.43(2)不妨设 A1( 2,0), A2( (2,0), P(xo, yo),a线 y= bx 平行的直线为bc2a，a解得c2则直线A1P的方程为y=秸(x+2),MP 为直径的圆过点 A2,贝 U A2MIA2P, - 即 A2M A2P = 0,2y0=(m 2)(x0 2)+(m+ 2)X0+ 2311-4=(m 2)(x0 2)+又点 P 不同于点 Ai, A2,所以 Xo*,17所以”m 7= 0,解得 m= 14.11. (2018 唐山

11、模拟) )在直角坐标系 xOy 中，长为辺+ 1 的线段的两端点 C, D 分别在轴、y 轴上滑动，CP =2PD.记点 P 的轨迹为曲线 E.(1)求曲线 E 的方程;- -E 相交于 A, B 两点，OM = OA + OB，当点 M 在曲线x m=迄 x,所以 一 y= 2 n y ,m= - 2 + 1 x, 得2+1n= 2y,由| CD|= 2+ 1,得 m2+ n2= ( 2 + 1)2,解：( (1)设 C(m,0)，D(0，n).P(x，y).t由 CP = 2 PD ，得(x m,y) = 2( x, n y),所以工 m + 2X0+ 2又点P 在椭圆 C若以所以m2，乂

12、 m+ 2X0+ 2(xo 2, yo)=(xo2)2 =0.X0+ 2(2)经过点(0,1)作直线与曲线 上时，求四边形 AOBM 的面积.所以( (，2 + 1)4 5x2+-y2= ( 2+ 1)2,2整理，得曲线 E 的方程为 x2+与=1.设 A(xi, yi), B(X2,y2) ),- -由 OM = OA + OB，知点 M 坐标为( (xi+ X2, yi+ y2) ).由题意知，直线 AB 的斜率存在.设直线 AB 的方程为 y= kx+ 1,代入曲线 E 的方程，得( (k2+ 2)x2+ 2kx 1 = 0,1X1X2=.k2+ 24 求椭圆 E 的方程；5 直线 l

13、经过椭圆 E 的右焦点 F 且与椭圆 E 交于 A, B 两点，若椭圆 E 上存在一点 C满足OC+ -. 3OB 2Oc= 0，求直线 l 的方程.Xi+ X2= 2kk2+ 2y1+ y2= k(x1+ X2) )+ 2 =4k2+ 2.由点 M 在曲线 E 上，知( (X1+ X2) )2+2y1+y22_8_k2+ 2解得k2= 2.所以 |AB|= - 1 + k2|x1 X2|3*2又原点到直线1AB 的距离 d= r-=1 + k2所以平行四边形J6OAMB 的面积 S= |AB| d=牙.2 212. (20 佃届高三 洛阳第一次统考) )已知短轴长为 2 的椭圆 E :X2+

14、書=1(ab0)，直线a bn 的横、纵截距a,1，且原点 O 到直线 n 的距离为4k22+ X2 4X1X2解：椭圆 E 的短轴长为 2,/b= 1.依题意设直线 n 的方程为X y= 1,a由一6= ，解得 a =寸 3,A12故椭圆E的方程为 X+y7= 1.(2)设 A(x1, y1) ), B(X2,y2) ), C(x3, yx),当直线 I 的斜率为 0 时，显然不符合题意.当直线 I 的斜率不为 0 或直线 I 的斜率不存在时，FC.2, 0），设直线 I 的方程为+ 2,消去 x，得(t2+ 3)y2+ 2 2ty 1 = 0,、x = ty+Q263x1x2+ yiy2=

15、 0,将 X1= ty1+ . 2, X2= ty2+ 2 及代入得 t2= 1,即 t= 1 或 t= 1.故直线 I 的方程为 x+ y 2 = 0 或 x y , 2 = 0.x= tyy+y2=2：2tt2+ 3y1y2=1t2+ 3， VOA + 3 OB 2OC = 0,X3= 2X1+ 2 x2, y3= 21+2 y2，又点 C 在椭圆 E 上，好+y3= 32x1+享2丿2+汝+%2)=4?+ yV+驚+y2+警討+y, w)2 2 x12x22又3+yi=1，3+y2=1,、强化压轴考法拉开分2 2X y1. (2018 全国卷川) )设 F1, F2是双曲线 C：孑b2=

16、 1(a0, b0)的左、右焦点，0 是坐标原点.过 F2作 C 的一条渐近线的垂线，垂足为 P.若|PFi|= .6|0P|,则 C 的离心率为( () )A. 一 5C. 3则 F2到 y= |x 的距离d= ,= b.+ b在 RtF2P0 中，|F20|= c,所以 |P0|= a，所以 |PFi|= 6a,又|FiO|= c,所以在 FiPO 与 Rt=2PO 中,根据余弦定理得2 2 2a + c 做6a) )acos/POF1=20c= cos/POF2= c即 3a?+ c? ( ,6a)2= 0，得 3a?= c?，所以 e=a以 e= c =材 3.a22. (2018 合

17、肥质检) )已知椭圆 M :X2+ y2= 1，圆 C: x2+ y2= 6 a2在第一象限有公共点 aP,设圆 C 在点 P 处的切线斜率为k1,椭圆 M 在点 P 处的切线斜率为k2,则弓的取值范围k2为()()A. (1,6)B . (1,5)C. (3,6)D. (3,5)2解析：选 D由于椭圆 M :X2+ y2= 1,圆 C : X2+ y2= 6 a2在第一象限有公共点P,a解析：选 C 法一：不妨设一条渐近线的方程为br,3.法二：如图，过点 Fi向 OP 的反向延长线作垂线，垂足为P,接 P F2,由题意可知，四边形PF1P F2为平行四边形，且是直角三角形因为|F2P|=

18、b, |F2O|= c,所以|0P|= a.V又|PFi|= ,6a=|F2P |, |PP |= 2a,所以 |F2P|= 2a= b,所以PPc =：. a?+ b2=3a，所F2 2 “a 6一 a ,x2所以解得 3a2 1,a公共点 P（xo, yo）,则椭圆 M 在点 P 处的切线方程为 学+ yoy= 1,圆 C 在 P 处的切线方程为a2r、rx0 x0k12r、r k1xox+ yoy= 6 a，所以 k1= , k2= 孑 y,花=a，所以(3,5).3. （2019 届高三 辽宁五校协作体联考）一条动直线 I 与抛物线 C: x2= 4y 相交于 A, B两点，Q 为坐标

19、原点，若AB = 2，贝 U （O_Q）2 4O2的最大值为（）1616B 1 -B -BQG=2( (QA+QB),B B2B少B B2B B2-B B( QAQB )24QG2=(QAQB)2(QA+QB)2=4QA -QB .由 A, B 是动直线 I 与抛物线 C: x2= 4y 的交点,4OA -QB = 4X1X2+解析：选 B 由 AE= 2A知 G 是线段AB 的中点,不妨设 Axi,X2，BX2, 4，(OACOB)2 4&P 的最大值为 16.4. （2。18 合肥检测）已知抛物线 y2= 4x 的焦点为 F，直线 I 过点 F 交抛物线于 A, B 两 点，且|A

20、F|= 3|FB|.直线 I1, I2分别过点 A, B,且与 x 轴平行，在直线 I1, I?上分别取点 M ,N（M , N 分别在点 A, B 的右侧），分别作/ ABN 和/ BAM 的角平分线并相交于点 卩，则厶PAB 的面积为（6432B. 32小 32 3C.2T64 3D.解析：选 C线方程为 x= 1,=4+ 22一 4 = 16 4如图所因为抛物线方程为又 |OF1|= |OF2| , PF1IRQ,作垂线，垂足为 C.设 A(XA, yA), B(XB, yB),因为 |AF| = 3|FB|,所以XA+1= 3(XB+1)，所以 XAXB=2(XB+ 1)= 2|FB|

21、,所以 cos/BAC =g,所以/BAC = 60 因为 AP, BP 4|FB |2分别为/BAM 与/ABN 的角平分线，所以/ BAP= 60 /ABP= 30所以/APB= 90所以11yf3|AP|= 2|FB|= 2XB+ 2,所以SZPAB= 2|AP|AB|sin 60=QX2(XB+1)X4(XB+“乂三=2 3(XB+ 1)2.由/BAC= 60 F(1,0)可得直线 AB 的方程为 y= . 3(X1),联立 :乂1| y2= 4X,解得X=3 或X=3,易知XB= 1,所以SZPAB= 23X吕 + 1 f = 323.5.已知等腰梯形 ABCD 中，AB/ CD,

22、AB= 2CD = 4, / BAD=60 双曲线以 A , B 为焦点，且与线段 CD(包括端点 C , D)有两个交点，则该双曲线的离心率的取值范围是 _ .解析：以 AB 所在直线为X轴，AB 中点为坐标原点 O,过点O 且垂直于 AB 的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则 A( 2,0) , B(2,0) , C(1,2 23).设以 A , B 为焦点的双曲线方程为X2y2= 1(a0 , b0),则 c= 2.由 a2+ b2= c2，得 b2a b=4 a2,当X=1 时，y2= a2+刍一 5.要使双曲线与线段 CD(包括端点 C , D)有两个交点，贝 Uaa2+5 3,解得 a2 4+ 2 . 3 或 0va2 4+ 2 3 得 a .