第10章 正弦稳态功率和能量

1、10-1 基本概念基本概念10-4 单口网络的平均功率单口网络的平均功率 功率因数功率因数10-5 单口网络的无功功率单口网络的无功功率10-7 正弦稳态最大功率传递定理正弦稳态最大功率传递定理10-8 对称三相电路对称三相电路10-6 复功率复功率 复功率守恒复功率守恒10-9 不对称三相电路不对称三相电路10-10 三相功率及其测量三相功率及其测量 10-2 电阻的平均功率电阻的平均功率10-3 电感、电容的平均储能电感、电容的平均储能 若在若在dt时间内，由时间内，由a点转移到点转移到b点的正电荷为点的正电荷为dq，且由且由a到到b为电压降为电压降u，则正电荷失去的能量，即，则正电荷失去

2、的能量，即ab段段电路消耗或吸收的能量为电路消耗或吸收的能量为dw = udqp(t)0时，时， 电路吸收功率电路吸收功率p(t) 0 耗能元件耗能元件L、C: p 0 吸收功率吸收功率 p 0 吸收功率；吸收功率；p 0 (2) p 随时间变化，变化的角频率为随时间变化，变化的角频率为2 ，是电压或电流，是电压或电流 角频率的角频率的2倍。倍。 0 tipuuip210-2 电阻的平均功率电阻的平均功率P =T1T0 0UmIm1 12 2UmIm cos (2 t)1dt1 12 2=UmIm = UI1 12 2P =P = I2RR U2P =平均功率的大小与电流的频率及初相角无关平均

3、功率的大小与电流的频率及初相角无关电压超前电流电压超前电流90 90 ；U +1+j0相量图相量图I 波形图波形图i t0uU I 电压与电流相量式电压与电流相量式 = j XL10-3 电感、电容的平均储能电感、电容的平均储能设设: u(t) = Umcos t i(t) = Imsin t +uLi1 1p(t) = Umcos t Imsin t =2 2UmImsin2 t 0tipuuip2 A. p按正弦规律变化，变化的角频率为电压或电流角频率的两倍。按正弦规律变化，变化的角频率为电压或电流角频率的两倍。 B. p 0 吸收功率；吸收功率；P 0 吸收功率；吸收功率；P 0 放出功

4、率放出功率P = 0不消耗电能不消耗电能 21 1p(t) = Umcos t Imsin t = UmImsin2 t UI sin2 t UIQC 平均贮能：平均贮能：221CUWC 瞬时能量瞬时能量)2cos(121)(cos21212222tCUtCUCuwmC QC = UI = CU2= 2 WC(一一) 纯电阻元件交流电路纯电阻元件交流电路u = iR 电压与电流相量表达式电压与电流相量表达式 U=RI平均功率平均功率 P = IU = RI2didtu= L U I 电压与电流相量式电压与电流相量式 = j XL(二二) 纯电感元件交流电路纯电感元件交流电路平均功率平均功率 P

5、 =0无功功率无功功率Q =UI=XLI2= 2 WLdudti= C (三三) 纯电容元件交流电路纯电容元件交流电路平均功率平均功率 P =0无功功率无功功率 Q =UI= XC I2 = 2 WC 电压与电流相量式电压与电流相量式 = XC U jI 10-4 单口网络的平均功率单口网络的平均功率 功率因数功率因数设设 u(t) = Umcos( t +j ju)i(t) = Imcos( t+j ji)p(t)=UmImcos( t+j ju)cos( t+j ji)UmImcos(j ju- -j ji)+cos(2 t +j ju+j ji)21=UmImcos(j ju- -j j

6、i) +UmImcos(2 t +j ju+j ji)2121=Ni(t)电电源源+u(t) 一一. 瞬时功率瞬时功率 2cos cos =cos( - - )+cos( + )uip0 tipu2二二. 平均功率平均功率 =1 12 2UmIm cos(j ju - - j ji) = UIcos(j ju - - j ji)P =T1pdtT0 01 12 21 12 2=UmIm cos(j ju - - j ji) +UmIm cos(2 t + j ju + j ji)dtT1T0 0)cos(iuUIPj jj j 如果如果N不含独立源不含独立源 u i = j j 阻抗角阻抗角

7、P =1 12UmImcos j j = UIcosj jP = PKnK=1N0+IUj j ZIUIUZ)(iu有功功率守恒有功功率守恒j j ： 功率因数角功率因数角 = cosj j 功率因数功率因数 在一般交流电路中，在一般交流电路中，可将电路等效为可将电路等效为RLC的串联。的串联。I UURULj jUCULUCRLC串联电路串联电路相量图相量图10-5 单口网络的无功功率和视在功率单口网络的无功功率和视在功率UXS = P 2 + Q2X = XL XC UXULUC =+ Q = QL QCSQUURUXRX ZPj j功率三角形功率三角形S2 = P2 + Q2S = P2

8、 + Q2S=UIQ= UXIP= URIj jj j : :功率因数角功率因数角coscosj j : :功率因数功率因数 SP j j cos一一 有功功率有功功率 P = UI cos j j 瓦（瓦（W）Q = QKnK=1Q = UIsinj j 乏乏(var) 电感取正，电容取负电感取正，电容取负无功功率守恒无功功率守恒S = UI 单位单位VA KSS10-5 单口网络的无功功率和视在功率单口网络的无功功率和视在功率 例例1: 试求电路中的有功功率试求电路中的有功功率P , 无功功率无功功率Q ，视，视在功率在功率S 及功率因数及功率因数cosj j，已知：，已知： =100 0

9、V。UIj4 3 +U I1I2 j2 解：方法一解：方法一Z= (3+j4)( j2) 3+j4j26j+8 3+j2=10 36.873.6 33.69=2.78 70.56 I=UZ=100 02.78 70.56 =36 70.56 AP=UIcosj j=10036cos( 70.56 )=1200WQ=UIsinj j=10036sin( 70.56 )= 3400varS=UI=100 36=3600V Acosj j= cos( 70.56)=0.33 解：方法解：方法 二二I1= U|Z1|=100 5=20AI2= U|Z2|100 2=50AP=I12R=2023=120

10、0WQL= I12XL=2024=1600varQC= I22XC=5022=5000varQ= QL + QC =16005000=3400varj j=arctgQ/P= 70.56 cosj j= cos( 70.56)=0.33 S = P2 + Q2=3600VAUIj4 3 +U I1I2 j2 例例1: 试求电路中的有功功率试求电路中的有功功率P , 无功功率无功功率Q ，视，视在功率在功率S 及功率因数及功率因数cosj j，已知：，已知： =100 0V。解解: : 例例2：R、L、C串联交流电路如图所示。已知：串联交流电路如图所示。已知：R = 30 、L=127mH、C=

11、40 F， 求：求：(1)电流电流 i 及各部分电压及各部分电压uR，uL，uC；(2) 求功率求功率P 和和Q。V)20314cos(2220o tu +L +uCRiuLuCuR + + 40101273143LXL 801040314116CXC 80)-40( j30)j( CLXXRZ 5350)40j30(V20220 UA734.4535020220 ZUIA)73314cos(24 . 4 ti(1)得得A73132734 . 430 IRURV)73314cos(2132 tuRV163176734.4j40j IXULLV)163314cos(2176 tuLV173527

12、34 . 480jj IXUCCV)17314cos(2352 tuCCLRUUUU CLRUUUU )53cos(4 . 4220cos j jUIPW8 .5806 . 04 . 4220 )53sin(4 . 4220sin j jUIQvar4 .774)8 . 0(4 . 4220 注意：注意：（2）电路为电容性电路为电容性 +L +uCRiuLuCuR + +功率因数低引起的问题功率因数低引起的问题有功功率有功功率 P=U P=UN NI IN N coscosj j 功率因数功率因数( (1) 1) 电源设备的容量不能充分利用电源设备的容量不能充分利用(2) (2) 增加输电线路

13、和发电机绕组的功率损耗增加输电线路和发电机绕组的功率损耗在在P P、U U一定的情况下，一定的情况下， coscosj j越低，越低，I I 越大，损耗越大。越大，损耗越大。情况下，情况下，coscosj j 越低，越低，P P越小，设备得不到充分利用。越小，设备得不到充分利用。P=UI cos j j电压与电流的相位电压与电流的相位差差、阻抗角、阻抗角、功率因数角功率因数角在电源设备在电源设备U UN N、I IN N一定的一定的j j2222cos1)(UPrrIP 1、提高提高功率因数的意义功率因数的意义提高提高功率因数的方法功率因数的方法+uiiRLLRCiCI ICIRLUj j1j

14、 j电路功率因数低的原因电路功率因数低的原因 并联电容后，并联电容后，电感性负载的工作电感性负载的工作状态没变，状态没变，但电源电压与电路中总电但电源电压与电路中总电流的相位差角减小，即提高了流的相位差角减小，即提高了整个整个电电路路的功率因数。的功率因数。通常是由于通常是由于存在存在电电感性负载感性负载将适当的电容与电将适当的电容与电感性负载感性负载并联并联因因j j cos j j 12、提高提高功率因数功率因数cosj j 的方法的方法例例3 设有一台设有一台220V、50Hz、50kW的感应电动机，功率因的感应电动机，功率因数为数为0.5（1）电源供应的电流是多少，无功功率是多少？）电

15、源供应的电流是多少，无功功率是多少？（2）如果并联电容使功率因数为）如果并联电容使功率因数为0.9，所需电容是多大，所需电容是多大，此时电源提供的电流是多少？此时电源提供的电流是多少？解：解：（1） PL= UIL cosj jL +uiLPL= 50kWiCiCA4555 . 02201050cos3LLL j jUPIQL = UIL sinj jL= 220 455 0.866 = 86.7 kvarcosj jL= 0.5 j jL= 60 例例3 设有一台设有一台220V、50Hz、50kW的感应电动机，功率因的感应电动机，功率因数为数为0.5（1）电源供应的电流是多少，无功功率是多

16、少？）电源供应的电流是多少，无功功率是多少？（2）如果并联电容使功率因数为）如果并联电容使功率因数为0.9，所需电容是多大，所需电容是多大，此时电源提供的电流是多少？此时电源提供的电流是多少？+uiLPL= 50kWiCiC（2）并联电容后，电源提供的无功功率并联电容后，电源提供的无功功率vark2 .2448. 05084.25tan PQ解：解：cosj j =0.9 j j =25.84 vark5 .627 .862 .24 LCQQQ由由QC = CU2F4112220502105 .62232 UQCCP=UI cosj jA2529 . 02201050cos3 j jUPI复功

17、率复功率 = UI (j ju + j ji)IU= UI (j ju - - j ji)I*U= UI cos(j ju - - j ji) + jUI sin(j ju - - j ji) P =U Icos (j ju - - j ji) Q =U Isin (j ju - - j ji) 10-6 复功率复功率 复功率守恒复功率守恒S = P + jQ = = UI (j ju - - j ji) = S j jI*U复功率守恒：复功率守恒：复功率的实部复功率的实部P为网络中各电阻元件消耗为网络中各电阻元件消耗功率的总和；功率的总和；虚部虚部Q为网络中各动态元件无功功率的代为网络中各动

18、态元件无功功率的代数和。数和。即无功功率即无功功率Q=QL+ QC 注意注意QL为正为正, QC为负。为负。= I j jiI*电流共轭相量电流共轭相量j jQSPNi(t)电源电源+u(t)- -= U j ju U= I j jiI设设10-6 复功率复功率 复功率守恒复功率守恒例例1：电路如图，求两负载吸收的总复功率，并求输入：电路如图，求两负载吸收的总复功率，并求输入电流有效值和总功率因数。已知电流有效值和总功率因数。已知U=2300V15kW =0.6感性感性10kW =0.8容性容性iu解：解： 每一负载的复功率每一负载的复功率VA125008 . 010103111 PSvar7

19、500)9 .36sin(12500)8 . 0arccossin(sin1111 SSQj jVA7500j100001 S同理同理VA0002j150002 SVA26.5627951VA0052j12500021 SSS则总复功率则总复功率A2 .12230027951 USI 56.26coscosj j 感性负载感性负载L: P = 0 Q = UI WL =12LI2C: P = 0 Q = UI WC =12CU2Um Imcos j j12P =U Icosj j P =12Q =U Isin j j Q =Um Imsin j jj j = j ju - - j jiS =

20、UIS = P + jQ (无独立源单口网络无独立源单口网络)正弦稳态电路的功率正弦稳态电路的功率 小结小结Ni(t)电源电源+u(t)- -R: P = UI = I2R =U2R =PS= cos j j10-7 正弦稳态最大功率传递定理正弦稳态最大功率传递定理 Z0ZLI+UOC- -+UL- -(1) ZL=RL+ jXL RL和和XL都可变都可变Z0 + ZL UOC(R0 + RL) + j(X0 + XL) =I = UOC= (R0 + RL)2 + (X0 + XL)2 UOC (- - arctgR0 + RL)X0 + XL求负载获得最大功率的条件求负载获得最大功率的条件

21、设设 UOC、Z0不变，不变，ZL可变，可变， (R0 + RL)2 + (X0 + XL)2 UOC2 RLPL = I2RL =(R0 + RL )2 UOC2 RLPL =dPL (R0 + RL)2 2RL(R0 + RL) = 0dRL= UOC2 (R0 + RL)4 (R0 + RL)2 2RL(R0 + RL) = 0R0 + RL 2RL = 0RL = R0负载获得最大功率的条件：负载获得最大功率的条件：共轭匹配共轭匹配:RL = R0 XL = X0*ZL = Z0= (R0 + RL)2 + (X0 + XL)2 UOC ( arctgR0 + RL)X0 + XLZ0

22、ZLI+UOC- -+UL- -I(R0 + RL )2 UOC2 RL =PLmax =4R0 UOC2PLmax =4RO UOC2 =12 4RO UOCm2获得获得的的最大功率最大功率Z0ZLI+UOC- -+UL- -负载获得最大功率的条件：负载获得最大功率的条件：共轭匹配共轭匹配:RL = R0 XL = X0*ZL = Z0(R0 + RL )2 +X02 UOC2 RLPL = (2) 负载为纯电阻负载为纯电阻 RLdPL (R0 + RL)2 + X02 2RL(R0 + RL) dRL= (R0 + RL)2 + X022UOC2 = 0 (R0 + RL)2 + X02

23、2RL(R0 + RL) = 0R02 + 2R0RL + RL2 + X02 2R0RL 2 RL2 = 0R02 RL2 + X02 = 0 RL2 = R02 + X02RL = R02 + X02 = Z0 模匹配模匹配PLmax = I2RZ0ZLI+UOC- -+UL- -1 12 2Im2RPLmax = (3) 负载负载ZL的阻抗角固定而模可改变的阻抗角固定而模可改变 ZL = R02 + X02 = Z0 模匹配模匹配阻抗阻抗三角形三角形XL RL j jZLZL = RL + jXL =|ZL|j j 在这种情况下，可以证明，负在这种情况下，可以证明，负载获得最大功率的条件

24、为：载获得最大功率的条件为：负载阻负载阻抗的模应与电源内阻抗的模相等，抗的模应与电源内阻抗的模相等，称为模匹配。称为模匹配。 在这种情况下，负载所获得的最大在这种情况下，负载所获得的最大功率并非为可能获得的最大值。如果负功率并非为可能获得的最大值。如果负载阻抗的阻抗角也可调节，还能使负载载阻抗的阻抗角也可调节，还能使负载得到更大一些的功率。得到更大一些的功率。Z0ZLI+UOC- -+UL- -例例1：电路如图，求：电路如图，求：(1) 获得最大功率时获得最大功率时ZL为何值？为何值？ (2) 最大功率值；最大功率值；(3) 若若ZL为纯电阻，为纯电阻，ZL获得的最大功率。获得的最大功率。解：

25、解：Z0 =(2 + 2) 103 j4 103(2 + 2) 103 + j4 103=j16 1034 + j4= 2 + j2 = 2 2 45 K（1） ZL = 2 j2 K 时获得最大功率时获得最大功率= 212 2 45V=212 j42 + j2UOC =2 1032 103 + ( 2 103 + j4 103) 212 0 10-3 j4 103（2）ZL212 0mAj4K2K2K+UOC212 0mAj4K2K2K12 103UOC + (12 1031j4 103+)U1 = 02U1 UOC = 414 0 2U1 + (2 j)UOC = 0(12 103)U11

26、2 10312 103+UOC = 212 10-3 0 UOC =2 4142 02 12 2 j=8284 j2 2=8282 j2= 212 2 45V（2）计算开路电压的另一种方法）计算开路电压的另一种方法节点分析法节点分析法+UOC212 0mAj4K2K2K1UZL = 2 2 103 = 2.83K时时获得最大功率获得最大功率I =(2 + j2 + 2.83) 103 UOC =212 2 45(4.83 + j2) 103= 57.34 22.51 mAPmax = I2RL = (57.34 10-3)2 2.83 103 = 9.3WIZ0ZLUOCUOC = 212 2

27、 45V(2)Pmax =4 2 103= UOC2(212 2)28 103= 11.24W(R0 + RL )2 UOC2 RL =PLmax =4RO UOC2获得获得的的最大功率最大功率ZL = 2 j2 K 时获得最大功率时获得最大功率（3）若）若ZL为纯电阻，求为纯电阻，求ZL获得的最大功率获得的最大功率例例2 图示电路中电压源在图示电路中电压源在 =400rad/s和超前功率因数和超前功率因数0.8之下供电（即电流超前电压）。之下供电（即电流超前电压）。 消耗在电阻上的功率是消耗在电阻上的功率是100W，试确定，试确定R和和C的值。的值。 解：解：cosj j = 0.8 j j

28、 = arccos0.8 = 36.87 R2 + ( C 1)2UI =RC 1 = 0.75 400 = 300 1j C1 CR 1= R2 + ( C)2Z = R + arctg()tg(36.87) = 0.75Rj C1I+U = 100 0VR2 + ( C 1)2U2P = I2R = R= 2C2RU21 + 2C2R2= 100 = 100 (2) 2C2RU21 + 2C2R2 = 300 (1)RC 1300C 1300 52.08 10-6 =R = 1 = 64300 1代入代入 (2) C = 52.08 F RC =Rj C1I+U = 100 0V 例例3：

29、电路如图所示，：电路如图所示， 。 （1）求）求200 负载的功率负载的功率P； （2）求从电源看的电路功率因数）求从电源看的电路功率因数 ； （3）求）求100 电阻上消耗的功率；电阻上消耗的功率； （4）如果在负载两端并联电容）如果在负载两端并联电容C，若使负载获得，若使负载获得最大功率，问最大功率，问C该多大，负载得到的功率以及该多大，负载得到的功率以及100 电阻消耗的功率各是多少电阻消耗的功率各是多少?us(t) = 1002 cos200t V2H200 +us100 j400 RiRL200 +Us100 I1 15I = 100 0300 + j400= 100 0500 53

30、.1= (53.1) A P200 = I2RL = ( 1 15)2 200 = 8W(2) = cos(j ju j ji) = cos53.1 = 0.6 (滞后滞后)(3) P100 = I2Ri = ( 1 15)2 100 = 4W解：解： (1) US = 100 0 Vj400 RiRL200 +Us100 I(4) IS =100 0100 + j400 (76) A1 17=Y =100 + j400+ j200C +11200= (1700) + j(200C - -141700+1200)200C =41700C =1700 2004= 11.76 Fj400 200

31、+Us100 I 1j200CS 1200ISj200CSIS 1100 + j400=1 17 (76) 178.947 = 43.4 (76)U =IY=1 17 (76) 17001+12001PL =U2RL=(43.4)2200= 9.42WI =100 + j400 +15 10-3 + j4017 10-3US=264 + j323= 0.24 (50.8) A100 0P100 = I2R = (0.24)2 100 = 5.76W 例例4.图示电路中，图示电路中，L=0.159 H，C=15.9PF，RS=5，RL=2000，试证明当频率为试证明当频率为108Hz时，在时，在

32、c.d端对端对RL 的等效内阻恰为的等效内阻恰为2000。问。问在频率为在频率为107Hz时，仍能如此吗？若时，仍能如此吗？若 ，试求在频率为试求在频率为108Hz及及107Hz时时RL的功率。的功率。uS(t) = 2cos t V解：解： f = 108 Hz = 2 f = 2 108 radsZL = jXL = j2 108 0.159 10-6 j100 ZC = j C 1= j2 108 15.9 10-12 1 j100 ZCd =(5 + j100) j100(5 + j100) ( j100)= 2000 j100 2000 CRSRLa+usLbcdf = 107 HzZL = j L = j2 107 0.159 10-6 j10 ZC = j C 1= j2 107 15.9 10-12 1 j1000 ZCd =(5 + j10) - - j10