正、余弦定理及其应用

1、 (2)a=2RsinA,b=2RsinB, ;(3)sinA= sinB= ,sinC= 等形式等形式, 以解决以解决不同的三角形问题不同的三角形问题.返回目录返回目录 1.正弦定理正弦定理: 其中其中R是三角形外接圆的半径是三角形外接圆的半径.由正弦定理可以变形为由正弦定理可以变形为 : a:b:c=sinA:sinB:sinC; sinAsinAa asinCsinCc c2R2Ra a2R2Rb b2R2Rc c(1)sinBsinBb b 2R c=2RsinC 返回目录返回目录 2.余弦定理余弦定理:a2= ,b2= ,c2= .余弦定余弦定理可以变形为理可以变形为:cosA= ,

2、cosB= , cosC= . 3.SABC = absinC= = acsinB= = (a+b+c)r（r是三角形内切圆的半径），并可由是三角形内切圆的半径），并可由此计算此计算R,r.2 21 12 21 14R4Rabcabc2 21 1b2+c2-2bccosAa2+c2-2accosBa2+b2-2abcosC2bc2bc a a- -c cb b2 22 22 22bc2bc b b- -c ca a2 22 22 22bc2bc c c - -b ba a2 22 22 2bcsinA 2 21 1 返回目录返回目录 4.在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：（在解三角形时，正

3、弦定理可解决两类问题：（1）已知两角及任一边，求其他边或角；（已知两角及任一边，求其他边或角；（2）已知两边及一）已知两边及一边的对角，求其他边或角边的对角，求其他边或角.情况情况 (2)中结果可能有一解、二中结果可能有一解、二解、无解，应注意区分解、无解，应注意区分.余弦定理可解决两类问题余弦定理可解决两类问题:(1)已知已知两边及夹角或两边及一边对角的问题两边及夹角或两边及一边对角的问题 ; (2)已知三边问题已知三边问题. 5.解三角形的类型 ABC中中,已知已知a,b和和A时时,解的情况如下解的情况如下: A A为锐角为锐角A A为钝角为钝角或直角或直角图图 形形关系式关系式a=bsi

4、nAa=bsinAbsinAabsinAabbab解的个数解的个数一解一解两角两角一解一解一解一解返回目录返回目录 返回目录返回目录 7.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线夹角，目标视线在水平视线 叫仰角，目标叫仰角，目标视线在水平视线视线在水平视线 叫俯角（如图叫俯角（如图3-7-1中中). 6.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等积问题、航

5、海问题、物理问题等.上方上方 下方下方 (2)方位角方位角 指从指从 方向顺时针转到目标方向线的水平方向顺时针转到目标方向线的水平角，如角，如B点的方位角为点的方位角为（如图（如图3-7-1). (3)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数.返回目录返回目录 正北正北 返回目录返回目录 (1)在在ABC中中,a= ,b= ,B=45.求角求角A,C和边和边c;(2)在在ABC中中,a=8,B=60,C=75,求边求边b和和c.已知两边及一边对角或已知两角及一边已知两边及一边对角或已知两角及一边,可利用正弦定理解这个三角形可利用正弦定理解这个三角形,但要注意解的

6、判断但要注意解的判断.3 32 2 返回目录返回目录 (1)由正弦定理由正弦定理 得得sinA= .ab,A=60或或A=120.当当A=60时时,C=180- 45- 60=75,c= .当当A=120时时,C=180- 45- 120=15,c= .由知由知,A=60,C=75,c= 或或A=120,C=15,c= .sinBsinBb bsinAsinAa a23226s si in nB Bb bs si in nC C 226s si in nB Bb bs si in nC C 226226 (2)B=60,C=75,A=45.由正弦定理由正弦定理 ,得得b= a=4 ,c= a=

7、4 +4.返回目录返回目录 sinCsinCc csinBsinBb bsinAsinAa as si in nA As si in nC C6s si in nA As si in nB B3 返回目录返回目录 (1)已知两角一边可求第三角已知两角一边可求第三角,解这样的解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可三角形只需直接用正弦定理代入求解即可. (2)已知两边和一边对角已知两边和一边对角,解三角形时解三角形时,利用正弦定利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角理求另一边的对角时要注意讨论该角,这是解题的难点这是解题的难点,应引起注意应引起注意. 在在ABC中中,a,b,c分别是角分

8、别是角A,B,C的对边的对边,且且 .(1)求求B的大小的大小;(2)若若b= ,a+c=4,求求ABC的面积的面积.由由 ,利用余弦定理转化利用余弦定理转化为边的关系求解为边的关系求解.返回目录返回目录 c c2a2ab b- -cosCcosCcosBcosB1 13 3c c2a2ab b- -cosCcosCcosBcosB 返回目录返回目录 (1)由余弦定理知由余弦定理知,cosB= ,cosC= . 将上式代入得将上式代入得 整理得整理得a2+c2-b2=-ac, cosB= B为三角形的内角，为三角形的内角，B= .2ac2acb b- -c ca a2 22 22 22ab2a

9、bc c- -b ba a2 22 22 2c c2a2ab b- -cosCcosCcosBcosB, ,c c2a2ab b- -c c- -b ba a2ab2ab2ac2acb b- -c ca a2 22 22 22 22 22 2, ,2 21 1- -2a2aacac- -2ac2acb b- -c ca a2 22 22 23 32 2 (2)将将b= ,a+c=4,B= 代入代入b2=a2+c2-2accosB,得得b2=(a+c)2-2ac-2accosB， b2=16-2ac(1- ),ac=3. SABC = acsinB= .1 13 3 322121433返回目录返

10、回目录 返回目录返回目录 （1）根据所给等式的结构特点利用余弦）根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键. (2)熟练运用余弦定理及其推论熟练运用余弦定理及其推论,同时还要注意整体同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用思想、方程思想在解题过程中的运用. 在在ABC中中,a,b,c为为A,B,C的对边的对边,B= ,b= , a+c=4,求求a.由余弦定理由余弦定理b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-2accos=a2+c2+ac=(a+c)2-ac,a+c=4,b= ,ac=3, a+c=4 ac=3,

11、3213返回目录返回目录 3213联立联立解得解得a=1或或a=3. 返回目录返回目录 在在ABC中，角中，角A，B，C的对边分别为的对边分别为a,b,c,且且b2+c2-a2+bc=0.(1)求角求角A的大小的大小;(2)若若a= ,求求bc的最大值的最大值;(3)求求 的值的值.3c c- -b bC C) )- -a as si in n( (3 30 0 (1)b2+c2-a2+bc=0的结构形式的结构形式,可联想到可联想到余弦定理余弦定理,求出求出cosA,从而求出从而求出A的值的值. (2)由由a= 及及b2+c2-a2+bc=0,可求出关于可求出关于b,c的关的关系式系式,利用不

12、等式利用不等式,即可求出即可求出bc的最大值的最大值. (3)由正弦定理可实现将边化为角的功能由正弦定理可实现将边化为角的功能,从而达到从而达到化简求值的目的化简求值的目的.返回目录返回目录 3 返回目录返回目录 (1)cosA= 又又A(0,180),A=120. (2)由由a= ,得得b2+c2=3-bc, 又又b2+c22bc（当且仅当（当且仅当c=b时取等号），时取等号）， 3-bc2bc(当且仅当当且仅当c=b时取等号）时取等号）. 即当且仅当即当且仅当c=b=1时时,bc取得最大值为取得最大值为1.212bc2bcbcbc2bc2bca ac cb b2 22 22 23 (3)由

13、正弦定理得由正弦定理得 返回目录返回目录 2R2RsinCsinCc csinBsinBb bsinAsinAa a2 21 1sinCsinC2 23 3cosCcosC2 23 3sinC)sinC)4 43 3cosCcosC4 43 3sinCsinC- -C)C)- -sin(60sin(60sinC)sinC)2 23 3cosCcosC2 21 1( (2 23 3sinCsinC- -sinBsinBC)C)- -sinAsin(30sinAsin(302RsinC2RsinC- -2RsinB2RsinBC)C)- -30302RsinAsin(2RsinAsin(c c-

14、-b bC)C)- -asin(30asin(30 返回目录返回目录 (1)在三角形中求角在三角形中求角,往往选择先求该角的往往选择先求该角的余弦值余弦值,然后利用余弦函数在然后利用余弦函数在(0,)上的单调性求角上的单调性求角. (2)正、余弦定理能实现边角转化，在解题时一定正、余弦定理能实现边角转化，在解题时一定要重视要重视. 返回目录返回目录 已知已知ABC是半径为是半径为R的圆内接三角形的圆内接三角形,且且2R(sin2A-sin2C)=( a-b)sinB.(1)求角求角C;(2)试求试求ABC面积面积S的最大值的最大值(1)由由2R(sin2A-sin2C)=( a-b)sinB,

15、两边同乘以两边同乘以2R,得得(2RsinA)2-(2RsinC)2=( a-b)2RsinB,根据正弦定理根据正弦定理,得得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,a2-c2=( a-b)b,即即a2+b2-c2= ab.22222 再由余弦定理再由余弦定理,得得cosC= ,又又0C,C= .(2)C= ,A+B= .S= absinC= (2RsinA)(2RsinB)= R2sinAsinB=- R2cos(A+B)-cos(A-B)= R2 +cos(A-B) .0A,0B,-A-B,当且仅当当且仅当A-B=0,即即A=B= 时时,sin(A-B)=1,S取到最取到最大

16、值大值 R2.返回目录返回目录 222ab2abc c- -b ba a2 22 22 24 4 43 2142222222283 221 返回目录返回目录 已知方程已知方程x2-(bcosA)x+acosB=0的两根之积等于两根的两根之积等于两根之和，且之和，且a,b为为ABC的两边，的两边，A,B为两内角，试判定为两内角，试判定这个三角形的形状这个三角形的形状.先由已知条件得出三角形的边角关系先由已知条件得出三角形的边角关系.要要判定三角形的形状，只需将边角关系转化为边之间或判定三角形的形状，只需将边角关系转化为边之间或角之间的关系即可判定角之间的关系即可判定. 返回目录返回目录 方法一方

17、法一:设方程的两根为设方程的两根为x1,x2，由韦达定理知，由韦达定理知x1+x2=bcosA,x1x2=acosB.由题意有由题意有bcosA=acosB,根据余弦定理得根据余弦定理得b =a ,b2+c2-a2=a2+c2-b2,化简得化简得a=b,ABC为等腰三角形为等腰三角形.2bc2bca a- -c cb b2 22 22 22ac2acb bc ca a2 22 22 2 方法二方法二:同方法一得同方法一得bcosA=acosB,由正弦定理得由正弦定理得2RsinBcosA=2RsinAcosB,sinAcosB-cosAsinB=0,即即sin(A-B)=0.0A,0B，-A-

18、B.A-B=0，即，即A=B.故故ABC为等腰三角形为等腰三角形.返回目录返回目录 返回目录返回目录 由三角形的边角关系判定三角形的形由三角形的边角关系判定三角形的形状，其基本思路是根据正弦定理和余弦定理进行边角状，其基本思路是根据正弦定理和余弦定理进行边角变换，全化为边的关系或全化为角的关系（一般化为变换，全化为边的关系或全化为角的关系（一般化为角较方便），然后利用简单的平面几何知识即可判定角较方便），然后利用简单的平面几何知识即可判定.应注意式子的等价变形和隐含条件的挖掘，以免漏解应注意式子的等价变形和隐含条件的挖掘，以免漏解或增解或增解. 在在ABC中，中，sinA= ，试判断，试判断A

19、BC的的形状形状.cosCcosCcosBcosBsinCsinCsinBsinB返回目录返回目录 解法一解法一：由条件：由条件,得得 0(否则否则A=),2sin2 =1,即即cosA=0.又又0A,A= ,即即ABC为直角三角形为直角三角形.返回目录返回目录 2 2A Asinsin2 2A Acoscos2 2A Acoscos2 2A A2sin2sin2 2C C- -B Bcoscos2 2C CB B2cos2cos2 2C C- -B Bcoscos2 2C CB B2sin2sin) )2 2C C- -B B2 2C CB Bcos(cos() )2 2C C- -B B2

20、 2C CB Bcos(cos() )2 2C C- -B B2 2C CB Bsin(sin() )2 2C C- -B B2 2C CB Bsin(sin(2 2A Acoscos2 2A A2sin2sin2 2A Acoscos2 2A A2 2 解法二解法二:用正、余弦定理得用正、余弦定理得a( ) =a+b.化简，得化简，得a2=b2+c2,故故ABC为直角三角形为直角三角形.返回目录返回目录 2ab2abc cb ba a2ac2acb bc ca a2 22 22 22 22 22 2 返回目录返回目录 某观测站在城某观测站在城A的南偏西的南偏西20的方向的方向,由城由城A出发

21、的一条出发的一条公路公路,走向是南偏东走向是南偏东40,在在C处测得公路上处测得公路上B处有一人处有一人,距距C为为31千米千米,正沿公路向正沿公路向A城走去城走去,走了走了20千米后到达千米后到达D处处,此时此时CD间的距离为间的距离为21千米千米,问问:这人还要走多少千这人还要走多少千米才能到达米才能到达A城城?正确画出图形正确画出图形,综合运用正弦定理与余弦定理综合运用正弦定理与余弦定理解题解题. 返回目录返回目录 本题为解斜三角形的本题为解斜三角形的应用问题应用问题,要求这人走多少路可到达要求这人走多少路可到达A城城,也就是要求也就是要求AD的长的长.在在ACD中中,已知已知CD=21

22、千米千米,CAD=60,只需再求出一个量即可只需再求出一个量即可. 如图如图,令令ACD=,CDB=,在在CBD中中,由余弦定理得由余弦定理得, ,7 71 1- -2 21 12 20 02 23 31 1- -2 21 12 20 02 2B BD DC CD DC CB B- -C CD DB BD Dc co os s2 22 22 22 22 22 2 sin= .而而sin=sin(-60)=sincos60-sin60cos=在在ACD中中, ,AD= =15(千米千米).这个人再走这个人再走15千米就可到达千米就可到达A城城.返回目录返回目录 734,1435712321734

23、 s si in nA AD Ds si in n6 60 02 21 1 s si in n6 60 0 s si in n 2 21 1 返回目录返回目录 在解决与解三角形有关的问题时在解决与解三角形有关的问题时,首先要首先要明确题意明确题意,正确地画出图形正确地画出图形,然后根据条件和图形特点寻然后根据条件和图形特点寻找是否存在可解的三角形找是否存在可解的三角形,如果有如果有,则可先解之则可先解之,进而为解进而为解决其他三角形创造可解条件决其他三角形创造可解条件,使问题逐一得到解决使问题逐一得到解决. 返回目录返回目录 如图，测量河对岸的塔高如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底时，

24、可以选与塔底B在同在同一水平面内的两个测点一水平面内的两个测点C与与D.现测得现测得BCD=,BDC=,CD=s，并在点，并在点C测得塔顶测得塔顶A的仰的仰角为角为，求塔高，求塔高AB. 在在BCD中，中，CBD=-.由正弦定理，得由正弦定理，得 .所以所以在在RtABC中，中，AB=BCtanACB=返回目录返回目录 CBDCBDsinsinCDCDBDCBDCsinsinBCBC ) )s si in n( ( s ss si in nC CB BD Ds si in nB BD DC CC CD Ds si in nB BC C)(ssinsintan 返回目录返回目录 沿一条小路前进，

25、从沿一条小路前进，从A到到B，方位角（从正北方向顺，方位角（从正北方向顺时针转到时针转到AB方向所成的角）是方向所成的角）是50,距离是距离是3km,从从B到到C,方位角是方位角是110,距离是距离是3km,从从C 到到 D, 方位角是方位角是140,距离是距离是(9+3 )km.试画出示意图试画出示意图 , 并计算出并计算出从从A到到D的方位角和距离的方位角和距离(结果保留根号结果保留根号).画出示意图画出示意图,要求要求A到到D的方位角的方位角,需要构需要构造三角形造三角形,连接连接AC,在在ABC中中,可知可知BAC=30,用用余弦定理求出余弦定理求出AC,再在再在ACD中中,求出求出A

26、D和和CAD.3 返回目录返回目录 示意图如图所示示意图如图所示,连接连接AC,在在ABC中中,ABC=50+(180-110)=120,又又AB=BC=3,BAC=BCA=30.由余弦定理可得由余弦定理可得20202ABBCcos12ABBCcos1- -BCBCABABACAC2 22 2( (k km m) ). .3 33 32 27 7) )2 21 1- -3 33 32 2- -9 99 9( 在在ACD中中,ACD=360-140-(70+30)=120,CD=3 +9.由余弦定理得由余弦定理得由正弦定理得由正弦定理得sinCAD= 返回目录返回目录 3. .( (k km m

27、) )2 2) )6 62 29 9( () )2 21 1( (- -9 9) )3 3( (3 33 33 32 2- -9 9) )3 3( (3 32 27 72 20 02 2A AC CC CD Dc co os s1 1- -C CD DA AC CA AD D2 22 22 2A AD DA AC CD DC CD Ds si in n .22223) )6 62 29 9( (9 9) )3 3( (3 3 CAD=45,于是于是AD的方位角为的方位角为50+30+45=125,从从A到到D的方位角是的方位角是125，距离为，距离为返回目录返回目录 .2km) )6 62 29(9( 连结连结BC，由余弦定理得，由余弦定理得BC2=202+102 -22010cos120=700.于是于是BC=10 .ACB90,ACB=41.乙船应朝北偏东乙船应朝北偏东71方向沿直线前往方向沿直线前往B处救援处救援.7 77 73 3 A AC CB Bs si in n7 71 10 0s si in n1 12 20 02 20 0A AC CB Bs si in n返回目录返回目录 在在ABC中，中，BC=a，AC=b，a,b是方程是方程