用弹性中心法计算对称无铰拱

1、All Rights Reserved重庆大学土木工程学院7.7用弹性中心法计算对称无铰拱用弹性中心法计算对称无铰拱一、弹性中心一、弹性中心为了简化计算，采用以下两项简化措施：为了简化计算，采用以下两项简化措施： 第一选取对称的基本结构第一选取对称的基本结构 力法方程简化为两组独立的方力法方程简化为两组独立的方程，即程，即 00P2222121P1212111XXXX0P3333 XFPFPABAB对对称称轴轴X1X3X2X2All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 第二项简化措施是利用刚臂进一步使余下的一对副系数第二项简化措施是利用刚臂进一步使余下的一对副系数 12和和 2

2、1也等于零也等于零，从而使力法方程进一步简化为三个独立的一，从而使力法方程进一步简化为三个独立的一元一次方程：元一次方程：000P3333P2222P1111XXX下面，说明如何利用刚臂来达到上下面，说明如何利用刚臂来达到上述简化目的述简化目的 。 第一步第一步，把原来的无铰拱换成带刚，把原来的无铰拱换成带刚臂的无铰拱臂的无铰拱,这个带刚臂的无铰拱与这个带刚臂的无铰拱与原来的无铰拱是等效的，可以相互原来的无铰拱是等效的，可以相互代替。代替。 FPABEI=COAll Rights Reserved重庆大学土木工程学院第二步第二步，选取基本体系。将带刚臂的无铰拱在刚臂下端，选取基本体系。将带刚臂

3、的无铰拱在刚臂下端O处处切开。切开。 第三步第三步，确定刚臂的长度，也就是确定刚臂端点，确定刚臂的长度，也就是确定刚臂端点O的位置。的位置。 sGAFFsEAFFsEIMMddd2Q1Q2N1N2112副系数副系数 12的算式如下：的算式如下： FPABEI=COFPABKCxyyysX1X1X2X2X3X3OAll Rights Reserved重庆大学土木工程学院00d)() 1 (2112sEIyyS得得 sEIysEIySd1dcos,sin,sin,cos,0, 0, 1Q3N33Q2N22Q1N11FFxMFFyyMFFMS式中，式中，yS为刚臂长度；为刚臂长度； 为为截面处拱轴切

4、线与水平线之截面处拱轴切线与水平线之间的夹角，在右半拱取正，间的夹角，在右半拱取正，左半拱取负。左半拱取负。 xxxyyyyysKKKX1=1X1=1X2=1X2=1X3=1X3=1x All Rights Reserved重庆大学土木工程学院令令 12= 21=0，便可得到刚臂长度，便可得到刚臂长度yS为为 为了形象地理解上式的几何意义，设想沿拱轴线作宽度等为了形象地理解上式的几何意义，设想沿拱轴线作宽度等于于1/EI的图形，则的图形，则ds/EI代表此图中的微面积，而式（代表此图中的微面积，而式（7-14）就）就是计算这个图形面积的形心计算公式。由于此图形的面积与结是计算这个图形面积的形心

5、计算公式。由于此图形的面积与结构的弹性性质构的弹性性质EI有关，故称它为弹性面积图，它的形心则称为有关，故称它为弹性面积图，它的形心则称为弹性中心弹性中心。 sEIsEIyySd1d(7-14) 如果先按式（如果先按式（7-14）求出）求出yS，即确定弹性中心的位置，并，即确定弹性中心的位置，并将刚臂端点引至弹性中心，然后取形如图将刚臂端点引至弹性中心，然后取形如图7-37d所示带刚臂的所示带刚臂的基本体系，则力法方程中的全部副系数都等于零。这一方法基本体系，则力法方程中的全部副系数都等于零。这一方法就称为就称为弹性中心法弹性中心法。 ysxyydsO弹性中心弹性中心EI1All Rights

6、 Reserved重庆大学土木工程学院二、荷载作用下的计算二、荷载作用下的计算力法方程简化为式力法方程简化为式 000P3333P2222P1111XXX 当计算系数和自由项时，可忽略轴向变形和剪切变形的当计算系数和自由项时，可忽略轴向变形和剪切变形的影响，只考虑弯曲变形一项。但当拱轴线接近合理拱轴时，影响，只考虑弯曲变形一项。但当拱轴线接近合理拱轴时，或拱高或拱高fl/5且拱顶截面高度且拱顶截面高度hcl/10时，还需时，还需考虑轴力对考虑轴力对 22的影响。即的影响。即 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院sEIMMsEIMMsEIMMsEIxsEIMsEAsEIyy

7、sEAFsEIMsEIsEIMSddddddcosd)(ddd1dP3P3P2P2P1P1223332222N22222111All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 由力法方程算出多余未知力由力法方程算出多余未知力X1、X2和和X3后，即可用隔离后，即可用隔离体的平衡条件或内力叠加公式体的平衡条件或内力叠加公式参见单位未知力引起的内力表参见单位未知力引起的内力表达式（达式（d）求得求得NP32NQP32QP321sincoscossin)(FXXFFXXFMxXyyXXMS式中，式中，MP、FQP和和FNP分别为基本结构在荷载作用下该截面的分别为基本结构在荷载作用下该截面的

8、弯矩、剪力和轴力。弯矩、剪力和轴力。 弹性中心法可以推广到适用于任何形状的三次弹性中心法可以推广到适用于任何形状的三次超静定的闭合结构，是一种具有普遍意义的方法。超静定的闭合结构，是一种具有普遍意义的方法。 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院【例【例7-14】试用弹性中心法计算图】试用弹性中心法计算图7-40a所示圆拱直墙刚架的弯所示圆拱直墙刚架的弯矩矩MA和和MC。设。设EI=常数。常数。 解：此刚架为三次超静定结构，圆拱部分承受径向荷载。因解：此刚架为三次超静定结构，圆拱部分承受径向荷载。因为为 xqsqdcos)d(yqsqdsin)d(由于荷载对称，故反对称力由

9、于荷载对称，故反对称力X3=0 qqRRABCdsqdsqdssin qdscos qdsdxdydsxyysX1X1X2X2X3X3基本体系基本体系All Rights Reserved重庆大学土木工程学院(1)求弹性中心位置求弹性中心位置RyEIREIyyEIRREIsEIsEIyyRRRRS81. 0d2d2d2d)cos1 (2d1d220220qqRRABCdsqdsqdssin qdscos qdsdxdydsxyysX1X1X2X2X3X3基本体系基本体系All Rights Reserved重庆大学土木工程学院(2)计算系数和自由项计算系数和自由项由隔离体的平衡条件建立弯矩方程

10、为由隔离体的平衡条件建立弯矩方程为1）在）在X1=1作用下作用下直、曲杆段直、曲杆段 11M2）在）在X2=1作用下作用下 曲杆段曲杆段 2(1cos )0.81(0.19cos )sMyyRRR直杆段直杆段 RyyyMS81. 02qqdsdxdydsxyysX1X1X2X2X3X3基本体系基本体系X2 =1ysy2MAll Rights Reserved重庆大学土木工程学院3）在荷载作用下）在荷载作用下曲杆段曲杆段 222P)cos1 (2)sin(2qRRqM)cos1 (2qR直杆段直杆段 2222PqyqRM据此，可求得系数和自由项为据此，可求得系数和自由项为EIRyEIREIsEI

11、MRR14. 5d12d12d2202111qqqqysyRMP MP(曲杆段曲杆段)(直杆段直杆段) All Rights Reserved重庆大学土木工程学院23222222220222.04d(0.19-cos )d(0.81 ) dRRMRsRRyRyEIEIEIEIEIqRyqyqREIRqREIsEIMMRR3222202P1P147. 4d)22(1-2d)cos-(11-2dEIqRyqyqRRyEIRqRREIsEIMMRR4222202P2P243. 2d)22()81. 0(-2d)cos-(1)cos-(0.19-2dAll Rights Reserved重庆大学土木工

12、程学院(3)求多余未知力求多余未知力X1和和X22311P1187. 014. 547. 4qRREIEIqRXqRREIEIqRX14. 104. 243. 23422P22(4)根据叠加公式，求得根据叠加公式，求得（外侧受拉）2222P2127. 02)2(2)81. 02(14. 187. 0)(qRRqqRRRqRqRMyyXXMSA22120.871.140.810.05CSMXX yqRqRRqR （外侧受拉）All Rights Reserved重庆大学土木工程学院三、温度变化时的计算三、温度变化时的计算无铰拱在温度变化时，将会产生明显的内力。设图无铰拱在温度变化时，将会产生明显

13、的内力。设图7-41a所示所示对称无铰拱的外侧温度升高对称无铰拱的外侧温度升高t1，内侧温度升高，内侧温度升高t2。力法计。力法计算时仍采用弹性中心法，其基本体系如图算时仍采用弹性中心法，其基本体系如图7-41b所示。由于温所示。由于温度变化对称于度变化对称于y轴，因此有轴，因此有X3=0，力法方程简化为，力法方程简化为 0022221111ttXX（7-16） xxysfl/2l/2yy+t1+t1+t2+t2X1X1X2X2X3X3基本体系基本体系All Rights Reserved重庆大学土木工程学院主系数计算同式（主系数计算同式（7-15），自由项为），自由项为sFtshMtiiit

14、ddN0(f)分别把分别把 、 和和 、 代入式代入式（f），得），得11M01NFSyyM2cosN2Fhsttd1sEAsEIyyltXXSdcosd)(, 022021于是有于是有 这表明，当全拱内外侧温度均匀改变时，在弹性中心处只这表明，当全拱内外侧温度均匀改变时，在弹性中心处只有水平多余力有水平多余力X2。当温度升高时，。当温度升高时，X2为正方向，使拱截面内产为正方向，使拱截面内产生压力；温度降低时，生压力；温度降低时，X2为反方向，使拱截面内产生拉力。对为反方向，使拱截面内产生拉力。对于混凝土拱，应注意避免由于降温引起的拉力使拱产生裂缝。于混凝土拱，应注意避免由于降温引起的拉力使

15、拱产生裂缝。 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院 当多余未知力确定以后，拱上任意截面的内力均可按式（当多余未知力确定以后，拱上任意截面的内力均可按式（e） （令荷载项为零）求出。（令荷载项为零）求出。 混凝土的收缩对超静定结构的影响与温度均匀下降的情混凝土的收缩对超静定结构的影响与温度均匀下降的情况相似，故可用温度均匀变化的计算方式来处理。混凝土的况相似，故可用温度均匀变化的计算方式来处理。混凝土的温度线膨胀系数为温度线膨胀系数为a =0.00001，而一般混凝土的收缩率，而一般混凝土的收缩率a t约为约为0.025%，相当于温度均匀下降，相当于温度均匀下降25。若拱体

16、的混凝土是分段。若拱体的混凝土是分段分期浇筑的，则其收缩的影响通常相当于温度下降分期浇筑的，则其收缩的影响通常相当于温度下降1015。 All Rights Reserved重庆大学土木工程学院四、支座移动时的计算四、支座移动时的计算力法方程为力法方程为 000333322221111cccXXX式中，主系数计算同式中，主系数计算同式（式（7-15），自由项），自由项为为cFiicR（g） xxyyl/2l/2faabb ysX1X1X2X2X3X3基本体系基本体系All Rights Reserved重庆大学土木工程学院求出各单位多余力作用于基本结求出各单位多余力作用于基本结构时与支座位移相应的支座反力构时与支座位移相应的支座反力（图（图7-42c），代入式（），代入式（g），得），得 )1(1c2()1()cSSfyafya blblc2)12(3X1 =1X2 =1X3 =11001010l/2f-ysAll Rights Reserved重庆大学土木工程学院sEIxblXsEAsEIyyayfXEIsXcSSccd2dcosd)()(d233332222221111