二次根式的概念与性质

1、二次根式的概念与性质编稿：庄永春审稿：邵剑英责编：张杨一、目标认知1 .学习目标：I凶理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由；理解并掌握下列结论：员之帅四，必心0）,并利用它们进行计算和化简.2 .重点：匡J之贴加；雨;h"）及其运用.3 .难点：利用620（窗30）向,呼二皿沙解决具体问题.二、知识要点梳理知识点一：二次根式的概念称为二次根号.般地，我们把形如V。（a>0）?的式子叫做二次根式,要点诠释:二次根式的两个要素：根指数为2;被开方数为非负数知识点二：二次根式的性质1 .Q0（心0）；2 .（研二心。）；3.a(4之0)p(a<0).4 .积的算术平方

2、根的性质：向二（4之0,办之0）；5 .商的算术平方根的性质：忑要点诠释:二次根式而（a >0）的值是非负数，其性质（心0）、“可以正用亦可逆用，正用时去掉根号起到化简的作用；逆用时可以把一个非负数写成完全平方的形式，有利于在实数范围内进行因式分解.知识点三：代数式形如5,a,a+b,ab,f,x3,g。之0)这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式(algebraicexpression).三、规律方法指导1 .如何判断一个式子是否是二次根式？(1)必须含有二次根号，即根指数为2;(2)被开方数可以是

3、数也可以是代数式但必须是非负的，否则在实数范围内无意义.2 .如何确定二次根式在实数范围内有意义？要使二次根式在实数范围内有意义必须满足被开方数为非负数.要确定被开方数中所含字母的取值范围，可根据题意列出不等式，通过解不等式确定字母的取值范围.当二次根式作为分母时要注意分母不能为零.经典例题透析类型一：二次根式的概念11年i1、下列式子,哪些是二次根式，哪些不是二次根式:1/、密、X、 4(x>0)、而、也、-也、1工+y、历 (x >0, y>0).思路点拨：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号”；第二，被开方数是正数或0.解：二次根式有:也、&x>0)、

4、(x >0, y>0);1不是二次根式的有：物、工、啦、工+y.02、当x是多少时，底H在实数范围内有意义？国思路点拨：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0,所以3x-10,?收二1才能有意义.1解：由3x-1>0,得：x>3I当x3时，板二i在实数范围内有意义.总结升华：要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数.举一反三【变式11x是怎样的实数时，下列各式实数范围内有意义？曲+1>；(2);解：(i)由a+D>o,解得：x取任意实数；当x取任意实数时，二次根式Jo+i厂在实数范围内都有意义.(2)由x-1>0,且x-1W0

5、,解得：x>1当x>1时，二次根式qRN在实数范围内都有意义.1_【变式2当x是多少时，忘用+X+1在实数范围内有意义？思路点拨：要使苏3十工+1在实数范围内有意义，必须同时满足J2兀+3中的2x+3>0和X+1中的x+1W0.2x+3>0<解：依题意，得卜+1H°3由得：x-2由得：XW-13工当X-2且xw-1时，也1+3+x+l在实数范围内有意义.类型二：二次根式的性质思路点拨：我们可以直接利用(a >0)的结论解题.(6)(3折-(5曲；45-乃二-30.举一反三【变式11计算:思路点拨：(1)因为x>0,所以x+1>0;(3)

6、a 2+2a+1=(a+1)2>0；(2)a 2>0;(4)4x 2-12x+9=(2x) 2-2 - 2x - 3+32=(2x-3) 2>0.所以上面的4题都可以运用(A) = a (a > O')的重要结论解题.解: 因为x>0,所以x+1>0一2一2(3) .a+2a+1=(a+1)又(a+l)2>0,aa2+2a+1>0,.H"=a+2a+1;(4) V4x2-12x+9=(2x)2-2-2x-3+32=(2x-3)2又.(2x-3)2>02i2c八.4x2-12x+9>0,=4x2-12x+9.4、化简:

7、但瓦(2)；(3)而；(4)k牙.思路点拨：因为(1)9=32,(2)(-4)2=42,(3)25=52,(4)(-3)2=32,所以都可运用必二20)去化简.(2)娘<=11=4;(4) V-=一厂=3.j当a<0时，M,?并根据这一性质回答5、填空：当a>0时，M=卜歹1问题.H(1)若必=a,则a可以是什么数？(2)若=-a,则a可以是什么数?(3)必>a,则a可以是什么数？思路点拨：-=a(a>0),.要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“()2”中的数是正数,因为，当a&0时，曲=户，那么-a>0.(1)根据结论求条件

8、；(2)根据第二个填空的分析，逆向思想；根据(1)、可知G二I,而IN要大于a,只有什么时候才能保证呢？解：(1)因为插二金，所以a>0；(2)因为?二一口,所以a<0；(3)因为当a>0时必二&,要使曲,即使a>a所以a不存在；当a<0时，后二”，要使,即使-a>a,即a<0；综上，a<0.类型三：二次根式性质的应用6当x=-4时，求二次根式J1-21的值.思路点拨：二次根式也是一种代数式，求二次根式的值和求其他代数式的值方法相同.解：将x=-4代入二次根式，得五=J1-2x(-4)二后二3.7、(1)已知y=12二+J1-2+5,求J

9、的化也若小口+也T=0,求/8+网曲的化j_2解：(1)由2一工之0,1-2加可得1=2,二产5,1y5(2),'、二一一一-11.1.+=0,曲-=0二1+1=0,-1=0.a=-8=1二/图+S.=(-l)w+吁=2.O8、在实数范围内分解因式：回(1)x2-5;(2)x3-2x;解:(1)原式二工-(而，o;.（2）原式二式3a=府-（扬”=#+）（片企）.学习成果测评基础达标一、选择题101i11ii.下列式子中，不是二次根式的是（）2A.&B.任C.加D.x2 .已知一个正方形的面积是5,那么它的边长是（）A.5B.C.二D.以上皆不对3 .（福建省福州市）若代数式在

10、实数范围内有意义，则x的取值范围为（）A.x>0B.x>0C,xw0D.x>0且x丰14 .闷+2F的值是（）22A.0B.3C.43D.以上都不对5 .a0时，矛、-,比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（）A.一寸”、"B.、娘"'C.rD.一一.6 .（辽宁省大连市）如图，数轴上点N表示的数可能是（）B.A.D.、填空题1 .若五二4,贝tjx=2 .若孩+3有意义，则a的取值范围是3 .-J0-0004=.7 .若加'+那=0,则加若=3a-1_则口8 .化简：儿考=.、+菅画9 .计算：(1)12/=;,(24+3极2A3物二?

11、10 .(内蒙古鄂尔多斯市)如图，在数轴上，AB两点之间表示整数的点有个.三、解答题1 .求下列二次根式中字母a的取值范围:2.某工厂要制作一批体积为 方形，试问底面边长应是多少？(2)Al；(3)J("歹1m3的产品包装盒，具高为0.2m,按设计需要，？底面应做成正能力提升一、选择题1 .使式子J-陵-今'有意义的未知数x有()个A. 0 B. 1 C. 2D.无数2 .(山西省临汾市)若屏弘+，=3-&,则a与3的大小关系是()A.a二B.,C.D.，：3 .下列计算正确的是()A(4后巧b.(-=$C.-=$D.-(-同=$4 .(福建省厦门市)下列四个结论中，

12、正确的是()375557533后而5<<<<<<21<<一A.一1二B.一二二C.二一D.-二、填空题而一-11 .若,贝.2,若标晟是一个正整数，则正整数m的最小值是.3.已知实数a，。在数轴上的对应点如图所示，则三、解答题1 .当x是多少时，X+X2在实数范围内有意义?2 .若出-1+J1有意义,求的值.3 .（北京市海淀区）已知实数x,y满足卜一5|+5日二°,求代数式（工+）的值.4 .已知屈5+杵7=°,求x+y的值.综合探究1 .（福建省南安市）观察分析下列数据，寻找规律：0,后，茅，3,2后，屈，3折，那么第10

13、个数据应是.2 .（江苏省苏州市）等式,一1二）（'+力+（）中的括号应填入.3 .先化简冉求值：当a=9时，求a+Jl-2a+J的值，甲乙两人的解答如下:甲的解答为：原式=a+J*-"）=a+（1-a）=1；乙的解答为：原式=a+J。-"）=a+（a-1）=2a-1=17.两种解答中，的解答是错误的，错误的原因是.4 .若-3WxW2时，试化简|了-2|+而甲+庐而石.5 .在实数范围内分解下列因式：F-2；（2）X*-9.答案与解析基础达标一、1.D2.B3.D4.C5.A6.B、1.162.13.-0.024.：二|<0,>-7. 三38. 2独盼

14、9. (1) 2 ；(2)6 ; (3)-65.2-x10.41.解：(1)由a+1>0,得a>-1字母a的取值范围是大于或等于-1的实数。1(2) 1-2白>0,得1-2a>0,即a<21字母a的取值范围是小于2的实数。(3)因为无论a取何值，都有MTN。,所以a取值范围是全体实数2.解：设底面边长为x,则0.2x2=1,解答：x=75.能力提升一、1.B2.B3.B4.D二、1.-2.53.b1.解：依题意得:2x+3>0兀M 03.,.当 x>- 2 且 xw0 时,工 +x2在实数范围内有意义.2 .解：-3之°,且白-，+，工-3有意义.1.书一x=0,=0,x=33 .解：虫-5户°，之0且|一|十二0.|x-5|=0,1y+4=。.；z-5=0,y+4=0x=5,y=Y/v20087(x+丁)=14 .解：；J“，/