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文档简介
1、第二节导数基本公式与运算法则教学目的:1.使学生掌握函数的和、差、积、商的求导法则; 2使学生掌握反函数的导数法则、复合函数的求导法则;教学重点:初等函数的求导公式、复合函数的求导法则教学过程:一、函数的和、差、积、商的求导法则定理 1:若函数和在点都可导,则在点也可导,且。证明: = 所以。注 1:本定理可推广到有限个可导函数上去。 2:本定理的结论也常简记为。定理2:若和在点可导,则在点可导,且有。证明: = = = =即 。注 1:若取为常数,则有:; 2:本定理可推广到有限个可导函数的乘积上去,例如:等。定理3:若都在点可导,且,则在点也可导,且。证明: = = =即注1:本定理也可通
2、过,及的求导公式来得;2:本公式简化为;3:以上定理13中的,若视为任意,并用代替,使得函数的和、差、积、商的求导函数公式。【例1】 设,求。解: 。【例2】 设,求。解:。【例3】二、反函数的导数法则定理1:设为的反函数,若在的某邻域内连续,严格单调,且,则在(即点有导数),且。证明: 所以 。注1:,因为在点附近连续,严格单调; 2:若视为任意,并用代替,使得或,其中均为整体记号,各代表不同的意义; 3:和的“”均表示求导,但意义不同; 4:定理1即说:反函数的导数等于直接函数导数的倒数; 5:注意区别反函数的导数与商的导数公式。【例1】 求的导数,解:由于,是的反函数,由定理1得:。注1
3、:同理可证:; 2:。【例2】 求的导数。解:利用指数函数的导数,自己做。三、复合函数的求导法则复合函数的求导问题是最最常见的问题,对一复合函数往往有这二个问题:1.是否可导?2.即使可导,导数如何求?复合函数的求导公式解决的就是这个问题。定理2(复合函数求导法则):如果在点可导,且在 点也可导,那么,以为外函数,以为内函数,所复合的复合函数在点可导,且,或证明: = 所以。注 1:若视为任意,并用代替,便得导函数:,或 或。 2:与不同,前者是对变量求导,后者是对变量求导,注意区别。 3:注意区别复合函数的求导与函数乘积的求导。 4:复合函数求导可推广到有限个函数复合的复合函数上去,如:等。【例3】 求的导数。解:可看成与复合而成, 。【例4】 求(为常数)的导数。解:是,复合而成的。所以。这就验证了前面§2、1的例4。由此可见,初等函数的求导数必须熟悉(i)基本初等函数的求导;(ii)复合函数的分解;(iii)复合函数的求导公式;只有这样才能做到准确。在解题时,若对复合函数的分解非常熟悉,可不必写出中间变量,而直接写出结果。【例5】,求。解:。【例6】,求。解: 。【例7】,求。解: = =。【例8】,求。解:。【例9】, 即。同理,。【例10】,求。解:。同理:。 小结:
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