现代控制理论：CH1 绪论-补充 现代控制理论的数学基础

1、补充 现代控制理论的数学基础 1现代控制理论的数学基础 一矩阵的定义一矩阵的定义1矩阵矩阵 矩阵定义为矩阵阵列，它的元素可以是实数、矩阵定义为矩阵阵列，它的元素可以是实数、复数、函数或算子。一个复数、函数或算子。一个n行行m列的矩阵表示为列的矩阵表示为nmnnmmaaaaaaaaaA212222111211称为称为 矩阵。矩阵。 mn补充 现代控制理论的数学基础 22方阵方阵 方阵是行数和列数相等的矩阵。一个方阵是行数和列数相等的矩阵。一个 矩阵矩阵称为称为n阶方阵。阶方阵。nn3向量向量1）只有一列的矩阵称为列向量。）只有一列的矩阵称为列向量。 具有具有n个元素的列向量个元素的列向量 称为称

2、为n维列向量。维列向量。 nxxxx212）只有一行的矩阵称为行向量。）只有一行的矩阵称为行向量。 具有具有n个元素的行向量个元素的行向量 称为称为n维维行向量。行向量。 nxxxx21补充 现代控制理论的数学基础 34对角线矩阵对角线矩阵 如果除方阵如果除方阵A的主对角线元素外，其余的元素均的主对角线元素外，其余的元素均为零，则称矩阵为零，则称矩阵A为对角线矩阵，写成为对角线矩阵，写成 ,22112211nnnnaaadiagaaaA5单位矩阵单位矩阵主对角线上元素全为主对角线上元素全为1的对角线矩阵称为单位矩阵，即的对角线矩阵称为单位矩阵，即 1 , 1 , 1 111diagI补充 现代

3、控制理论的数学基础 46零矩阵：零矩阵：所有元素都为零的矩阵。所有元素都为零的矩阵。7转置矩阵转置矩阵 如果如果 矩阵矩阵A的行和列互相交换，则由此得的行和列互相交换，则由此得到的到的 矩阵称为矩阵矩阵称为矩阵A的转置矩阵，用的转置矩阵，用AT表示。表示。 mnnmnmnnmmaaaaaaaaaA212222111211nmmmnnTaaaaaaaaaA212221212111矩阵转置的规律：矩阵转置的规律：1）(AT )T = A 2）(A+B )T = AT+ BT 3）(AB )T = BT AT 4）(kA )T = kAT补充 现代控制理论的数学基础 5 设方阵设方阵A的行列式为的行

4、列式为|A|，如果，如果|A|=0，则称，则称A为奇为奇异矩阵；如果异矩阵；如果|A|0，则称，则称A为非奇异矩阵。为非奇异矩阵。9对称矩阵和斜对称矩阵（反号对称矩阵）对称矩阵和斜对称矩阵（反号对称矩阵）8奇异矩阵与非奇异矩阵奇异矩阵与非奇异矩阵1）对称矩阵：）对称矩阵：如果方阵如果方阵A的元素相对于主对角线对称，的元素相对于主对角线对称，则称则称A为对称矩阵（也可以这样说：如果方阵为对称矩阵（也可以这样说：如果方阵A等于它的等于它的转置矩阵，即转置矩阵，即A=AT，则，则A为对称矩阵）。为对称矩阵）。2）斜对称矩阵：）斜对称矩阵：如果方阵如果方阵A等于它的转置矩阵的负值，等于它的转置矩阵的负

5、值，即即A= - -AT，则方阵，则方阵A称为斜对称矩阵（反号对称矩阵）称为斜对称矩阵（反号对称矩阵）. 补充 现代控制理论的数学基础 6二矩阵的代数运算二矩阵的代数运算1矩阵的加减法矩阵的加减法 如果两个矩阵如果两个矩阵A和和B具有相等数量的行和列，则这具有相等数量的行和列，则这两个矩阵可以相加和相减。若两个矩阵可以相加和相减。若 及及 ，则有则有 )(ijaA )(ijbB )()(ijijijijbaBAbaBA即矩阵的加减法就是把两个矩阵同行同列的元素相即矩阵的加减法就是把两个矩阵同行同列的元素相加、相减。加、相减。补充 现代控制理论的数学基础 72矩阵与数的乘积（标量积）矩阵与数的乘

6、积（标量积） 一个数量一个数量k与矩阵与矩阵A相乘，就是把矩阵相乘，就是把矩阵A的每个的每个元素都乘上元素都乘上k，即，即nmnnmmnmnnmmkakakakakakakakakaaaaaaaaaakkA212222111211212222111211补充 现代控制理论的数学基础 83矩阵与矩阵的乘法矩阵与矩阵的乘法 设设A为为nm矩阵，矩阵，B为为mp矩阵，则矩阵，则A和和B的乘的乘积矩阵积矩阵C为：为： 1()()(1,2, ;1,2, )mn pn mm pijikkjkCABcabin jp矩阵与矩阵乘法的性质：矩阵与矩阵乘法的性质：1）(AB)C=A(BC) 2）(A+B)C=AC

7、+BC3）C (A+B) =CA+CB4）一般情况下，矩阵乘法不满足交换律，即）一般情况下，矩阵乘法不满足交换律，即AB BA。5）一个）一个n阶方阵阶方阵A与一个与一个n阶单位矩阵阶单位矩阵I相乘时，可互换位相乘时，可互换位置顺序，其乘积相同，即置顺序，其乘积相同，即IA=AI=A。6）如果两个方阵）如果两个方阵A和和B的乘积等于零的乘积等于零,不能推论不能推论A=0或或B = 0补充 现代控制理论的数学基础 9三逆矩阵（三逆矩阵（）1子式子式Mij ：从从n阶方阵阶方阵A中去掉第中去掉第i行和第行和第j列后所列后所得到的是一个得到的是一个(n-1)阶方阵，该阶方阵，该(n-1)阶方阵的行列

8、阶方阵的行列式便称为式便称为n阶方阵阶方阵A的子式的子式Mij。 2余因子余因子Aij ：矩阵矩阵A的一个元素的一个元素aij的余因子的余因子Aij是是用方程用方程Aij=(- -1)i+jMij来定义的，即元素来定义的，即元素aij的余因子的余因子Aij是以是以(- -1)i+j乘矩阵乘矩阵A中去掉第中去掉第i行和第行和第j列后构成的列后构成的矩阵的行列式矩阵的行列式子式子式Mij。补充 现代控制理论的数学基础 103伴随矩阵：伴随矩阵：矩阵矩阵A的伴随矩阵是以的伴随矩阵是以A的余因子为的余因子为元素所构成的矩阵的转置矩阵，即元素所构成的矩阵的转置矩阵，即nnnnnnAAAAAAAAAadj

9、A2122212121114矩阵的逆矩阵：矩阵的逆矩阵：若方阵若方阵A的行列式的行列式|A|不等于零，即不等于零，即A为非奇异，则矩阵为非奇异，则矩阵A有逆矩阵存在，其计算式为有逆矩阵存在，其计算式为AadjAA1补充 现代控制理论的数学基础 115逆矩阵的特性：逆矩阵的特性：1）AA- -1 = A- -1A = I （I为单位矩阵）为单位矩阵）2）若）若|A| 0，|B| 0，则，则(BA)- -1=A- -1B- -13）如果）如果|A| 0，则，则(AT)- -1=(A-1)T4）(A- -1)- -1 = A四矩阵的秩（四矩阵的秩（） 如果矩阵如果矩阵A的的m阶子矩阵存在，且至少有一

10、阶子矩阵存在，且至少有一个个m阶子矩阵的行列式不为零，而阶子矩阵的行列式不为零，而A的的r阶子矩阵阶子矩阵（rm+1）构成的行列式均为零，则称矩阵）构成的行列式均为零，则称矩阵A的的秩等于秩等于m，记为，记为rankA = m。补充 现代控制理论的数学基础 12五矩阵的初等变换（五矩阵的初等变换（） 如果对矩阵的元素实行了下列三种变换之一，如果对矩阵的元素实行了下列三种变换之一，就说这个矩阵经过了一次就说这个矩阵经过了一次初等变换，即初等变换，即1）将任意两行（或两列）的元素互换位置；）将任意两行（或两列）的元素互换位置；2）将任意一行（或一列）的元素乘上不等于）将任意一行（或一列）的元素乘上

11、不等于0的数的数;3）将任意一行（或一列）元素的）将任意一行（或一列）元素的c倍加到另一行倍加到另一行（或另一列）的元素上去。（或另一列）的元素上去。 矩阵的初等变换有下述两个重要定理：矩阵的初等变换有下述两个重要定理：1）一个矩阵经过任何一种初等变换后，其秩不变。）一个矩阵经过任何一种初等变换后，其秩不变。2）任意一个矩阵经过一系列的初等变换后，总能变）任意一个矩阵经过一系列的初等变换后，总能变成阶梯形矩阵。成阶梯形矩阵。补充 现代控制理论的数学基础 13阶梯形矩阵：阶梯形矩阵：矩阵任一行第一个非零元素的下方矩阵任一行第一个非零元素的下方全为零。例如全为零。例如 因为阶梯形矩阵很容易确定它的

12、秩，因此利因为阶梯形矩阵很容易确定它的秩，因此利用上述两个定理，先把矩阵变成阶梯形矩阵，再用上述两个定理，先把矩阵变成阶梯形矩阵，再确定阶梯形矩阵的秩，即为原矩阵的秩。确定阶梯形矩阵的秩，即为原矩阵的秩。000010001210,300120101补充 现代控制理论的数学基础 14 考虑方阵考虑方阵A特征矩阵特征矩阵：A- - I特征方程：特征方程：| A- - I | = 0特征值：特征值：特征方程的根特征方程的根特征向量：特征向量：将某一特征值将某一特征值 i 代入方程代入方程Ax = x中，中，解解得的向量得的向量x 称为与特征值称为与特征值 i 相应的一个特征向量。相应的一个特征向量。六矩阵的特征值和特征向量（六矩阵的特征值和特征向量（）补充 现代控制理论的数学基础 15七向量的线性相关和线性独立七向量的线性相关和线性独立(或