线性代数 投入产出数学模型

1、投入产出分析也称为投入产出法或投入产出技投入产出分析也称为投入产出法或投入产出技术术.这一方法是美国经济学家这一方法是美国经济学家 W 列昂节夫列昂节夫(Leontief) 于于 20 世纪世纪 30 年代首先提出的年代首先提出的. 他利用线他利用线性代数的理论和方法，研究一个经济系统性代数的理论和方法，研究一个经济系统 (企业、地企业、地区、国家等区、国家等) 的各部门之间错综复杂的联系，建立起的各部门之间错综复杂的联系，建立起相应的数学模型，用于经济分析和预测相应的数学模型，用于经济分析和预测. 目前，这一目前，这一方法已在世界各国广泛应用方法已在世界各国广泛应用.考虑一个具有考虑一个具有

2、 n 个部门的经济系统，各部门分个部门的经济系统，各部门分别称为部门别称为部门 1，部门，部门 2， , 部门部门 n .并假设并假设 部门部门 i 仅生产一种产品仅生产一种产品 i (称为部门称为部门 i 的产出的产出)不同部门的产品不能相互替代不同部门的产品不能相互替代.由这一假设可以看出，部门与产出之间是一一由这一假设可以看出，部门与产出之间是一一对应的对应的. 部门部门 i 在生产过程中至少需要消耗另一部门在生产过程中至少需要消耗另一部门j 的产品的产品(称为部门称为部门 j 对部门对部门 i 的投入的投入)，并且消耗的各，并且消耗的各部门产品的投入量与该部门的总产量成正比部门产品的投

3、入量与该部门的总产量成正比.利用某一年的统计资料，可以先编制投入产出利用某一年的统计资料，可以先编制投入产出表，并建立相应的数学模型投入产出模型表，并建立相应的数学模型投入产出模型. 投入产投入产出模型按计量单位的不同，可分为价值型和实物型出模型按计量单位的不同，可分为价值型和实物型.在价值型模型中，各部门的产出、投入均以货币单在价值型模型中，各部门的产出、投入均以货币单位表示；位表示； 在实物型模型中，则按各产品的实物单位在实物型模型中，则按各产品的实物单位(如吨、米等如吨、米等)为单位为单位.我们先讨论价值型投入产出模我们先讨论价值型投入产出模型型.先首，我们利用某年的经济统计数据，编制投

4、先首，我们利用某年的经济统计数据，编制投入产出表入产出表其中其中xi = 部门部门 i 的总产量的总产量 ( i = 1, 2 , , n ) .xij = 部门部门 j 在生产过程中需消耗部门在生产过程中需消耗部门 i 产品数量产品数量 xij 0 (i , j = 1, 2 , , n ) 也称为部门间的流量也称为部门间的流量.yi = 部门部门 i 的总产量的总产量 xi 扣除用于其他各部门扣除用于其他各部门(包包括本部门括本部门) 的生产消耗后的余量的生产消耗后的余量(用于社会积累和消用于社会积累和消费费) . yi 亦称部门亦称部门 i 的最终产出的最终产出 ( i = 1, 2 ,

5、 , n ) .zj = 部门部门 j 的新创价值的新创价值 ( j = 1, 2 , , n ) .它是它是新新创造价值创造价值表表表表 4.1 4.1 价值型投入产出表价值型投入产出表价值型投入产出表价值型投入产出表中间产出中间产出部门部门 部门部门 部门部门1 jn部门部门1部门部门2部门部门nx11x1j x1nx21x2j x2nxn1xnj xnn物物质质消消耗耗合计合计jjx1jjx2jnjx合计合计iix1iix2iinxiijjx报酬报酬纯收入纯收入合计合计总总投入投入jjVjjmjjzjjxV1Vj Vnm1mj mnz1zj znx1xj xn最最 终终 产产 出出积累积

6、累消费消费合计合计总产出总产出k1k2knW1W2Wny1y2ynx1x2xniiyiix产产出出部部门门间间流流量量投投 入入部门部门 j 的劳动报酬的劳动报酬 Vj (工资、奖金及其他劳动收入工资、奖金及其他劳动收入)与纯收入与纯收入 mj (税金、利润等税金、利润等) 的总和的总和.新新创造价值创造价值表表表表 4.1 4.1 价值型投入产出表价值型投入产出表价值型投入产出表价值型投入产出表中间产出中间产出部门部门 部门部门 部门部门1 jn部门部门1部门部门2部门部门nx11x1j x1nx21x2j x2nxn1xnj xnn物物质质消消耗耗合计合计jjx1jjx2jnjx合计合计i

7、ix1iix2iinxiijjx报酬报酬纯收入纯收入合计合计总总投入投入jjVjjmjjzjjxV1Vj Vnm1mj mnz1zj znx1xj xn最最 终终 产产 出出积累积累消费消费合计合计总产出总产出k1k2knW1W2Wny1y2ynx1x2xniiyiix产产出出部部门门间间流流量量投投 入入可以分为四个部分可以分为四个部分(象限象限)IIIIIIIV(其中第其中第IV部分在表中略部分在表中略) . 在第在第 I 象限中，第象限中，第 i 行表行表明部门明部门 i 作为生产部门，其产品在提供给其他各部门作为生产部门，其产品在提供给其他各部门的消耗数量；的消耗数量；第第 j 列表明

8、部门列表明部门 j 在生产过程中消耗其在生产过程中消耗其他部门产品的数量他部门产品的数量. 在第在第 II 象限中，第象限中，第 i 行表明部行表明部门门 i 的产出作为最终产品用于积累、消费等情况的产出作为最终产品用于积累、消费等情况.在第在第 III 象限中，第象限中，第 j 列表明部门列表明部门 j 的新创造价值的新创造价值;各行则反映了各部门新创造价值的构成各行则反映了各部门新创造价值的构成. 第第 IV 象限象限反映了非生产单位通过国民收入再分配所形成的收反映了非生产单位通过国民收入再分配所形成的收入，一般不编制表的这一部分入，一般不编制表的这一部分.新创造价值新创造价值中间产出中间

9、产出部门部门 部门部门 部门部门 1 j n部门部门1部门部门2部门部门n x11 x1j x1n x21 x2j x2n xn1 xnj xnn物物 质质 消消 耗耗合计合计jjx1jjx2jnjx合计合计iix1iix2iinxiijjx报酬报酬纯收入纯收入合计合计总投入总投入jjVjjmjjzjjxV1 Vj Vnm1 mj mnz1 zj znx1 xj xn最最 终终 产产 出出积累积累消费消费合计合计总产出总产出k1k2knW1W2Wny1y2ynx1x2xniiyiix产产出出部部门门间间流流量量投投 入入根据根据新新创造价值创造价值表表表表 4.1 4.1 价值型投入产出表价值

10、型投入产出表价值型投入产出表价值型投入产出表中间产出中间产出部门部门 部门部门 部门部门1 jn部门部门1部门部门2部门部门nx11x1j x1nx21x2j x2nxn1xnj xnn物物质质消消耗耗合计合计jjx1jjx2jnjx合计合计iix1iix2iinxiijjx报酬报酬纯收入纯收入合计合计总总投入投入jjVjjmjjzjjxV1Vj Vnm1mj mnz1zj znx1xj xn最最 终终 产产 出出积累积累消费消费合计合计总产出总产出k1k2knW1W2Wny1y2ynx1x2xniiyiix产产出出部部门门间间流流量量投投 入入的第的第 I、II 象限，可得平衡关系象限，可得

11、平衡关系式式)22. 4(, 2, 11niyxxinjiji(总产出总产出 = 中间产出中间产出 + 最终产品最终产品)根据根据新新创造价值创造价值表表表表 4.1 4.1 价值型投入产出表价值型投入产出表价值型投入产出表价值型投入产出表中间产出中间产出部门部门 部门部门 部门部门1 jn部门部门1部门部门2部门部门nx11x1j x1nx21x2j x2nxn1xnj xnn物物质质消消耗耗合计合计jjx1jjx2jnjx合计合计iix1iix2iinxiijjx报酬报酬纯收入纯收入合计合计总总投入投入jjVjjmjjzjjxV1Vj Vnm1mj mnz1zj znx1xj xn最最 终

12、终 产产 出出积累积累消费消费合计合计总产出总产出k1k2knW1W2Wny1y2ynx1x2xniiyiix产产出出部部门门间间流流量量投投 入入的第的第 I、III 象限，可得平衡关系象限，可得平衡关系式式)23. 4(, 2, 11njzxxjniijj(总投入总投入 = 物质消耗物质消耗 + 新创造价值新创造价值)一般，称一般，称 (4.22) 为产品分配平衡方程组，称为产品分配平衡方程组，称(4.23) 为产值构成平衡方程组为产值构成平衡方程组.由前述的假设条件由前述的假设条件 2，记，记)24. 4(), 2, 1,(njixxajijijaij 表示生产单位产品表示生产单位产品

13、j 所需直接消耗产品所需直接消耗产品 i 的数量的数量.一般称之为直接消耗系数，或技术系数一般称之为直接消耗系数，或技术系数. 由由 (4.24) 可可得得), 2, 1,(njixaxjijij把把jijijxax 代入代入injijiyxx1得得), 2, 1(1niyxaxijnjiji即即)25. 4(2211222221212112121111nnnnnnnnnnnyxaxaxaxyxaxaxaxyxaxaxaxnnnnnnnnnnnyxaxaxaxyxaxaxaxyxaxaxax2211222221212112121111记记nnnnnnnnyyyYxxxXaaaaaaaaaA21

14、21212222111211,则上述方程组可写成矩阵形式则上述方程组可写成矩阵形式 X = AX + Y，或，或( E A )X = Y (4.26)矩阵矩阵 A 称为直接消耗系数矩阵，称为直接消耗系数矩阵，X 称为总产出称为总产出向量，向量，Y 称为最终需求向量称为最终需求向量.把把jijijxax 代入代入得得jniijjzxx1), 2, 1(1njzxaxjiniijj即即)27. 4(2211222221122112211111nnnnnnnnnnnzxaxaxaxzxaxaxaxzxaxaxax记记T2111211),(,diagnniinniiniizzzZaaaD则则 (4.2

15、7) 可写成矩阵形式可写成矩阵形式X = DX + Z ，或，或( E D )X = Z (4.28)其中其中 Z 也称为新创价值向量也称为新创价值向量.方程组方程组 ( E A )X = Y 和和 ( E D )X = Z 称为称为 (静静态态) 投入产出分析的基本模型投入产出分析的基本模型. 利用这两个模型可以利用这两个模型可以进行更深入的经济分析：考虑以后各年该经济系统进行更深入的经济分析：考虑以后各年该经济系统的情况，如果某时期的直接消耗系数的情况，如果某时期的直接消耗系数 aij ( i , j = 1, 2, , n ) 保持不变，则在给定最终需求保持不变，则在给定最终需求 Y (

16、或新创价值或新创价值Z ) 时，就可以求出总产出时，就可以求出总产出 X，从而对将来的经济发，从而对将来的经济发展进行预测和分析展进行预测和分析. 为解决这一问题，需要研究直为解决这一问题，需要研究直接消耗矩阵接消耗矩阵 A 的性质；的性质； 这一结论可由这一结论可由 aij = xij / xj 0 ( i, j = 1, 2, , n )直接得到直接得到. . )21(11njaniij， 这一结论可以由这一结论可以由新新创造价值创造价值表表表表 4.1 4.1 价值型投入产出表价值型投入产出表价值型投入产出表价值型投入产出表中间产出中间产出部门部门 部门部门 部门部门1 jn部门部门1部

17、门部门2部门部门nx11x1j x1nx21x2j x2nxn1xnj xnn物物质质消消耗耗合计合计jjx1jjx2jnjx合计合计iix1iix2iinxiijjx报酬报酬纯收入纯收入合计合计总总投入投入jjVjjmjjzjjxV1Vj Vnm1mj mnz1zj znx1xj xn最最 终终 产产 出出积累积累消费消费合计合计总产出总产出k1k2knW1W2Wny1y2ynx1x2xniiyiix产产出出部部门门间间流流量量投投 入入的经济意义推出的经济意义推出. 事事实上，如果存在实上，如果存在 k (1 k n) ，有，有.11niika由由aik = xik / xk 0 ( i

18、= 1, 2, , n )，可得，可得.1kniikxx 这这表明，部门表明，部门 k 的总产出尚未超过该部门进行生产活的总产出尚未超过该部门进行生产活动的总消耗，这样的生产活动是无法进行的动的总消耗，这样的生产活动是无法进行的. 由此可由此可得性质得性质 2 成立成立.由性质由性质 1 和和 2，立刻可以得到，立刻可以得到), 2, 1,(10njiaij一般，我们可以证明一般，我们可以证明 ),., 2, 1(1|) 1 (1nianjij),., 2, 1(1|)2(1njaniij证明证明证明证明设设 为为 A 的任意一个特征值，的任意一个特征值，A 的属于的属于特征值特征值 的特征向

19、量为的特征向量为 = ( x1, x2, , xn)T 0，则则A = . 即即. ), 2, 1(1nixxainjjij记记,0|max1kjnjxx则则njkjkjkkxxaxx1|kjnjkjxxa1|njkja1|如果条件如果条件 (1) 成立，得成立，得.1|1njkja证明证明证明证明设设 为为 A 的任意一个特征值，的任意一个特征值，A 的属于的属于特征值特征值 的特征向量为的特征向量为 = ( x1, x2, , xn)T 0，则则A = . 即即. ), 2, 1(1nixxainjjij记记,0|max1kjnjxx则则njkjkjkkxxaxx1|kjnjkjxxa1|njkja1|如果条件如果条件 (1) 成立，得成立，得.1|1njkja显然，直接消耗矩阵显然，直接消耗矩阵 A 满足定理满足定理 4.17 的条件，的条件，所以所以 A 的所有特征值的模的所有特征值的模 | i | 0 ，并记，并记), 2, 1(njQzzjjj得得), 2, 1(1njzappjijniij如果设如果设,),(,),(T21T21nnzzzZpppp则上则上式可写成矩阵形式式可写成矩阵形式,TTTZApp或或)35. 4()(TTZAEp其中其中 p 称为价格向量，称为价格向量，Z称为新创价值向量称为新创