例说初中数学命题方法

1、例说初中数学命题方法引 言初中数学新课改已经开展十多年，新课改的成果很多，成效显著。但我们看到现阶段考试文化的传统很深厚，升学考试压力很大，短期内这种状况不会改变。2011年版义务教育课程标准（以下简称新课标）的颁布，标志着义务教育阶段的数学教育改革跨入到一个新阶段.我们清楚地认识到考试是素质评价最实在，最公平的一种方法，所以要研究考试的方向，怎样考，如何命题？ 教学的主体是学生，对学生数学学习的评价，是教学工作的重要环节，评价离不开测试.新课程要求对学生的评价，从单一的“考试”转向多元，将过程与结果相结合评价，定性和定量相结合评价.关注每一个学生，关注差异，用评价促进学生的发展和潜能的提高.

2、数学离不开解题，教学过程的开展和评价与数学问题有机相连.数学教师专业发展很重要的一个方面是解题和命题能力.大家都知道，很多第一线的专家最开始的几篇论文大都是谈解题的心得及由此变式开展命题研究. 所以，对数学教师来说，研究解题方法、命题方法是课改的需要，是教师专业发展的需要，是改进优化教学过程的需要，也是提高教育教学质量的需要一、命题原则命题包括三个方面：选编题、改编题、创编题.命题既有单个的试题，也有整体的试卷.（一）科学性试题：表述准确，取材恰当，用词规范妥当，无知识性、科学性错误.试卷：无差错和似是而非的问题，没有歧义.（二）基础性新课标中明确提出了四基：基本知识，基本技能，基本思想方法，

3、基本活动经验.四能：分析问题，解决问题，发现问题，提出问题的能力.新课程理念要求关注学生发展，恰当考查学生的“四基”.在新课程教学中，基础知识与基本技能是“四基”重要的组成部分，而且是其它基础的载体，扎实的“四基”是提高数学素养，发展创新能力与实践能力的基础，是学生发展的必要条件.命制题目要把考查学生的数学基础知识与基本技能放在首位.初中学段的四块内容，命题要全面涉及，难度适宜，着眼于基本要求，考查全体学生的基础，注重通性通法，淡化特殊技巧，杜绝人为编造的，繁难的计算题和证明题，减负增效，促进学生喜欢数学，体现数学科的育人价值（信心，素养）. 案例：在ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，

4、连接AF、CE(1)求证：BEC DFA；AEBCFD(2)连接AC，当CACB时，判断四边形AECF是什么特殊四边形？并证明你的结论评析：此题简洁、明快、美观，难易适中，较好地考查了考生对图形的观察与直观把握能力、对特殊三角形和特殊四边形的理解及基本的推理证明能力.这种基础性的几何题，体现了课标对考生逻辑推理能力的基本要求，难度系数0.75（三）发展性 数学命题应突出体现它的发展性.培养学生运用知识举一反三、触类旁通的能力，用数学思想方法分析问题、解决问题是命题时要充分考虑的因素案例：（1）求k的取值范围；（2）若 ，求k的值评析：此题考查学生一元二次方程的综合知识和分类讨论的思想方法.难度

5、系数0.46（四）应用性 数学来源于社会生活实际，又应用于指导实践活动.能用数学的眼光认识世界，并用数学知识和数学方法处理周围的问题，是每个人应具备的基本素养.为加强考查学生运用数学知识分析、解决简单实际问题的能力，命题时要从生活实际中挖掘用初中数学知识能解决的生活生产问题。如个人所得税问题，节水节电问题，低碳生活，优化问题等富有一定的实用性和挑战性，时代气息与教育价值较强的内容，这种做法有利于引导学生关注生活中的数学，关注身边的数学，培养他们从实际问题中形成抽象数学模型的能力，促进学生形成学数学、用数学、做数学的意识. 在升学考试中，与生活生产相了解的题目在68题为好案例：X市与W市之间的城

6、际铁路正在紧张有序地建设中在建成通车前，进行了社会需求调查，得到一列火车一天往返次数m与该列车每次拖挂车厢节数n的部分数据如下：车厢节数n4710往返次数m16104（1）请你根据上表数据，在三个函数模型： 为常数，； （k为常数， ko ）； 为常数，ao ）中，选取一个合适的函数模型，求出m关于n的函数关系式是m = （不写n的范围）；（2）结合你求出的函数，探究一列火车每次挂多少节车厢，一天往返多少次时，一天的设计运营人数Q最多（每节车厢载客量设定为常数p）评析：一次函数、二次函数应用问题；求二次函数的最大值，表示生活中的最大效益难度039（五）人文性 数学命题要有亲和力，要体现“依标（

7、标准）用本”，试题尽量源于课本，有利于使学生摆脱题海，减轻过重的学业负担.试卷要体现以学生为本的人文精神，从而使全体考生能充分发挥自己应有的水平，也使试卷能更好了解、鉴别考生的不同能力.如个别题目加注提示语，关键字眼加注着重号，以减少考生出现非知识性的错误.命制的试题要有梯度，使更多的学生通过努力，能达到合格的水平，更好地体现了“人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展”的理念. 试题内容要健康积极，有数学味，有探究意义，有激励作用. 案例：如图，AB是的直径，AM,BN 分别切O于点A,B，CD 交AM,BN于点D,C,DO平分ADC（1）求证：CD是的切线

8、；（2）若AD=4，BC=9，求O的半径评析：此题直接取材于课本的习题，解法多，变式多，学生容易解答.难度系数0.55.命题过程中的其它注意事项：1 试题不超标，要围绕“四基”进行命题； 2 试题要尽可能用合适的情景对学生进行思想品德教育,情感态度价值观的渗透 ； 3 提问的方式，设置的任务情境新颖，形式多样化，既有重点，又注意知识的覆盖面； 4 命题的条件与结论要匹配，不能违背数学概念和原理； 5 应有多种解法，提倡通性通法； 6 题干表述要清楚，简单扼要，图形规范，含义明确，用词准确； 7 难易适当，要有良好的区分度； 8 评分标准公平、合理. (六) 命题过程中的其它注意事项：特别是大型

9、的升学考试，命题时要注意充分体现：1、指导性原则导向作用，改进，转变，减负增效，促进2、适标性原则立足教材，学生实际，关注最基础、最核心的内容3、开放性原则：结论，解法和途径4、公平性原则5、有效性原则二、命题时常用的技术指标 一般，初中阶段测试包含三大类，水平测试（也叫过程性评价），选拔性考试（即中、高考等）和能力测试. 选拔性考试的实质是“选拔”，是“区分”；而过程性评价的关键在于“诊断”，重在发现，促进. 水平测试主要是指：阶段性（或单元或周或课堂）测试，以及学期（或学年）测试.能力测试指数学素养测试，重在分析，推断，交流 下面介绍有关命题中常用的几个技术指标： 1 效度 效度是指试卷对

10、于一定的考试目的来说准确性和有效性的程度，测量是否达到预期目的.也就是命题与教学目的和内容相适应，所得分数应能真实地反映被试者水平效度高的试卷不仅测出学生掌握知识技能的数量，而且测出学生掌握知识技能的思路和方法.试卷的效度要落实在命题上，命题时必须重点关注命题整体难度、命题范围的广度和学生解题的速度等. 案例：问题情境 勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行了证明著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言 定理表述 请你根据图1中的直角三角形叙述勾股定理（用文字及符号语言

11、叙述）； 图1 图2 尝试证明 以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a 、b 为底，以 a+b 为高的直角梯形（如图2）请你利用图2，验证勾股定理； 知识拓展 利用图2中的直角梯形，我们可以证明 。其证明步骤如下： BC =a+b ， AD= 又 在直角梯形ABCD中有 BC AD （填大小关系），即 2. 信度 信度是指试卷可靠性程度，是测量结果之间的一致程度.考试应力求反映出考生的稳定水平，即优者获高分，劣者得低分，尽量减少随机影响.为提高信度，首先应做到命题中所涉及到的问题，在作答要求，答案位置，作答时限上明确无误；其次，教师对被测试的全体学生的总体水平，应预作较准确的估计，力求命题

12、内容适应学生的总体水平. 案例： 四个全等的直角三角形围成 一个大正方形，中间空出的部分是 一个小正方形，这样就组成了一个 “赵爽弦图”如果小正方形面积为 1，大正方形面积为 25，直角三角形中较小的锐角为，那么 评析：本题背景取材源于经典图形，考查综合利用全等三角形性质和勾股定理的知识解直角三角形，具有较好的信度这个问题有多种解法和变式. 难度系数0.42.信度的把握可使教师对学生的学业评价更趋客观、准确，也使学生对自己学业的认识更为符合实际情况，这有助于教师改进教学方法，学生改进学习方法. 信度是实测值与真值相差的程度. 信度的计算有一些具体办法，这里不做介绍. 效度高，信度也必然高； 信

13、度高，效度未必高； 信度低，效度可能低； 信度是效度的必要条件. 3、“一分两率” “一分两率”指的是：平均分、及格率、优秀率. 一般来说，对于不同的测试，“一分两率”的要求是不同的，首先“一分两率”的制定要有科学性，其次一旦制定好了这个标准，命题的编制就要使得测试成绩指标在这个范围内浮动，使学生既能考出真实水平，又能有很好的区分度. 4.难度难度是指测试题目的难易程度，可用比值系数P表示：客观题 R表示答对试题的考生人数，N表示考生总人数 主观题 , 表示所有考生在这题上的平均分，K表示这道题的满分 试题的难度是和科学性同样重要的指标，难度不达到设计要求，相当于试题不符合学生实际. 试题按其

14、难度分为容易题、中等题和难题.难度在0.7以上的题为容易题，难度在 0.4 0.7之间的题为中等题，难度在0.4以下的题为难题，容易题、中档题、较难题的比例为532.一般的，初中升学考试数学试卷的难度系数为0.60左右，校内期中期末考试0.75左右，单元考试0.8左右，随堂考试0.85左右比较合适.5、区分度 测试对考生实际水平的区分程度，通俗的讲，高水平得高分，低水平得低分的情况，它是评价试题试卷质量的依据，难度在0.50.55时区分度达最大值.三、试题类型及基本的命题方法 一般老师更多的是要对学生进行水平测试（过程性评价），所以我们主要针对水平测试，来研究命题的编制，以及在命题过程中的注意

15、事项. 水平测试有一个共同的目的，就是为教学诊断提供依据，以导向、激励为发展性功能，即使学生找到自身不足，给学生一份自信（发现不足，考出自信）；又使教师掌握教学中的存在问题，及时调整和改进教学，及时矫正.“一切为了学生，一切为了学生的发展”. （一）试题类型： 试题一般分为三大类：选择题、填空题、解答题. 解答题一般包括：计算题、证明题和作图题等. 现在中考新题型中，还有探究题、动点问题、动手操作题、阅读理解题等等，老师在平常的教学中，应注意这方面的训练. （二）命题时的操作方法 1. 研究、学习课标、教材和学生； 2. 编写命题的计划： 各种题型的数量及分数的分配； 内容的题量及分数分配；能

16、力考察的重点及各能力层次的分配；整体难度及各类试题难度的比例. 3. 确定单个试题，汇总为整套试卷； 4. 编制命题的同时，写出命题的答案； 5. 对编出的试题要认真审核和修改. 案例：近几年X市加大中职教育投入力度，取得了良好的社会效果.某校随机调查了九年级名学生的升学意向，并根据调查结果绘制出如下两幅不完整的统计图. 请你根据图中信息解答下列问题： （1） =_； （2）扇形统计图中“职高”对应的扇形的圆心角 _； （3）请补全条形统计图； （4）若该校九年级有学生900人，估计该校共有多少名毕业生的升学意向是职高？（二）命题时的操作方法 5. 制定出评分标准； 6. 备选试题 等（三）三

17、种命题类型分析 （）选择题 选择题的构成及适用范围： 1. 选择题的构成： 选择题由题干和多个（备用）选择项组成，一般备有 4 个选项，这些信息或多或少具有“提示”与“干扰”的双重作用.2. 选择题的优缺点： 选择题有两个较为突出的优点：一是题目小，题型灵活，解法巧，速度快；二是评分简单，客观准确，节省评分时间，方便计算机进行阅卷. 但是它也有缺点：一是命题较为复杂，有较高的命题技巧和较长的命题时间；二是难以考查学生组织材料的能力和文字表达能力，更难以考查发散思维能力.另外，学生还有可能靠猜题得分. 3. 选择题型的适用范围： 适合考查概念的理解、性质的运用、公式的变形、数值的计算、思维的切换

18、等，一般采用单选择题. 案例： 若关于x的一元一次不等式组 无解，则a的取值范围是 A.a1 B.a 1C.a-1D. a -14.选择题的方式辨析最优图表阅读归类承接排序填空 等命制选择题时应该注意的事项： 1. 题干中，要用精练、明确的语言把题设（已知条件）和问题陈述清楚； 2. 选择项的表述必须明确清楚，它与题干连接在一起，读起来应当顺畅，并且应当成为一个完整的语句，或者是一个完整的命题. 案例：班主任王老师将6份奖品分别放在6个完全相同的不透明礼盒中，准备将它们奖给小英等6位获“爱集体标兵”称号的同学这些奖品中3份是学习文具，2份是科普读物，1份是科技馆通票小英同学从中随机取一份奖品，

19、恰好取到科普读物的概率是 A.B. C. D以上都不对 评析：选项“以上都不对”，明显的与题干连接在一起时，读起来不顺畅，不能构成一个完整的命题. 命制选择题时应该注意的事项： 3. 几个选择项之间，通常应当具有同类性（即类型相同）、相近性（即形式相近）和匀称性（即容量彼此相称）.正确的选择项多一点隐蔽的色彩，而错误的选择项尽量多一些迷惑的因素，要针对学生的弱点和可能失误的情形设置起干扰作用的选择项； 案例：均匀地向如图所示的一个容器注水，最后把容器注满在注水过程中，能大致反映水面高度h随时间t变化的图像是 4. 题设与结论之间的关联词、提问的指导语，既要合乎逻辑，又要无歧义，而且一般情况下应

20、放在题干中. 案例： 观察下列几何体，主视图、左视图和俯视图都是矩形的是（ ） 案例：如图，在菱形ABCD 中， ，E，F 分别是AB，AD 的中点，DE,BF 相交于点G，连接BD,CG有下列结论： ； ； BDF CGB ； 其中正确的结论有( ) A1个 B2个C3个 D4个 评析：此题属于多结论选择题，题干中四个结论的判断结果是相互独立的，因此学生选择的结果会出现多种情况，如果是日常教学过程中的测试，可能会影响该题的考查效度.因为这道题很容易出现答案正确而过程错误的现象，但是在期中、期末考试，或是升学考试中，从考查学生综合运用知识能力的角度看，是一道很好的选择题.难度系数0.67. （

21、 ）填空题 填空题的形式及适用范围： 1. 填空题的一般形式是给出若干个条件，要求推断出一个结论，或者计算出一个结果.也有的是给一个命题要求补充条件或结论，使之成为正确的、完整的命题.填空题的特点是只考查结果而不考查获得结果的过程. 填空题型的适用范围：较简单的推理运算问题；容易由概念、性质或图形 做出判断而严格地演绎出结果却是很难或冗繁的问题；貌似计算，实则运用概念或 性质容易揭示出其中某些数量关系的问题. 案例： 如图， ABC 中， AD BC ， CE AB ，垂足分别为 D 、 E ， AD 、 CE 交于点 H ，请你添加一个适当的条件： _, 使 AEH CEB . 评析：这是一

22、个条件开放试题，也是一道很好地考查学生掌握基础的情况.在 AEH 和 CEB 中，由已知条件可以推出： CEB AEH 90 ，经简单的推导可得： B AHE . 难度系数0.65. 案例：二次函数是常数，图象的对称轴是直线，其图象的一部分如图所示对于下列说法： ； ； ； 当 时， 其中正确的是 (把正确说法的序号都填上)（ ）填空题 填空题的进一步发展，出现了填写答案不唯一，或更具开放性的填空题.这类问题具有较好的辨析性、探索性或开放性，以及创新意义，是对传统填空题的继承和发展. 考试的开放性体现在两个方面，一是考试方式；二是考试试题内容.考试方式的改革已有很多做法，如，将长周期作业、研究

23、性学习课题纳入到考试范畴和记分，这些无疑是很有价值的. 命制填空题时应该注意的事项： 填空题命题的关键是材料的取舍和空位的设置，以及陈述方式的处理. 1. 取材科学合理； 2. 中心突出、鲜明； 3. 设问明确，指导语贴切，不会产生歧义，不会引发误解； 4. 表述简洁、精炼，规范. （ ）解答题 解答题的特点及形式： 1. 解答题的特点： 解答题是要求完整地写出解题过程的题目.它的特点是容量较大，能直接考查多个知识点，以及综合考查多种数学思想、方法和数学能力. 2. 解答题的形式及编制方法： 在一个大前提（已知条件）下，提出若干问题，要求学生解答，这是数学解答题的常见呈现方式.从一个基本数学事

24、实出发，研究其变形、深入、拓展延伸，形成一系列的题组，从中选取合适的题目，是编制解答题的主要方法.对于作为学业考题的解答题，一般应该具有较大的可塑性和伸缩性. 2. 解答题的形式及编制方法： 在一个大前提（已知条件）下，提出若干问题，要求学生解答，这是数学解答题的常见呈现方式.从一个基本数学事实出发，研究其变形、深入、拓展延伸，形成一系列的题组，从中选取合适的题目，是编制解答题的主要方法.对于作为学业考题的解答题，一般应该具有较大的可塑性和伸缩性. 从表现形式来看，解答题大体可分成两大类： 第一类：所提的若干问是并列的，彼此独立，互不关联； 案例：如图，在ABCD中，对角线AC、BD相交于点O

25、，EF过点O，与AD交于点E，与BC交于点F，AFEODCB （1）求证：OE=OF （2）用尺规过C，D，O三点作圆（保留作图痕迹，不要求写作法） 第二类：所提的若干问是递进的，彼此间存在层次上的了解，后一问的解答，依赖于前一问的结果. 案例：如图，正方形ABCD中，AB6，点E在边CD上，且CD3DE.将ADE沿AE翻折至AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF.ABCDEFG (1)求证：ABG AFG； (2)求证：BGGC； (3)求CFG的面积.ABCDEFG解答题编制的注意事项： 1.角度、跨度、广度和难度； 2.答案不一定唯一，但问题设置准确； 3.知识结构； 4.设置问

26、题情景；5.表述规范，严谨，简洁影响解答题难度的基本因素（一） 提问方式： 提问方式直接影响着命题的难易.例如，把证明题改为探索题一般能提高难度；增加题目中间设问，把单问变成分步设问一般能降低难度；同时提问方式要形式多样、新颖. （一） 提问方式：案例：如图，等边ABC内接于O， P是弧AB上任一点(点P不与点A、B重合)，连AP、BP，过点C 作CMBP交PA的延长线于点M.（1）填空: APC =_度, BPC =_度；（2）求证: ACM BCP；（3）若PA =1，PB =2， 求梯形PBCM 的面积评析：此题综合考察了等边三角形、全等三角形、圆周角的性质、数形结合思想、转化的数学思想

27、等等.难度系数0.52.（二） 题设条件例如，适当增减条件，变“隐”条件为“显”条件，改间接条件为直接条件，强化，弱化结论，解法指向等等，均可以使题目的难度发生变化； （三） 综合程度题目涉及的具体知识点、数学思想、数学方法的多少也影响题目的难度. 案例：如图,点P是正方形ABCD边AB上一点(不与点A,B重合),连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转得到线段PE,PE交边BC于点F,连接BE,DF.EBACDPF（1）求证:ADP EPB；（2）求CBE的度数；（3）当的值等于多少时,PFD BFP？并说明理由.赏析：此题是教材习题的变式，具有很好的开放性和综合性.四.日常教学中选题的四个

28、层次新课改的基本理念是“人人学有价值的数学，人人能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展.”我们的做法是在日常教学中选题分层来进行.第一层：从教材上选择适量的基础题和少量的中档题，面向全体.注意速度，规范和一题多解.第二层：选择易错的题，强化核心知识点和主要方法.侧重概念，原理，公式的理解和运用.第三层：选择有关联的题组使学生能感悟其中的解题规律和基本方法.增加学生基本的活动经验.案例：第四层：通过对教材上习题，传统题目进行变式.引导学生在探究问题中领会数学思想方法，提高解题能力.案例：如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：（1）用签

29、字笔画ADBC（D为格点），连接CD；（2）线段CD的长为_；（3）请你在ACD的三个内角中 任选一个锐角，若你所选的 锐角是_，则它所对 应的正弦函数值是_；（4）若E为BC中点，则tanCAE的值是_；（5）在图中找出所有格点P，使ACP为等腰. 还有一系列的问题，正方形网格还可以是其它类型的网格五、试题改编（一）常用方法1、基础知识改换情景案例1.陈述方式改变， 如图，在ABC 中，AB=AC， ，BD平分 交AC于点D，若AC=2，则AD的长是 A B C D案例2.由静变动如图1，矩形MNPQ中，点E，F，G，H分别在NP，PQ，QM，MN上，若 ， 则称四边形EFGH为矩形MNPQ

30、的反射四边形图2，图3，图4中，四边形ABCD为矩形，且AB =4，BC =8MNPQGHEF1234图1ABCDEF图2理解与作图：（1）在图2，图3中，点E，F分别在BC，CD边上，试利用正方形网格在图上作出矩形ABCD的反射四边形EFGHABCDEF计算与猜想：（2）求图2，图3中求反射四边形EFGH 的周长，并猜想矩形ABCD的反射四边形的周长是否为定值？启发与证明：ABCDGHEF1234M图4（3）如图4，为了证明上述猜想，小华同学尝试延长GF交BC的延长线于M，试利用小华同学给我们的启发证明（2）中的猜想 赏析：常见的动态问题点动，线动，图形动；方法迁移，类比（多题一法）；条件增

31、减，结论加强；数与代数中的变化规律等等.2、将三种题型改换形式 案例1：已知正方形ABCD，以CD为边作等边CDE，则AED的度数是 案例 2：由封闭改为开放，探究（1）如图，在正方形ABCD中，AEF的顶点E，F分别在BC，CD上，高AG与正方形的边长相等，求的度数ABCFDEG（图） ADBMNH（图）（2）如图，在RtABD中，BAD直角，AB=AD，点M，N是BD边上的任意两点，且MAN=45，将ABM绕点A逆时针旋转至ADH位置，连接，试判断MN，ND，HD之间的数量关系，并说明理由 （3）在图中，连接BD分别交AE，AF于点M，N，若EG=4，GF=6，BM=32，求AG，MN的长

32、ABCFDEG（图）3、组合串联案例：如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数 的图象与一次函数 的图象的交点为 . （1）求一次函数的解析式；（2）设一次函数 的图象 与y轴交于点B，若P 是x轴上一点， 且满足PAB 的面积是4，直接写出 点P的坐标4、能力立意案例：（1）对数轴上的点进行如下操作：先把点表示的数乘以，再把所得数对应的点向右平移1个单位，得到点的对应点.点在数轴上，对线段上的每个点进行上述操作后得到线段，其中点的对应点分别为如图1，若点表示的数是-3，则点表示的数是 ；若点表示的数是2，则点表示的数是 ；已知线段上的点经过上述操作后得到的对应点与点重合，则点表示的数是 ；（2

33、）如图2，在平面直角坐标系xOy中，对正方形ABCD及其内部的每个点进行如下操作：把每 个点的横、纵坐标都乘以同一种实数a，将得到的点先向右平移m个单位，再向上平移n个单位（ ），得到正方形 及其内部的点，其中点A, B的对应点分别为 .已知正方形ABCD内部的一个点F 经过上述操作后得到的对应点 与点F 重合，求点F 的坐标.（二）改编的依据1、教材，教学参考书，杂志等；2、历年中考试题；3、传统的好题；4、竞赛题和国外的测试题.（三）怎样立足课本，编创基本题在日常教学和考试中，立足教材，编制试题是教师的基本功，每个教师大有作为.案例1：用“o”摆出如图所示的图案，若按照同样的方式构造图案，则第10个图案需要 个“o”评析：这个题目来自课本的三角形点阵.案例2：如图,一艘船向正北航行，在处看到灯塔在船的北偏东30的方向上,航行12海里到达点,在处看到灯塔在船的北偏东60的方向上.此船继续沿正北方向航行过程中距灯塔的最近距离是海里.(不作近似计算)教材九(下)91页练习1：海中有一个小岛,它的周围8海里内有暗礁,渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点测得小岛在北偏东60方向上,航行12海里到达点,这时测得小岛在北偏东30方向上,如果渔船不改变航线继续航行，有没有触礁的危险?评析：变换航行方向,并将实际中的触礁