三角形地五心向量结论证明

1、实用标准文档三角形的五心向量结论证明1 .。是 APP2P3 的重心 u 0耳+0F2+0F3 =0(其中 a,b,c 是 APP2P3 三边)文案大全证明：充分性：or+0P2+0旦=。=0是app2P3的重心若0P,+0B+0P'=0 ,则OP+OP = Op,以OR , 0P2为邻边作平行四边形 ，一、 一 一一 OP1P3' P2，设。"与PP2交于点P3,则F3为PP2的中点，有0Pl +OP2=OP3,得0P3 = 0P3 ,即0,P3, E,P四点共线，故P3P为APP2P3的中线，同理，P0,P2。亦为Pp2旦的中线，所以，。为的重心。2 .在 A A

2、BC中给1AD AB AC , 2等于已知AD是ABC中 BC边的中线；* 4ABC中AB+AC一定过BC的中点，通过 ABC的重心1 AP =(AB AC),1BP (BA BC),3!. 3. _= P为U ABC的重心*rTiYPG =-(PA +PB +PC) U G为4ABC的重心(P是平面上任意点).9. .证明 PG =PA AG =PB BG = PC CG = 3PG =(AG BG CG) (PA PB PC)-G?芝式LtG+BG+CG=0,即 3PG=PA + PB+PC-1 1 -r r.由此可得PG =-（PA +PB +PC）.（反之亦然（证略） 3C _ O _

3、 c _1cS . BOC - S AOC - S. AOBS.ABC*若。是MBC的重心，则3APBC =02.4_ T n P为ABC的垂心 bpLac =0点O是ARP2P3的垂心u 滞旗:港版;廉 O证明：O是ARP2P3的垂心u OF3_LRP2,=0= OP3 （OP2OR） =0u OP3 OP2 = OP3 QB同理 OR _L P2P3 u OP3 OR =OR OB故当且仅当 OP OP，=OF2 OF? =OR3 OP .* O是ABO在平面内一点OA+ BeT T T T=OC + BA = OB + AC则O是ABC勺垂心证明：由。屋得冰（丽-两仁方+（阮-京所以OB

4、 OC = OC OA o 同理可证 CA OB = OB CC o 容易得到 OA- 0B= OB，0C= OC- OA 由以上结论知。为乙ABC的垂心。AB AC设九u （0,+ ）,则向重 九（尸二j十）必垂直于边 BC 该向量必通过 ABC|ab|cosB AC cosC的垂心TAP| AB|cosB | AC |cosC| AB | cosB | AC |cosC|BC | LAB c°s（二一 B）. I BCjlAC I cosC _| AB|cosB| AC | cosC- | BC | | BC |= 0BT _（JC-）| AB | cos B | AC | co

5、s C*若H是4ABC俳直角三角形）的垂心、则S>A BH（C S AH（C S/AHB=tanA: tanB: tanC故 tanA Ha+tanB hb +tanC hc =03.点O是*P2 p的外心u证明：0是 ABC勺外心、u |OPop2=op3'.oA |=| OB i=i oC |(或 oA2=ob2=oc2）（点O到三边距离相等）T -I -I -I I -I I T -i仁(OA + OB ) - AB=(OB+OC) - BC=(OC+OA) - CA =0( O 为三边垂直平分线的交 点)*若点O为 ABC所在的平面内一点，满足（。乩+ 口6）上启=（OB

6、 + OC）-CB =（OC +0A） AC则点O为ABC的外心。证明：因为贰工位-国，所以画+函-曲=1而1一而同理得（而+&）.闻=|而"阿巴西+双一交=|五|二|国,由题意得|0A |2 -|0B P=|OB |2 -|0C |2HOC|2 -| 0A|2所以I市F=i而V=la| OA |=| OB |=| OC | o 故点 O为ABC的外心*D、E两点分别是ABC的边BC、CA上的中点，且P为 ABC的外心若O是ABC勺外心，则 & boC Sa aoC SkAoB=sin / BOC sin Z AOC sin Z AOB=sin / 2A: sin /

7、 2B: sin / 2C 故 sin / 2A OA +sin / 2B OB +sin / 2C OC =0证明：设O点在AABC内部，由向量基本定理，有 .mOA+nOB+rOC=0(m,n” R十),则 S0c : S&0A : SAOB = m: n : r 设:mOA=OD,nOB =OE,rOC =0F ,则点 0 为 DEF勺重心， 又=.SBOC. BOC : S.COA : SAOB = m : n : r在OF，nrSAoc =S8OF ,mrS&OB =SDOE，mn若。是 ABC勺外心，则 S>A BOC S»A AOC： S AO=s

8、in / BOC sin / AOC sin /AO=sin /2A: sin /2B: sin /2C故sin / 2AOA +sin / 2B OB +sin /2C OC =0（其中a,b,c是ARP2P3三边） H , 一 U4. O是 ARP2P3 的内心= aOp +bOP2 +c OP3 =0。PibP产图2证明：充分性：aOP +bOP2 +c OP3 =0= O是&PP2Pl的内心 a OR' + b OP2+C OP3=a OR+b (OR + PP2)+c (OR + 叫)PP3分别是PP2 , PP3方向上的单位向量,(a +b +c) OP +b PP

9、2 +c EP3 =0汇,K bc ,前21PP3、*RB所以 po =(， +),而a b c c bcPPc PPoTr所以向量+q_平分/P2Plp3,即P1O平分NP2PR,同理P2O平分/PF2P3,得到点 c bO是&PP2P3的内心。* O为AABC的内心uaOA bOB cOC = 0.内心（角平分线交点）证明：v AB、处分别为A百AC方向上的单位向量,AO = (bAB AC一qAB AC 一十平分/BAC, c bBC BA、同理：BO =u( ')AB =AO OB =(-cAB生u界哈十(一)u漏-(U-花 b a c c a ca b1 1-( )u

10、 =1 c a cu '.0a b得u = a九代入上+(1+ 1)u = 1解得k = -bc一 , b c a ca b cbc / ab ACAO =(十 )a b c c b化简得(a +b + c)OA+bAB +cAC =0,.aOA bOB cOC = 0一 ab设）,则向量MiAB ABAC、一 一.十尸=p必平分/ BAC该向量必'通过 ABC的内心;设九w（0,g ）,则向量九（空abAC、-k必平分/ bac的邻补角ACACAP =,t 0TAC、 n),0nP为L ABC的内心*O是4 ABC的内心充要条件是-f. -AB AC-BA BC -， CAC

11、BOA *(i - i ) =OB *( I - ) =OC *( - ) =0| AB | | AC |BA| |BC|CA| |CB|*若O是ABC勺内心，则 Sz boc： Sz aoc S/ AO=a： b: c故 a oa +b ob+c oc =0 或 sinA oa +sinB ob +sinC oc=o±*设0为ABC所在平面内任意一点，I为 ABC的内心,一aOA bOB cOCayA+ by b+ cy ca+b+c* OI 二,aXA+ bXB+ cXc内心 I( a+b+c证明：由I是MBC的内心=aIA+bIB+cCa,b,c是 aABG边）（见内心的充要条

12、件的证明）OT 二/ OB T=OC CTT T T T T Ta b c OI = a OA AI b OB BIc OC CI= aOA bOB cOC aAI bBI cCI)=aOA bOB cOC一aOA bOB cOCOI 二a b caX+ bX B+ cX cayA+ by b+ cy cI ( , 、 a+b+ca+b+cO是 ARP2P3 的内心 u aOp +bOp，+c OR =0。(其中 a,b,c是 ARP2P3 三边)5.若。为三角形的旁心，则 a OA =bOB +cOC （abc是三边）证明：苏二&属+£而是。为/A旁心的充要条件.充分性：=

13、 无牛筋灰=无碇代&方=冢气灰,得 15=加而十丽什g 十庆与苏共线，故可设 ：,即出t+或55十&丽十c比冷丫方与线号朝沅不共线,一 一 一 |西广：.却H成T=o.占3存匕白。=。=>=一一冼乙赛）内角平分线 口 q s同理可证.比,3是NB/C的外角平分线，谣知C的/廨J旁心 必耍性：的乙歉旁心，III作且GN 口正交8延长线于Gd月1 OC交8延长线于乂 四边形。的凡是平行四边形，.a=%十丽因一函一函一葩一|oc| 陷 |oc| p,=.驾标眼旗上疣+2 ,瓯以扇m排方长疣.国 丽 s &* 已知 O 为 ABC的外心,求证：OAsin BOC + Ob

14、 sin AOC +OCsin AOB =1分析 构造坐标系证明.如图3,以 A为坐标 原点，B在x轴的正半轴，C在x轴的上 、1万. Saaob = X2yo ,直线BC的 万程是 2y3/（x- X y 2*翱由于点A与点O必在直线BC的同侧,且-X2y3 <0 ,因此有X0 y3-X3yo1，、X2 yo Ox2 何 Sa BOC = (X3yo +X2 y3 -Xoy3-X2yo) -2直线AC的方程是y3X -X3y =O ,由于点（1,O）与点O必在直线AC的同侧，且1,、y3 M1 X3 M0 >0 ,因此有 丫3 X3y0 A0 ,得 SzxAOC =/风丫3 X3

15、%) .于是，容易验证，OAxSaboc+OBmSzXaoc+OCmS.aob=0, BOCAOCAOB又. B O CS.C O ASA O B m : n : r证明：已知 0 点在 AABC 内部，且 mOA+nOB+rOC = 0(m,n,rw r+)设：mOA=OD,nOB=OE,rOC=OF ,则点 0 为DEF的重心,又 S曲OCS占OF，SAoCSmOF，S&OBS而OE，nrmrmnS.BOC : S COA : SAOB = m： n : r说明：此结论说明当点 0在AABC内部时，点0把AABC所分成的三个小三角形的面 积之比等于从此点出发分别指向与三个小三角形相

16、对应的顶点的三个向量所组成的线性关 系式前面的系数之比。T T 彳 应用举例：设点0在AABC内部，且40A+0B+0C =0,则AABC的面积与A0BC的面积之比是：A . 2: 1 B , 3: 1 C . 4: 3 D . 3: 2A BOC -万 |OB|OcIsinBOC ,SA BOa =|0B|OA|sinAOBSaaoc =1|OA|OC|sinAOC ,又 |OArOB|=|OC |,则所证成立.与三角形“四心”相关的向量结论随着新课程对平面几何推理与证明的引入，三角形的相关问题在高考中的比重有所增加。平面向量作为平面几何的解题工具之一，与三角形的结合就显得尤为自然，因此对三

17、角形的相关性质的向量形式进行探讨，就显得很有必要。本文通过对一道高考模拟题的思考和探究，得到了与三角形“四心”相关的向量结论。希望在得出结论的同时， 能引起一些启示。问题：设点0在AABC内部，且有 0A +30B +0C = 0 ,则ABOC与AAOC的面积的比值是 S° ACD .31分析：OA+3OB+Oc=0 设 30B = 0D ,则 0A+0D+0C=0,则点0为AADC的重心. S0c = S#0A一S BOC ： S COA c 1c 1c而 S 而oc =SAod =；Soc，33探究：实际上，可以将上述结论加以推广,即可得此题的本源。结论： 设0点在AABC内部若

18、 m0A+nOB+rOC=0m,n,r w r+),则分析：由上述结论易得：S猷C : S由OA : Saob =4:1:1 ,所以S西bc ：Sobc =6：4=3:2 ,故选D当把这些点特定为三角形的“四心”时，我们就能得到有关三角形“四心”的一组统一的向量形式。引申：设O点在&ABC内部，且角 A, B,C所对应的边分别为 a,b,c结论1：若O为AABC重心，则oA+oB+oC=0分析：重心在三角形的内部，且重心把AABC的面积三等分.结论 2 : O 为 AABC 内心，则 aOA+bOB+cOC=0分析：内心在三角形的内部，且易证Saboic SacoA S»aA

19、OB=a : b : c结论 3： O 为 AABC 的外心，则 sin 2AOA +sin 2BOB +sin 2COC =0分析：易证Saboc： S/x coA SAAo=sin2A : sin2B : sin2C.由结论3及结论：O为AABC的外心，H为AABC的垂心，则OH =OA OB OC可得结论4。结论4：若H为AABC垂心，则sin2B sin 2c sin 2A HAsin2A sin2Csin2B HBsin2A sin2Bsin2c HC =0即 sin AcosB cosC HA sin Bcos AcosC HB sin C cos Acos BHC =0证明：二.

20、对任意AABC有OH =OA+OB +OC ,其中O为外心，H为垂心, . ha = -6B +oc), HB = -(OA+OC)HC =OB+OA)则由平面向量基本定理得：存在唯一的一组不全为0的实数x, y,z,使得 xHA+yHB +zHC =0,即(y+z OA + (z + x OB+(x+y OC =0 , 由 结 论 3 得：s 2iAOA s 2iBOB s 2COC =0y z = sin 2A工x =sin 2B sin 2C-sin 2 A所以有：z+x = sin2B ,' y =sin2C+sin 2A-sin 2B、x+y=sin2c/ =sin 2A+s

21、in 2Bsin 2csin2B sin2Csin2AHA sin2A sin2Csin2BHB sin2A sin2Bsin2C HC = 0化简后可得：sin AcosBcosCHA sin BcosAcosCHB sin C cos Acos BHC = 0应用举例:例1：已知O为AABC的内心，且2OA+3OB+4OC =0 ,则角A的余弦值为 sin AcosBcosCHA sin BcosAcosCHB sinCcosAcosBHC = 0.分析：由结论2可得a:b:c = 2:3:4,所以由余弦定理可得:cos A16 9-4例2：已知AABC的三边长为AB=1,BC=J6,CA

22、 = 2,设AABC的外心为O ,若AO =sAB +tBC ,求实数s,t的值。分析：AO = s（AO+OB）+t（BO+OC）,整理后即得：oA = -s-oB +oC .s -1 s - 1s-t _ sin 2B由结论3可得：厂一1 sin 2A ，又易得 t _ sin 2cl.s-1sin 2Asin 2A =-15,sin2B =-15,sin 2C843.15167 x 3 . s = -, t =一55点评：此题的通用解法应该是构造与基底相关的如下方程组:2 * - -2 -AO AB = sAB 十 tBC AB1al1 2AO BC =sAB BC tBC解方程组可得结

23、果。例3：设H是AABC的垂心，当 AB = AC =5,BC =6时，AH= mAB+nBC ,求实数m+n的值.分 析由 结 论 4 可 得而 B=C,整理后得：（1cosAHA+cosAHB+cosAHC =0由 AH =mAB +nBC ,可得（m 1 ）HA+ （m n HB + nHC = 0 ,m - n n cos A _225 25 = 367=. 而 cos A =m -1m -11 - cos A2 5 52521，m n =.32点评：此题的通用解法应该是仿例 2的点评,构造与基底相关的方程组。147斛得 m = 一，n = 一3232通过这样的思考、探究，不仅得到了与

24、三角形的“四心”相关的有用结论，更为重要的是对提高发现问题和解决问题的能力有很大帮助,正契合了新课标对学生能力的要求。所以在平时的教学中要注意引导学生经常做一些类似的思考与探究，将极大地提高学生的数学素质及思维能力。设。是AABC内任一点，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立直角坐标系。并设A(p,0),B(qcosa,qsina),C(r cosP,rsinP).其中 NAOB =%/AOC =P显然OB,OC不共线，由平面向量基本定理，可设 OA =xOB +yOC(x,y w R),则p =xqcosa + yrcosP 0 =xqsina -yrsinP解得，y =psinqsin(_i ；)psin.srsin(一：；)qrsin(:l !；)OA -prsin OB pqsin OCAOB 二：,AOC = ：, BOC - 2- -(.s . ),sin BOC 二一sin(_i .-)T一S 占OC OA = SOC OB + S