第20讲_基本初等函数的图象、性质及应用

1、函数、导数与不等式的问题是新课标高考的命题热点函数、导数与不等式的问题是新课标高考的命题热点之一，出现频率较高的题型是极值、最值、范围问题，之一，出现频率较高的题型是极值、最值、范围问题，单调性的讨论与不等式的证明等综合问题单调性的讨论与不等式的证明等综合问题从考查题型来看，往年高考中既有从考查题型来看，往年高考中既有13道小题，又有道小题，又有12道解答题如道解答题如2011年全国新课标、年全国新课标、2011辽宁卷、辽宁卷、2011安徽卷就命制了安徽卷就命制了2道解答题，其它省市各命制道解答题，其它省市各命制1道道解答题，且绝大多数试题处在把关题，压轴题的位解答题，且绝大多数试题处在把关题

2、，压轴题的位置涉及的内容大多是函数与不等式、导数知识交汇，置涉及的内容大多是函数与不等式、导数知识交汇，主要考查求函数的最值和值域，函数单调性的讨论，主要考查求函数的最值和值域，函数单调性的讨论，解不等式，求参数取值范围及函数零点个数探讨等解不等式，求参数取值范围及函数零点个数探讨等 从考查的知识点来看，函数的单调性是考查重点之一，且从考查的知识点来看，函数的单调性是考查重点之一，且单调性和奇偶性有向抽象函数拓展的趋势函数的图象注单调性和奇偶性有向抽象函数拓展的趋势函数的图象注重考查图象变换重考查图象变换(平移变换、伸缩变换、对称变换平移变换、伸缩变换、对称变换)及基本及基本初等函数图象的应用

3、对指数函数与对数函数的考查，大初等函数图象的应用对指数函数与对数函数的考查，大多是以函数的性质为依托，结合运算推理来解决，要求能多是以函数的性质为依托，结合运算推理来解决，要求能比较熟练地运用性质进行有关数式的大小比较，方程解的比较熟练地运用性质进行有关数式的大小比较，方程解的讨论等由于三次函数的导数是二次函数，因此，对于三讨论等由于三次函数的导数是二次函数，因此，对于三次函数的问题应特别引起重视不等式重点考查的有四种次函数的问题应特别引起重视不等式重点考查的有四种题型，即解不等式，特别是解含绝对值的不等式，证明不题型，即解不等式，特别是解含绝对值的不等式，证明不等式，不等式的应用，不等式的综

4、合性问题，突出不等式等式，不等式的应用，不等式的综合性问题，突出不等式的知识在解决数学问题和实际问题中的应用价值不等式的知识在解决数学问题和实际问题中的应用价值不等式证明常与函数、数列、导数综合在一起，证明过程中的构证明常与函数、数列、导数综合在一起，证明过程中的构造函数法、数学归纳法、放缩法是高考命题的一个热点，造函数法、数学归纳法、放缩法是高考命题的一个热点，其中放缩的其中放缩的“度度”的把握更能显出解题的真功夫此外关的把握更能显出解题的真功夫此外关于连续函数在闭区间上的最值定理及有高等数学背景的函于连续函数在闭区间上的最值定理及有高等数学背景的函数的凸性问题也值得关注数的凸性问题也值得关

5、注 第第20讲讲基本初等函数的图象、性质及应用基本初等函数的图象、性质及应用 1考题展望考题展望基本初等函数的图象和性质是高考考查的重点，多以基本初等函数的图象和性质是高考考查的重点，多以小题形式出现，有时也在实际应用问题或与导数、方小题形式出现，有时也在实际应用问题或与导数、方程、不等式、数列等知识综合出现在解答题中进行考程、不等式、数列等知识综合出现在解答题中进行考查，侧重考查函数单调性及综合应用查，侧重考查函数单调性及综合应用 【命题立意【命题立意】本小题主要考查分段函数与周期函数等知本小题主要考查分段函数与周期函数等知识及运算求解能力识及运算求解能力1函数的有关概念，函数的三要素函数的

6、有关概念，函数的三要素2函数的图象、图象变换及应用函数的图象、图象变换及应用三种图象变换：平移变换、伸缩变换、对称变换三种图象变换：平移变换、伸缩变换、对称变换(1)平移变换平移变换函数函数yf(xa)(a0)的图象可以通过把函数的图象可以通过把函数yf(x)的图的图象向左象向左(a0)或向右或向右(a0)平移平移|a|个单位而得到；个单位而得到；函数函数yf(x)b(b0)的图象可以通过把函数的图象可以通过把函数yf(x)的图的图象向上象向上(b0)或向下或向下(b0)平移平移|b|个单位而得到个单位而得到(2)伸缩变换伸缩变换函数函数yAf(x)(A0，A1)的图象可以通过把函数的图象可以

7、通过把函数yf(x)的图象上各点的纵坐标伸长的图象上各点的纵坐标伸长(A1)或缩短或缩短(0A1)成原成原来的来的A倍，横坐标不变而得到倍，横坐标不变而得到函数函数yf(x)(0，1)的图象可以通过把函数的图象可以通过把函数yf(x)的图象上各点的横坐标伸长的图象上各点的横坐标伸长(01)成原来的，成原来的，纵坐标不变而得到纵坐标不变而得到 (3)对称变换对称变换函数函数yf(x)的图象可以通过作函数的图象可以通过作函数yf(x)的图象关的图象关于于x轴对称的图形而得到轴对称的图形而得到函数函数yf(x)的图象可以通过作函数的图象可以通过作函数yf(x)的图象关的图象关于于y轴对称的图形而得到

8、轴对称的图形而得到函数函数yf(x)的图象可以通过作函数的图象可以通过作函数yf(x)的图象的图象关于原点对称的图形而得到关于原点对称的图形而得到函数函数yf(|x|)的图象可以通过作函数的图象可以通过作函数yf(x)在在y轴右方的轴右方的图象及其与图象及其与y轴对称的图形而得到轴对称的图形而得到函数函数y|f(x)|的图象可以通过作函数的图象可以通过作函数yf(x)的图象，然的图象，然后把在后把在x轴下方的图象以轴下方的图象以x轴为对称轴翻折到轴为对称轴翻折到x轴上方，轴上方，其余部分保持不变而得到其余部分保持不变而得到(3)幂函数的图象及性质幂函数的图象及性质对于幂函数对于幂函数yx(R)

9、，当，当1时，时，yx的图象是直的图象是直线；当线；当0时，时，yx01(x0)的图象是直线的图象是直线(不包括点不包括点(0，1)其他一般情况的图象如下表：其他一般情况的图象如下表： 幂函数的性质幂函数的性质()当当0时，幂函数时，幂函数yx有下列性质：有下列性质：图象都通过点图象都通过点(0，0)、(1，1)在第一象限内，函数值随在第一象限内，函数值随x的增大而增大的增大而增大 在第一象限内，在第一象限内，1时，图象是向下凸的；时，图象是向下凸的；01时，图象是向上凸的时，图象是向上凸的 ()当当0时，幂函数时，幂函数yx有下列性质：有下列性质：图象都通过点图象都通过点(1，1)；在第一象

10、限内，函数值随在第一象限内，函数值随x的增大而减小，图象是向的增大而减小，图象是向下凸的；下凸的；在第一象限内，图象向上与在第一象限内，图象向上与y轴无限地接近，向右与轴无限地接近，向右与x轴无限地接近；轴无限地接近；4函数的周期性的定义及常用结论函数的周期性的定义及常用结论一般地，对于函数一般地，对于函数f(x)，如果对于定义域中的任意一个，如果对于定义域中的任意一个x的值：的值：若若f(xT)f(x)(T0)，则，则f(x)是周期函数，是周期函数，T是它的一个是它的一个周期周期6对称性与周期性之间的关系对称性与周期性之间的关系周期性与对称性是相互联系、紧密相关的一般地，若周期性与对称性是相

11、互联系、紧密相关的一般地，若f(x)的图象有两条对称轴的图象有两条对称轴xa和和xb(ab)，则，则f(x)必为必为周期函数，且周期函数，且2|ba|是它的一个周期；若是它的一个周期；若f(x)的图象有的图象有两个对称中心两个对称中心(a，0)和和(b，0)(ab)，则，则f(x)必为周期函数，必为周期函数，且且2|ba|为它的一个周期；若为它的一个周期；若f(x)的图象有一对称轴的图象有一对称轴xa和一个对称中心和一个对称中心(b，0)(ab)，则，则f(x)为周期函数，且为周期函数，且4|ba|是它的一个周期是它的一个周期 B B 4，6 【点评【点评】函数的概念涉及的基本问题一般是定义域

12、、值函数的概念涉及的基本问题一般是定义域、值域、解析式等，命题形式有两种，一种是以基本初等函域、解析式等，命题形式有两种，一种是以基本初等函数为载体构造试题，另一种是以某新定义构建函数数为载体构造试题，另一种是以某新定义构建函数4b A C 【点评【点评】函数的性质指奇偶性，单调性和周期性；函函数的性质指奇偶性，单调性和周期性；函数的奇偶性可以进行函数在其定义域内图象，函数值、数的奇偶性可以进行函数在其定义域内图象，函数值、解析式和单调性的转化，函数单调性可以比较大小，解析式和单调性的转化，函数单调性可以比较大小，求函数最值，解不等式；周期性考纲要求是了解，应求函数最值，解不等式；周期性考纲要

13、求是了解，应用时关键是利用周期性转化函数的解析式、图象和性用时关键是利用周期性转化函数的解析式、图象和性质，同时应注意函数性质的质，同时应注意函数性质的“逆用逆用” C A (e，e1) 【点评【点评】关于函数图象问题一般有两类，第一类是作关于函数图象问题一般有两类，第一类是作图和识图图和识图如本例如本例(1)(2)；本例；本例(1)其求解方法可以通过其求解方法可以通过求得解析式后作图，也可利用基本初等函数的图象通求得解析式后作图，也可利用基本初等函数的图象通过图象变换而求解，还可以利用特殊点和函数图象的过图象变换而求解，还可以利用特殊点和函数图象的增减性与对称性，应用淘汰法求解本例增减性与对

14、称性，应用淘汰法求解本例(2)的求解方的求解方法有先求解析式后判定和根据函数的定义域和值域的法有先求解析式后判定和根据函数的定义域和值域的取值范围，并观察函数的增减进行分析推理；第二类取值范围，并观察函数的增减进行分析推理；第二类是用图，是用图，如本例如本例(3)，即利用函数的图象分析研究函，即利用函数的图象分析研究函数的相关问题数的相关问题 【点评【点评】本例系新定义创新问题，题设中定义两函数单本例系新定义创新问题，题设中定义两函数单调性一致的概念，问题求解的策略是将单调性一致转化调性一致的概念，问题求解的策略是将单调性一致转化为恒成立问题，然后推理探究而解决问题为恒成立问题，然后推理探究而

15、解决问题 1深刻理解函数的概念的内涵，不仅包括准确理解函深刻理解函数的概念的内涵，不仅包括准确理解函数的概念，而且包含了函数的灵活应用数的概念，而且包含了函数的灵活应用2函数图象是函数的直观反映，是数形结合的基础，函数图象是函数的直观反映，是数形结合的基础，因此必须熟练掌握函数图象的作法，并能灵活运用图因此必须熟练掌握函数图象的作法，并能灵活运用图象来分析解决问题常用的作图方法有描点法和变换象来分析解决问题常用的作图方法有描点法和变换法解决函数图象问题常用的方法有：函数模型法、法解决函数图象问题常用的方法有：函数模型法、定量分析法和定性分析法定量分析法和定性分析法 3讨论函数的性质必须坚持定义

16、域优先原则，对于函讨论函数的性质必须坚持定义域优先原则，对于函数实际问题，注意挖掘隐含实际中的条件，避免忽略实数实际问题，注意挖掘隐含实际中的条件，避免忽略实际意义对定义域的影响际意义对定义域的影响4对称性与周期性结论要分清，即对称性与周期性结论要分清，即“内同表示周期性，内同表示周期性，内反表示对称性内反表示对称性”；中心对称与轴对称的结论不要混淆，；中心对称与轴对称的结论不要混淆，“内反外同轴对称，内外都反中心对称内反外同轴对称，内外都反中心对称”5若函数图象同时具备两种对称性，两条对称轴，或若函数图象同时具备两种对称性，两条对称轴，或两个对称中心，或一条对称轴一个对称中心，则函数一两个对称中心，或一条对称轴一个对称中心，则函数一定是周期函数定是周期函数6运用函数性质解题时，应注意：运用函数性质解题时，应注意：数形结合，扬长数形结合，扬长避短；避短；等价转化，迅速破解；等价转化，迅速破解；含参变量，分类讨论，含参变量，分类讨论，全面考虑全面考虑 B B D C D 【解析【解析】yf(x1)的图象是由的图象是由yf(x)向右平移向右