“糖水不等式”及其应用

1、“糖水不等式”及其应用    摘要  本文首先挖掘了“糖水不等式”的生活原型，接着详细介绍了此不等式的三种证明方法，最后用“糖水不等式”证明了三道高考题。通过本文重在启发大家：在以后学习中，不仅掌握知识本身，还要多体会知识产生、发展的背景、及其应用，以达到举一反三、融会贯通的目的；从而的出思考与反思史学系的必要环节。  关键词  糖水不等式    我们在小学曾对不等式SX(1   2SX)SX(2  

2、60;3SX)SX(3   4SX)SX(4   5SX)记忆犹新，今天学到了高中数学不等式这一章，我们联想到这一不等式能不能推广？推广形式如何？下面就是它的推广形式：“若a,b,mR+，且ab，求证：SX（a   bSX)SX(a+m   b+mSX)（*）。” 上述不等式在高中数学人教版必修5第87页的例1中出现，并做了严谨证明。相信大家对这一不等式并不陌生。此不等式不仅有着丰富的现实生活背景；而且在比较大小、及证明不等式中都有着重要的作用。 

3、0;一、不等式（*）的生活原型  生活原型1：b克糖水中含有a克糖，加入m克糖后糖水变甜，试用一 不等式描述这一现象：SX(a   bSX)SX(a+m   b+mSX)1 由于此生活原型生动直观的刻划了不等式SX(a   bSX)SX(a+m   b+mSX)1，所以此不等式又戏称为“糖水不等式”。 生活原型2：建筑民用住宅时，一般情况下，民用住宅的窗户总面积小于该住宅的占地面积。窗户的总面积与占地面积的比值越大，住宅的采光

4、条件越好。问同时，增加相等的窗户，面积与占地面积，住宅的采光条件变好了还是变差了？ 解：设a,b分别表示住宅原来窗户的总面积和占地面积的值， 表示窗户和占地所增加的面积的值，（单位相同）， 由题意得：住宅的采光条件变好还是变差， 取决于SX(a   bSX)与SX(a+m   b+mSX)值的大小 作差法：SX(a   bSX)-SX(a+m   b+mSX)=SX(ab+am-ba-bm   b

5、(b+m)SX)=SX(a-b)m   b(b+m)SX) 因为a,b,m0，且ab，所以SX（a-b)m   b(b+m)SX)0 所以SX(a   bSX)SX(a+m   b+mSX) 故增加相等的窗户，面积与占地面积，住宅的采光条件变好了。  二、“糖水不等式”的证明  此题的证明方法很多，例如（1）作差法（2）作商法（3）分析法（4）综合法（5）构造函数法（6）定比分点公式法等等。 在这

6、里有重点地介绍以下三种方法： 证法1：分析法：要证SX(a   bSX)SX(a+m   b+mSX) 只要证a(b+m)b(a+m)， 即证ambm,(m0) 而ab显然成立 证法：构造函数法：f(x)=SX(a+x   b+xSX)=SX(b+x-b+a   b+xSX)=1+SX(a-b   b+xSX) 因为a-b0，所以函数f(x)在(-b,+)上单调增 故f(0)f

7、(m)，即SX(a   bSX)SX(a+m   b+mSX) 证法3：（利用定比分点公式法） TPP0707.TIF,BP SX(a+m   b+mSX)=SX(CSX(a   mSX)+1   1+SX(b   mSX)SX)=SX(C1+SX(b   mSX)·SX(a   bSX)  

8、60;1+SX(b   mSX)SX)，令=SX(b   mSX)0,x1=1,x2=SX(a   bSX) 由定比分点公式得SX(a   bSX)SX(a+m   b+mSX)1。结论得证。  三、“糖水不等式”在比较大小、及证明不等中的应用  例（）若a,b,mR+，且ab，则SX（a   bSX),SX(a+m   b+mSX)SX

9、(b   aSX),SX(b+m   a+mSX)从小到大的顺序为CD#4 解：由“糖水不等式”得：SX(a   bSX)SX(a+m   b+mSX)1，而SX(b+m   a+mSX)1 故ZZ(ZSX(a   bSX)SX(a+m   b+mSX)SX(b+m   a+mSX)ZZ) （）若a,b,m,c,dR+，且SX（

10、a   bSX)SX(c   dSX)，则SX（a   bSX),SX(a+c   b+dSX)SX(c   dSX)从小到大的顺序为CD#4 解：设糖水1和2的浓度分别为SX(a   bSX)SX(c   dSX)，将两种糖水混合的浓度为SX(a+c   b+dSX) 由生活原型1得：ZZ(ZSX(a   

11、bSX)SX(a+c   b+dSX)SX(c   dSX)ZZ) 例中，ABC中，A，B，C对的边分别为a,b,c求证：SX(a   a+mSX)+SX(b   b+mSX)SX(c   c+mSX)证明： 因为a,b,c0,ca+b， 所以SX(c   c+mSX)SX(a+b   a+b+mSX)=SX(a   a+b+m

12、SX)+SX(b   a+b+mSX) SX(a   a+mSX)+SX(b   b+mSX) 故SX(c   c+mSX)SX(a   a+mSX)+SX(b   b+mSX) 例 已知数列an是由正数组成的等比数列，前n项和Sn 求证：SX(1   2SX)(1gSn+1gSn+2)1gSn+1（95全国理科高考25题） 证

13、明：WBSX(1   2SX)(1gSn+1gSn+2)1gSn+1 DWSnSn+2Sn+12 因为Sn+1WB=a1+a2+an+an+1 DW=a1+q(a1+a2+an) DW=a1+qSn 同理Sn+2=a1+qSn+1，SnSn+1 由结论（*）得SX(qSn   qSn+1SX)SX(qSn+a1   qSn+1+a1SX) 即SX(Sn   Sn+1SX)SX(Sn+1  

14、; Sn+2SX) 即SnSn+2Sn+12 所以SX(1   2SX)(1gSn+1gSn+2)1gSn+1 例4求证：SX(2   1SX)·SX(4   3SX)·SX(6   5SX)SX(2n   2n-1SX)KF(2n+1KF)（98年高考文25题） 证明：由结论（*）得SX(2n-1   2nSX)SX(2n-1)+1 &

15、#160; 2n+1SX) 即SX(2n   2n-1SX)SX(2n+1   2nSX) 所以(SX(2   1SX)·SX（4   3SX）·SX（6   5SX）SX（2n   2n-1SX)2 (SX(2   1SX)·SX（4   3SX）·SX（6 

16、0; 5SX）SX（2n   2n-1SX)·（SX（3   2SX）·SX（5   4SX）·SX（7   6SX）SX（2n+1   2nSX) =2n+1 所以SX(2   1SX)·SX（4   3SX）·SX（6   5SX）SX（2n   

17、;2n-1SX)KF（2n+1KF) 例6已知，i,m,nN+,1imn, 证明：niPimmipin（2001高考理20题） 证明：SX(nipim   mipinSX)=JB(SX(n   mSX)JB)i·SX(m(m-1)(m-i+1)   n(n-1)（n-i+1)SX)（*） 由结论（*）得SX(m-k   n-kSX)SX(m   nSX),(km) 所以式（*）JB(SX(n