虚数与波函数及德布罗意平面波的推导

1、虚数与波函数及德布罗意平面波的推导吴超摘 要 结合对虚数的进一步理解和法拉第电磁感应定律，提出了具有复数形式恥）二e区的波函数描述的是一个简谐振动及其感生振动的矢量叠加的设想，并在此基础 上阐述了德布罗意平面波的推导。关键词 虚数，波函数，德布罗意平面波，量子力学1前言随着人类认知范围的扩大，为描述和解决相继出现的问题，人们发明了各种数系，如自然数、整数、有理数、实数、虚数、等等。在所有这些数系中，虚数是最令人感到困惑的：i二在现实中究竟有什么意义？具有复数形式的波函数描述了什么？下面将结合对虚数的进一步理解和法拉第电磁感应定律作出对复数形式波函数的清晰描 述，并在此基础上阐述量子力学中德布罗

2、意平面波的推导。2.虚数与波函数当数学家们用复平面表示复数时，他们已下意识地回答了i二在现实中有什么意义这个问题一一i就是将矢量旋转90°的算子。众所周知，矢量八 与门大小相等、方向相反，这就是说乘以算子-1后矢量旋转 了 180°，如 Graph 1.1 所示。180?4e10Graph 1.1由i的定义可知，= ii 门，这也就是说乘以i两次后，矢量门旋转了180°，所以乘以i后矢量“旋转了 180° /2 = 90°,如Graph 1.2所示。（按此思路，乘 1/n以（一1）后矢量将旋转180° /n）4<J>CGr

3、aph 1.2根据对i的理解，如果取iY轴同时垂直于丫轴与X轴，可画出y二cos(x)与iy =i sin(x )的三维图像，如Graph 1.3所示Y= cos(x)Ljrapn丄心由叭或二屮 =cos(x) + isin(x )可知，甲仪)在丫 iY平面上的投影是一个圆， 如 Graph 1.4 所示。显然，其三维图像是一条沿x轴旋转前进的螺旋线， 如Graph 1.5所示4 YGraph 15再根据法拉第电磁感应定律t为时间，其中E为电场，B为磁场,E，其值的大小正比可知在恒定的横截面中，变化的磁场B能产生一个与之垂直的感生电场于B的变化率，如Graph 1.6所示。Graph 1*63

4、 cos(X)因为isin(x )垂直于cos(x),且金g= - 莎，所以可以类似地设想波函数= ex = cos(x) + isin(x )实际描述了一个振动cos(x)和它的感生振动isin(x )的矢 量叠加。感生振动垂直于原振动、大小与原振动的变化率成正比。3.德布罗意平面波的推导考虑横波的情况，取iY分别垂直于Y轴与X轴，如Graph 2.1所示，设有两列行波以速度U沿X轴正向传播，振幅为A ,角频率为3y =Acos(G)t)Graph 2.1其中iy方向的振动为y方向的振动所感生，其大小正比于 y方向振动的变化率，它们在原点0处的振动方程分别为：y =Acos(<jt),

5、 t为时间日(31)当波从0点传播到x点时，x点也将以同样的振幅与角频率开始振动。但由于波从 0点到x 点所需的时间间隔为x/u，所以当0点的振动时间为t时，x点的振动时间仅为t- x/u，因此它 们在x点的振动方程分别为1:y =Acos(g)(t-x/u)iy = - iAsin(<0 (t-x/u)由于cos(-x) = cos(x), sin(-x) = -sin(x)，所以它们的振动方程可写为： y =Acos(o)Cx/u-t) iy = lAsin(3 (x/u-t)由此可得x点的波函数：屮(x, t)=y+iy-A cos(u)(x/u-t) + iAsi n(w(x/u-t)=At再根据波长入与波速U及角频率3的关系:入二2卫卫一,其中x为圆周率(jj及德布罗意的能量E与动量P及波长入的关系：E = 113,其中h为普朗克常数，11TJ _2 JIF T可得x点的波函数：z vLU (x/u-t) A | (P-x- Et)(X, t) = a e ' = A e*这就是德布罗意平面波，它描述了一个简谐振动及其感生振动在三维空间中的传播。它在Y-iY平面上的