大学物理力矩+转动定律+转动惯量-new

1、PzOFrdFdFrMsin : 力臂力臂dFrM 对转轴对转轴 z 的力矩的力矩 FM 用来描述力对刚体用来描述力对刚体的转动作用。的转动作用。0, 0iiiiMFFF0, 0iiiiMFFF*力矩力矩1zOkFrFFFzFrkMzsin rFMzzFF(1) 若力若力 不在转动平面内，把力分解为平不在转动平面内，把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量行和垂直于转轴方向的两个分量 F 其中其中 对转轴的对转轴的力矩为零，故力矩为零，故 对转对转轴的力矩轴的力矩zFF讨论讨论2点击进入动画点击进入动画O(2) 合力矩等于各分力矩的矢量和合力矩等于各分力矩的矢量和321MMMM(3) 刚体内作

2、用力和反作用力的力刚体内作用力和反作用力的力 矩互相抵消。矩互相抵消。jiijMMjririjijFjiFdijMjiM讨论讨论3例例1 有一大型水坝高有一大型水坝高110 m、长、长1 000 m ,水深水深 100m，水面与大坝表面垂直，如图所示水面与大坝表面垂直，如图所示. 求作用在大坝上的力，以及这个力对通求作用在大坝上的力，以及这个力对通 过大坝基点过大坝基点 Q 且与且与 x 轴平行的力矩轴平行的力矩 .QyOxyOhxL例题例题4 解解 设水深设水深h，坝长，坝长L，在坝面上取面积，在坝面上取面积元元 ，作用在此面积元上的力，作用在此面积元上的力yLAdd ypLApFdddyO

3、hxyAdydQyOxL例题例题5)(0yhgpp令大气压为令大气压为 ，则，则 0pyLyhgpAPFd)(dd0hyLyhgpF00d)(代入数据，得代入数据，得N1091. 510FyOhxyAdyd2021gLhLhpL例题例题6QyOyydFdhFyMdd 对通过点对通过点Q的轴的力矩的轴的力矩FdyLyhgpFd)(d0hyLyhgpyM00d)(3206121LhgLhp代入数据，得：代入数据，得：mN1014212 .M例题例题7OrmzFtFnFrFMsinmrmaFttM（1）单个质点单个质点 与转与转 轴刚性连接轴刚性连接m2mrM 2tmrrFM转动定律转动定律82ie

4、jjjjrmMM（2）刚体刚体 质量元受外力质量元受外力 ，内力内力jFejFi外力矩外力矩内力矩内力矩OzjmjrjFejFi2iejjjjjjrmMM转动定律转动定律910转动定律转动定律OimzexiFexjFinijFinjiFijMjiMjiijMM内力矩为零内力矩为零jijM0)rmMjjjj2e(转动惯量转动惯量2jjjrmJmrJd2转动定律转动定律OimzexiFexjFinijFinjiFijMjiM转动定律转动定律JM 刚体定轴转动的角加速度与它所受的合刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。文字描述文

5、字描述11JM（2）tJJMdd（3）（1） 不变不变M，0转动定律转动定律JM 12 J 的意义：转动惯性的量度的意义：转动惯性的量度 . 转动惯量的单位：转动惯量的单位：kgm22jjjrmJmrJd2转动惯量转动惯量13v 质量离散分布质量离散分布22222112jjjjrmrmrmrmJ J 的计算方法的计算方法 v 质量连续分布质量连续分布VrmrrmJVjjjdd222 ：质量元：质量元md ：体积元：体积元Vd转动惯量的计算转动惯量的计算14例例1：均匀圆环对于中心垂直轴的转动惯量均匀圆环对于中心垂直轴的转动惯量（1） 选取微元选取微元 dm dmRdRmdldm22 （2）求）

6、求 d J dmRdmRdJ222 （3）求）求 J22022mRdmRJ RmCdm2mRJc 相当于质量为相当于质量为m的质点对轴的的质点对轴的J例题例题15例例2：求均匀圆盘对于中心垂直轴的转动惯量求均匀圆盘对于中心垂直轴的转动惯量RmC（1） 选微元选微元d mrdrRmrdrdsdm 222 (2)求求 d J利用上题结果利用上题结果 dJ = r2 dm(3) 求求 J22022212mRrdrRmrdmrJRm 221mRJ rdr0解：解：可视圆盘由许多小圆环组成。可视圆盘由许多小圆环组成。例题例题16例例3：求均匀细杆对中心轴及边缘轴的转动惯量求均匀细杆对中心轴及边缘轴的转动

7、惯量CAmL2L2xxdxdxlmdxdmdxxdmxdJ22dxxdJJLLmc222质量相同，形状相同，转轴不同，质量相同，形状相同，转轴不同，J不同。不同。2121ml 0例题例题对质心轴对质心轴231mlJA对边缘轴对边缘轴2121mlJc对质心轴对质心轴17刚体的转动惯量与以下三个因素有关：刚体的转动惯量与以下三个因素有关：（3）与转轴的位置与转轴的位置有关。有关。（1）与刚体的体密度与刚体的体密度 有关。有关。（2）与刚体的几何形状及体密度与刚体的几何形状及体密度 的分的分 布有关。布有关。表表4-2中的几种特殊形状的转动惯量需要记忆中的几种特殊形状的转动惯量需要记忆转动惯量转动惯

8、量18点击进入动画点击进入动画点击进入动画点击进入动画点击进入动画点击进入动画点击进入动画点击进入动画点击进入动画点击进入动画点击进入动画点击进入动画点击进入动画点击进入动画点击进入动画点击进入动画2mdJJCO 质量为质量为 的刚体的刚体，如果对其质心轴的转动如果对其质心轴的转动惯量为惯量为 ，则对任一与则对任一与该轴平行该轴平行，相距为相距为 的的转轴的转动惯量转轴的转动惯量CJmddCOm平行轴定理平行轴定理19质量为质量为m，长为，长为L的细棒绕其一端的的细棒绕其一端的JP2221mRmRJP圆盘对圆盘对P 轴的转动惯量轴的转动惯量RmO2231)2(mLLmJJc2121mLJcO1

9、d=L/2O1O2O22mdJJc平行轴定理平行轴定理201、对同一轴可叠加：、对同一轴可叠加： iiJJ2、平行轴定理：、平行轴定理：2mdJJc 3、对薄平板刚体，有垂直轴定理：、对薄平板刚体，有垂直轴定理：yxzJJJ JcJdmC质心质心 rix z yi xi mi yR221mR241mR计算转动惯量的几条规律计算转动惯量的几条规律21竿子长些还是短些更稳？竿子长些还是短些更稳？ 飞轮的质量为什么飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？大都分布于外轮缘？讨论讨论22(2) 为瞬时关系。为瞬时关系。 (3) 转动中转动中 与平动中与平动中 地位相同。地位相同。maF JM (1) , 与与

10、 方向相同。方向相同。 JM MJM 转动定律的说明转动定律的说明(4) 适用于转轴固定于惯性系中的情适用于转轴固定于惯性系中的情 况。况。23特别注意特别注意 1. 明确转动轴位置。明确转动轴位置。2. 选定转动的正方向选定转动的正方向, 注意力矩、角速度、角加速注意力矩、角速度、角加速 度的正负。度的正负。 3. 同一方程式中所有量都必须相对同一转轴。同一方程式中所有量都必须相对同一转轴。第一类第一类: 由角量运动由角量运动,求力矩。求力矩。(微分法微分法)第二类第二类: 由力矩及初始条件由力矩及初始条件,求刚体运动。求刚体运动。(积分法积分法)用转动定律解决的两用转动定律解决的两类问题类

11、问题24解题步骤解题步骤1. 认刚体；认刚体；4. 定转向定转向,列方程。列方程。用转动定律解题用转动定律解题2. 定转轴定转轴,找运动找运动;3. 分析力和力矩分析力和力矩; 25 例例1 质量为质量为mA的物体的物体A 静止在光滑水静止在光滑水平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为索跨过一半径为R、质量为、质量为mC的圆柱形滑轮的圆柱形滑轮C，并系在另一质量为，并系在另一质量为mB 的物体的物体B上，上，B 竖竖直悬挂直悬挂滑轮与绳索间无滑动，滑轮与绳索间无滑动， 且滑轮与且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计。轴承间的摩擦力可略去不计。( (1)

12、 )两物体的两物体的线加速度为多少？线加速度为多少？ 水平和竖直两段绳索的水平和竖直两段绳索的张力各为多少？张力各为多少？( (2) ) 物体物体 B 从静止落下距从静止落下距离离 y 时，其速率是多少时，其速率是多少？例题例题26解解 (1) 用隔离法分别用隔离法分别对各物体作受力分析，取对各物体作受力分析，取如图所示坐标系。如图所示坐标系。ABCAmBmCmAPOxT1FNFAmyOT2FBPBmT2FT1FCPCF例题例题27amFAT1amFgmBT2BJRFRFT1T2Ra yOT2FBPBmT2FT1FCPCFAPOxT1FNFAm例题例题282CBABmmmgma2CBABAT1

13、mmmgmmF2)2(CBABCAT2mmmgmmmF解得：解得：例题例题29如令如令 ，可得，可得BABAT2T1mmgmmFF (2) B由静止出发作匀加速直线运动，下由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率落的速率2/22CBABmmmgymayv0Cm2CBABAT1mmmgmmF2)2(CBABCAT2mmmgmmmF例题例题30稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转转动试计算细杆转动到与竖直线成动试计算细杆转动到与竖直线成 角时角时的角加速度和角速度的角加速度和角速度例例2一长为一长为 l 、质量质量为为 m 匀质细杆竖直放置，匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链其下端与一固定铰链O相相接，并可绕其转动接，并可绕其转动由于由于