常微分方程图解法及Matlab实现

1、 本科生毕业论文（设计）题目：常微分方程图解法及Matlab实现学 院 数学与统计学院 学科门类 理 学 专 业 数学与应用数学 学 号 姓 名 指导教师 2015年 5 月 10 日摘 要常微分方程是由人类生产实践的需要而产生的，在数学的应用中一直是一个活跃的分支，它常常被用来建立模型。实际上，常微分方程的研究与应用已经深入到许多学科之中了。根据一些资料记载我们可以知道常微分方程的发展历史：20世纪以来，随着大量的边缘科学诸如海洋动力学、化学流体力学、动力气象学、电磁流体力学等等的产生和发展，也产生了很多新型的常微分方程。因此，常微分方程的求解问题是科学研究与现代工程技术中经常遇到的问题。我

2、们学习过几种类型的常微分方程的解析求解方法，但是在更多情况下，无法求得解析解。而在工程问题中，往往不需要求得解析解，只需求得数值解即可。目前，常微分方程的求解方法也有很多，比如数值解法、图解法以及软件算法。数值解法比较传统，本文主要从图解法与Matlab软件算法两方面进行论述，并结合具体实例进行分析。关键词：常微分方程；图解法；Matlab AbstractOrdinary differential equation is produced by the needs of human production practice, Mathematics has been an active bra

3、nch in the application, It is often used to establish models. In fact, the research and application of ordinary differential equations has been deep into many disciplines. According to some data ,we can know the development history of ordinary differential equations: Since the 20th century, when a l

4、arge number of edge science,such as ocean dynamics, chemical fluid mechanics, dynamic meteorology, the emergence and development of electric MHD, and so on also generates a lot of new type of differential equation. Therefore, the solution of ordinary differential equation is a scientific research an

5、d problems often encountered in the modern engineering technology. We study several types of analytical solution method of ordinary differential equations, but in more cases, unable to get analytic solution. In the engineering problem, often do not need to obtain analytical solution, by numerical so

6、lution obtained. At present, the solution of the differential equation method, there are also many, such as numerical solution method, graphic method and software algorithms. Comparing the traditional numerical methods, this paper mainly from two aspects of graphic method with Matlab software algori

7、thm is discussed, and combined with concrete examples are analyzed.Key words: ordinary differential equation; graphic method; Matlab 目 录摘 要IAbstractII1 引 言12 常微分方程概述22.1 常微分方程的概念及特点22.1.1 常微分方程的概念22.1.2 常微分方程的特点22.2 常微分方程的应用33 图解法43.1 图解法介绍44 图解法的应用54.1 图解法应用举例55Matlab仿真75.1 Matlab仿真介绍75. 2 Matlab仿真

8、中的常用函数76Matlab仿真的应用86.1 Matlab仿真应用举例87结束语10参考文献111 引 言常微分方程是17世纪与微积分同时诞生的一门理论性极强且应用广泛的数学学科之一，对常微分方程的研究可分为几个阶段。发展初期是对具体的常微分方程希望能用初等函数或超越函数表示其解,属于“求通解”时代。莱布尼茨曾专门研究利用变量变换解决一阶微分方程的求解问题,而欧拉则试图用积分因子处理，但是求解热潮最终被刘维尔证明里卡蒂方程不存在一般初等解而中断，加上柯西初值问题的提出,常微分方程从“求通解”转向“求定解”时代。在20世纪六七十年代以后,常微分方程由于计算机技术的发展迎来了新的时期,从求“求所

9、有解”转入“求特殊解”时代,发现了具有新性质的特殊的解和方程,如混沌（解）、奇异吸引子及孤立子等。当今时代，常微分方程应用非常广泛，工程、医学、物理、化学、生物、航空航天、经济和金融领域中的许多原理和规律都可以用常微分方程建模，如牛顿的运动定律、万有引力定律、能量守恒定律、遗传基因变异、生态种群竞争、疾病传染、人口发展规律、股票的涨伏趋势、市场均衡价格、利率的浮动的变化等。数学建模一般是对社会、经济、生产、管理等领域中提出的原始问题进行解决的过程。这些问题基本上没有经过任何的加工处理，也没有固定的形式，也看不出明确的解决方法，对这些问题的描述、认识和分析就归结为对相应的常微分方程描述的数学模型

10、的研究。因此，常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学的各个领域。 总之,常微分方程属于数学分析的一支,是数学中与应用密切相关的基础学科,其自身也在不断发展中,学好常微分方程基本理论和实际应用均非常重要。因此本文对常微分方程的图解法与Matlab仿真算法实现进行了简要的分析,同时结合实例,展示了两种解法在解题过程中的应用。2 常微分方程概述2.1 常微分方程的概念及特点2.1.1 常微分方程的概念常微分方程定义 含有未知函数的导数（或微分）组成的关系式，得到的便是微分方程， 通过求解微分方程求出未知函数，自变量只有一个的微分方程称为常微分方程。常微分

11、方程阶数 微分方程中出现的未知函数的导数（或微分）的最高次数，成为常微分方程额阶数。微分方程的解 使方程成为恒等式的函数。通解 一般地说，n 阶微分方程的解含有 n个任意常数。也就是说，微分方程的解中含有任意常数的个数和方程的解数相同，这种解叫做微分方程的通解。特解 不含有任意常数的解。微分方程的一般表示形式一阶微分方程 G（x,y,）= 0，= g（x,y）；n阶微分方程 G(x,y,.,) = 0, = g(x,y,., )2.1.2 常微分方程的特点 常微分方程的发展表明，能够求出通解的情况很少，在实际应用中所需要的大多是求满足某种指定条件的特解。当然，通解有助于研究解的属性，但是大家已

12、经把常微分方程求解的研究重点转移到特定解问题上来了。    一个常微分方程是不是有特解，以及有几个特解，这是研究常微分方程的过程中的一个基本问题，数学家把它归纳成了基本定理，称之为存在和唯一性定理。因为倘若根本就无解，而我们却仍然要去求解，是没有任何意义的；倘若有解但却不是唯一解，那么仍然不好确定。因此，存在和唯一性定理对于常微分方程的求解是十分重要的。    在研究常微分方程求解时，发现大部分常微分方程的解都不会很精确，而只能得到近似解。不过，常微分方程的近似解精确程度还是比较高的。还应该指出的是，微分方程在描述物理过程的时候，由试

13、验测定的初始条件也是近似的，这种近似之间的影响和变化还必须在理论上加以验证和解决。    常微分方程在几乎每个学科领域内都有着重要的应用，飞机和导弹飞行的稳定性的研究、自动控制系统的设计、化学反应过程稳定性研究、电子装置的设计、弹道的研究计算等。这些问题都可以通过常微分方程建模，转化为求常微分方程的解，或者转化为研究解的性质的问题。应该说，常微分方程理论在各大学科中的应用已经取得了很大的成就，但是，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论才会更加完善。2.2 常微分方程的应用常微分方程是由人类生产实践的需要而产生的，在数学的应用中一直是一个活跃的分支，它常常被用来建

14、立模型。在人类探求自然界中物质运动规律的过程中，完全靠实验来观测和认识清楚运动规律特别困难，因为人类不太可能观察到物质运动的整体过程。然而，随着人类不断对自然界科学规律的探索，发现运动的物体与该物体的瞬时变化率之间，通常按照某种特定规律存在着联系，我们通过捕捉这种联系来更加深刻地认识大自然，而这种联系，用数学语言表达出来，其结果往往形成一个微分方程。只要求出这个方程的解，该物质的运动规律就一目了然了。如图2-1所示，当今时代，常微分方程的研究与应用已经深入到许多学科之中了，比如在工程、医学、物理、化学、生物、航空航天、经济和金融领域中的许多原理和规律都可以用常微分方程建模，如牛顿的运动定律、万

15、有引力定律、能量守恒定律、遗传基因变异、生态种群竞争、疾病传染、人口发展规律、股票的涨伏趋势、市场均衡价格、利率的浮动的变化等。 图2-1 常微分方程部分应用领域图3 图解法3.1 图解法介绍向量场 设g(x,y)为常微分方程的右端函数，在xy平面的一个区域A中的每一点(x,y)处，都画上一个以g(x,y)的值为斜率中心在(x,y)点的线段，就得到一个方向场，该方向场称为由常微分方程确定的向量场。图解法 就是不用求出常微分方程的具体表达式，根据右端函数和向量场做出积分曲线的大致图形。 向量场对于常微分方程求解与研究该方程的几何特性特别重要，常微分方程的求解时基于向量场的，可以根据向量场的走势近

16、似求出积分曲线的大致图形，同时也可以根据向量场本身的性质来研究常微分方程解的性质。 图解法的思想非常重要，虽然该方法只能定性的反映积分曲线的部分主要特征，但是能够用初等方法求解的常微分方程特别少，用图解法来分析积分曲线的变化状态对了解该方程所反映的现实现象的变化规律具有特别重要的意义。图解法的途径有很多种，比较常用的有Matlab、Maple等方法。4 图解法的应用4.1 图解法应用举例例题1 森林里有老虎和羚羊，当羚羊的数量增多时，老虎捕食羚羊导致老虎数量增长；大量羚羊被捕食使得老虎进入饥饿状态，导致其数量下降；老虎数量下降导致羚羊被捕食的机会减少，羚羊的数量回升。微分方程模型如下= m -

17、 0.015mn, m(0) = 100= -n + 0.01mn, n(0) = 20 计算m(r),y(r)在r0,20时的数据，绘图并分析老虎与羚羊的数量变化规律。解 可以用计算各点斜率的方法在网格点上手工画出向量场的方向可以得到向量场，但手工绘制误差特别大，因此我们采用Matlab来完成。本例题的Matlab实现的曲线如图4-1所示 - 羚羊数量 - 老虎数量图4-1 老虎与羚羊数量变化图例题2 在区域F=(y,x)|x|2,|y|2内画出方程= -y的向量场和几条积分曲线。解 本题解法很多，可以用计算各个点的斜率的方法在网格点上手工绘制向量场的方向，从而可以得到向量场。但是，该方法误

18、差较大，绘制困难。所以，在此使用另一种较为便捷的方法，使用Maple软件包来实现。Maple命令如下：Detoolsphaseportrait(diff(y(x),x)= -y(x),y(x),x = -2.2,y(-2)=2,y(-2)=1,y(-2)=-2,dirgrid=17,17,arrows=LINE,axes=NORMAL;运行后Maple就在网格点上本别画出了向量场的图形与三条积分曲线，如图4-2所示图4-2 向量场与积分曲线图5 Matlab仿真5.1 Matlab仿真介绍Matlab是一种影响大、流行广的科学计算语言，其语法规则简单，更加贴近人的思维方式(文献)。Matlab

19、是矩阵实验室（Matrix Laboratory）的简称，是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于数据可视化、算法开发、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境。从实际问题中建立起来的微分方程往往具有非常复杂的形式，有写解析式难以计算，有的则根本不能用解析式来表达。在实际上对初值问题，一般是要求得到解在若干个点上满足规定精确度的近似值，虽然求得的是近似值，仍然非常麻烦，而向量场等仅凭学生的想象力不太好理解，手工画曲线的向量场、等高线等又非常耗时，通过 Matlab 将其画出，曲线形状相对直观，更深得广泛地应用。5.2 Matlab仿真中的常用函数在Matlab仿

20、真中，有很多函数可以使用，比如dsolve、ode23、ode45等等。dsolve函数，用来求解常微分方程，其一般格式为： dsolve（eq1,eq2,cond1,cond2,v） 其中eq1,eq2,代表常微分方程式；cond1,cond2,为初始条件，如果初始条件没有给出，则给出通解形式。v为自变量，在默认情况下所有自变量都是对自变量t求导。 在函数dsolve所包含的表达式中，用字母D来表示求微分，其后的数字表示几重微分，后面的变量为因变量。如以Dy代表一阶微分项y，D2y代表二阶微分项y等等。plot(x,y)函数，用来绘制由x、y所确定的曲线，x、y是两组向量,且它们的

21、长度相等,则plot(x,y)可以直观地绘出以x为横坐标,y为纵坐标的图形。ode45函数，该函数也常用来求解常微分方程，其语法格式为：T,Y = ode45(odefun,tspan,y0)其中，odefun 是函数句柄,可以是函数文件名,匿名函数句柄或内联函数名tspan 是区间 t0，tf 或者一系列散点t0,t1,.,tf，y0是初始值向量，T为返回列向量的时间点，Y为返回对应T的求解列向量。6 Matlab仿真的应用6.1 Matlab仿真应用举例例题1 求y= 1y2,y(0)= 0解 用Matlab命令求解过程如下y = dsolve('Dy=1-y2','

22、;y(0)=0')y =tanh(t)t=-2*pi:0.1*pi:2*pi;y=tanh(t);plot(t,y)仿真后效果如图6-1所示图6-1 Matlab仿真结果图例题2 “蝴蝶效应”来源于洛伦兹的一次演讲，其一阶常微分方程数学模型如下= -x + yz = -10(y - z) = -xy + 28y - z其中，r0,80, x(0)=0, y(0)=0, z(0)=0.01解 记向量y1,y2,y3=x,y,z,创建函数文件如下Function z=flo(r,y)z(1,:)= -8*y(1)/3 + y(2).*y(3);z(2,:)= -10*(y(2)-

23、 y(3);z(3,:)= -y(1).*y(2) + 28*y(2)y(3);用Matlab命令求解过程如下P0 = 0;0;0.01;T,P = ode23(flo,0,80,P0)figure(1),plot(P(:,2),P(:,1)figure(2),comet3(P(:,1),P(:,2),P(:,3)仿真后效果如图6-2所示图6-2 Matlab仿真效果图7 结束语四年的大学生活就快走入尾声，我们的校园生活就要划上句号，心中是无尽的难舍与眷恋。从这里走出，对我的人生来说，将是踏上一个新的征程，要把所学的知识应用到实际工作中去。回首四年，有很多的辛苦，但是同时也收货了很多。通过大学

24、里对常微分方程的学习，使我明白了常微分方程应用广泛，而且求解常微分方程也不需要传统的方法那么麻烦，而是采用更加便捷的数学计算软件Matlab来实现。本文中主要介绍了常微分方程的概念、应用以及重要意义，同时，更加详细地介绍了常微分方程的Matlab求解方法。然而常微分方程的求解方法是否还有更加便捷的途径，还有待于数学爱好者甚至是数学专家去探索和研究，同时，这也是值得我不断钻研的动力。毕业论文是对我们大学四年来所学知识的总结与拓展，这其中所涉及到的知识点多而杂，这时就是考察我们综合能力的时刻了，我们既要对常微分方程进行系统的掌握，还要对自己所学到的知识进行一次系统的梳理。在写论文的过程中，我们既对以前所学的知识点有了一次新认识，又掌握了一定的新知识。不过在这个过