幻灯片 天津科技大学

1、高等代数课件高等代数课件-天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组7.3 7.3 最大公因式最大公因式第七章第七章 多项式环多项式环高等代数课件高等代数课件-天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组一、两个多项式的最大公因式定义1： ,f xg xh xF x若 ,h x g xh xfx则 h x是 ,f xg x的一个公因式。的一个公因式。定义2：设 d x是 ,f xg x的一个公因式。若 ,f xg x的任一个公因式 h x均有 ,h x d x则称 d x是 ,f xg x的最大公因式。332,1

2、fxx gxxx1hx是 例如高等代数课件高等代数课件-天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组问题：1、如何求两个多项式的最大公因式？2、最大公因式是否唯一？引理：若 ,f xg x q xr x与 公因式和最大公因式。证： 1、设 h x是 ,f xg x的公因式 h x是 ,g xr x的公因式。 反之，设 h x是 ,g xr x的公因式 h x是 ,f xg x的公因式。则两对多项式 f x与 g x， g x r x有相同的高等代数课件高等代数课件-天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组2、设

3、 d x是 ,f xg x的最大公因式 d x是 ,g xr x的公因式，对 ,g xr x的任一公因式 m x m x是 ,f xg x的公因式 m x d x故 d x是 ,g xr x的最大公因式。反之同样成立。 ,f xg x的最大公因式可以由引理知，要求转化为求 g x与 r x的最大公因式。由于 r xg x 根据这种思想，我们可以对高等代数课件高等代数课件-天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组 ,f xg x进行如下的辗转相除： 11112221123332211111,0,0.kkkkkkkkkkf xg x qxr xr xg

4、xg xr x qxrxrxr xr xrx qxrxrxrxrxrx qxrxrxrxrxrx qxrx （*）当进行到某一步时，余式为0。例如 10,krx则上一个式子的余式 krx就是 ,f xg x的最大公因式。高等代数课件高等代数课件-天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组 10,krx于是得定理1： ,f xg x若两个多项式经辗转相除后得一系列等式（*），则 f xg x与的最大公因式为 。 krx定理2： F x中任意两个多项式 f xg x与的最大公因式必存在，且若 d x是 ,f xg x ,u xv xF x的最大公因式， 则

5、必存在，使由于余式的次数不断降低，而 g x的次数是有限的，故经过有限次辗转相除之后，必然有余式 .d xf x u xg x v x高等代数课件高等代数课件-天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组证明： 1、若 0,f xg x则 ,f xg x的最大公因式是0。显然有 ,d xf x u xg x v x ,u xv x任意。2、若 0,0,f xg x则 ,f xg x的最大公因式是 1.f xf xg x v x v x任意。3、若 0,0,f xg x使 kd xrxf x u xg x v x则由定理1知，经辗转相除后可求出它们的最由（

6、1.4.1）可求得 ,u xv x大公因式为 krx高等代数课件高等代数课件-天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组设 12,dxdx都是 ,f xg x的最大公因式，则有 122121,dx dxdx dxdxc dx即两个最大公因式之间仅差一个零次因子。若用 ,f xg x表示 ,f xg x中首项系数为1的最大公因式，则 ,f xg x唯一确定。高等代数课件高等代数课件-天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组例1设 432343,f xxxxx 3231023.g xxxx求 ,f xg x，和

7、,u xv x使 ,f xg xu x f xv x g x 解：（利用辗转相除法）二、两个多项式互素 ,f xg xF x若 ,1,f xg x定义3：则称 ,f xg x互素。定理3： ,1f xg x ,u xv xF x的充要条件是存在 1f x u xg x v x使 高等代数课件高等代数课件-天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组多项式互素的性质。性质性质1： 若 ,1,1,f xh xg xh x则 ,1.f x g xh x证：1,fuhvfguhgvg( )( ) ( ),( )( )d xf x g xd x h x( )( )

8、( )1.d x g xd x性质性质2：若 ,h xfx g x且 ,1,h xf x则 .h x g x证：1,.hufvhgufgvgh g高等代数课件高等代数课件-天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组性质性质3： 若 ,g xfxh xfx又 ,1,g xh x则 .g x h xfx证：1,guhvgfufhvf11,fggfhh代入上式即知三、多个多项式的情况定义4：设 1,1,nifxfxF xh xfxin则称 h x是这组多项式的公因式， 若 d x是 1,nfxfx的公因式， 且这组多项式的任一公因式 d x都能整除。则称 d

9、 x是的最大公 1,nfxfx 因式。高等代数课件高等代数课件-天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组则称 d x是 1,nfxfx的最大公因式。用 12,nfff表示首一的最大公因式，则 1211,nnnffffffd x性质4:若12,nfffd则 12,nu uuF x使 。 1 122nnf uf uf ud性质5: 若12,1,nfff则称12,nfff互素。性质6: 若,1,1,ijffiji jn则称12,nfff两两互素。性质7:互素12,nfff12,nfff两两互素。高等代数课件高等代数课件-天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组天津科技大学理学院高等代