讲解高等数学

1、 第二章、一元函数微分学（45分左右）第一节、导数与微分一、导数的概念（知道导数的符号如何表示即可）1、导数的表示符号（1）函数在点处的导数记作：， 或 （2）函数在区间（a,b）内的导数记作：， 或 二、求导公式（重点，是解题的关键，必须记住！）（1） （C为常数） （2）（3） ， （4） ，（5） （6）（7） （8）（9） （10）（11） （12）例：1、= 2、 3、 =4、 5、 6、=三、导数的四则运算（必考题型，选择、填空、解答题均有可能出现）1、运算公式（设U，V是关于X的函数，求解时把已知题目中的函数代入公式中的U和V即可，代入后用导数公式求解.）（1） （2）（3）（为

2、常数） （4） 例1：已知函数，求.解：= （因为是常数）例2：已知函数，求.解：=所以=例3：已知函数，求.解：=所以=四、复合函数的求导法则（必考题型，选择、填空、解答题均有可能出现）1、方 法 一：例如求复合函数的导数.（1）首先判断该复合函数是由哪几个简单函数复合而成的.如由和这两个简单函数复合而成（2）用导数公式求出每个简单函数的导数.即=，=2（3）每个简单函数导数的乘积即为复合函数的导数；注意中间变量要用原变量替代回去.所以=2=22、方 法 二（直接求导法）：如果对导数公式很熟悉，对复合函数的过程十分清楚，可以不必写出中间变量而直接对复合函数从外往里求导.例如=2例1：设函数，

3、求. （用方法一求解）解：该函数是由和复合而成，且= ， =.所以=例2：设函数，求. （用方法二求解）解：=注意：同学们在解题是要结合自己的基础以及对公式的熟练程度选择其中的一种求解方法.五、导数的几何意义（可能会考到选择、填空）1、导数的几何意义：在点处的导数就是曲线在点处切线的斜率，即 = 2、切线方程的求法：用点斜式（即已知点和斜率）去求切线方程设函数，则该函数在点处的切线方程为： 例1：求函数在点处的切线方程.解：因为= 先求导即= 再求切线斜率，即把代入导数中所以切线方程为：，即. 用点斜式求出切线方程六、高阶导数（每年考一题，一般考求二阶或三阶导数）1、定义：如果函数的导数在点处

4、可导，就称的导数为函数的二阶导数，记作：，或我们把二阶和二阶以上的导数称为高阶导数.2、求法：（1）二阶导数就是对一阶导数再求一次导 （2）三阶导数就是对一阶导数求两次导，对二阶导求一次导 （3）同理得四阶、五阶导数的求法例1：已知，求.解：因为=，且=，所以=例2：已知，求.解：=，所以=2=4即=七、微分（每年考一题，考选择、填空或者解答题）1、微分的求法：（1）求出函数的导数.（2）再乘以即可.即. （因为我们习惯用表示）例1：已知，求和.解：因为=所以=，即= （是微分的一个标志，故切勿将代入中）例2：设函数，求.解：因为=所以=第二节、洛必达法则（考的话考解答题，考的可能性为百分之5

5、0左右）1、洛必达法则介绍：在一定条件下通过分子、分母分别求导，再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则公式：2、使用洛必达法则应当注意的地方：（1） 只能对或才能使用洛必达法则，如果是未定式一定要先通分化成或才能使用洛必达法则.（2） 在使用洛必达法则时，是对未定式的分子、分母分别同时求导，再求极限.（3） 在应用一次洛必达法则后，仍然是0/0或/，则可继续使用洛必达法则，如此继续下去直到求出极限为止。在重复使用洛必达法则时，必须一步一检查，一旦发现不是未定式，就要停止使用.（4） 洛必达法则是求未定式的重要方法之一，使用时最好与等价无穷小代换等求极限的方法一起使用，这样才能较快、简便地

6、求极限.例1：求 未定式，因不能提取公因式，故用洛必达法则 解：原式= 为了简化计算，先将用作等价替换= 用洛必达法则，分子、分母同时求导= 上式还是未定式，故继续使用洛必达法则= 上式不是未定式，故将x=0代入函数中例2：求. 未定式，故用洛必达法则解：原式= 分子、分母同时求导第三节、导数的应用 （非常重要，每年必考，选择、填空和解答都会考到）一、函数的单调性及单调区间的求法1、 定理：设函数在区间内可导（1） 如果在内，恒有0，则在内单调递增.（2） 如果在内，恒有0，则在内单调递减.2、 单调区间的求法（重点）：（1） 求出的导数.（2） 令=0，求出函数的驻点.（3） 可以通过数轴，

7、判断出上述驻点将函数的定义域划分成了几个部分区间.（4） 判断在每个部分区间的符号，如果0，则该区间为单调递增区间，如果0，则该区间为单调递减区间.例1：求函数的单调区间.解：=， 令，得驻点和因为函数的定义域为，故驻点，将定义域划分成，和三个区间.当时，所以在区间上单调递增.当时，所以在区间上单调递减.当时，所以在区间上单调递增.例2：求函数的单调区间.解：=，令，得驻点 因为函数的定义域为，故驻点将定义域划分成和两个部分区间. 当时，所以在区间上单调递减.当时，所以在区间上单调递增.注意：因为对数函数的定义域大于零，所以题目中的对数函数的定义域为，即.二、函数的极值及其求法1、 极值的定义

8、：极大值点对应的函数值是极大值，极小值点对应的函数值是极小值.2、驻点的定义：我们把满足的点称为函数的驻点.3、极值的必要条件：对于可导函数而言，极值点一定是驻点，但是驻点未必是极值点4、极值的第一充分条件（必须掌握）：若是可导函数的驻点，则有以下三种情况：（1） 若时，0；时，0，则为的极大值，为极大值点（2） 若时，0；时，0，则为的极小值，为极小值点（3） 若和时，不变号，那么不是极值，不是极值点5、求极值的步骤（重点，是解答题的老客户）（1）求出的导数（2）令=，求出的驻点，记为（）（3）再用第一充分条件去判断，若在的左右两侧互为异号的，则是极值点，（左正右负是极大值点，左负右正是极小

9、值点，可根据实际题意作图判断）；若在的左右两侧互为同号的，则不是极值点。（4）将极值点代入函数表达式中，极大值点对应的是极大值，极小值点对应的是极小值。例1：求函数的极值.解：=， 令，得驻点和因为函数的定义域为，故驻点，将定义域划分成，和三个部分区间.当时，当时，故是极大值点.当时， 故是极小值点.所以函数的极大值为，极小值为.例2：求函数的极值.解：=，令，得驻点因此将函数定义域划分成和两个部分区间.当时，当时，故是极大值点.所以函数的极大值为.三、曲线的的凹凸性及拐点1、 定理：设在内二阶可导（1） 如果在内的每一点，恒有0，则曲线在内是凹（下凸）的.（2） 如果在内的每一点，恒有0，则曲线在内是凸（上凸）的.2、 拐点的定义：把曲线凹与凸的分界点称为曲线的拐点.3、 曲线凹凸区间和拐点的求法（重点，出现在解答题的概率较大）（1） 求出函数的二阶导数（2） 求出=0的点，记为（）（3） 检验在上述每个点两侧的符号，若在的两侧，互为异号，则为曲线的拐点；若在的两侧，互为同号，则不是曲线的拐点.（4） 使0的的取值范围，为的凹区间；使0的的取值范围，为凸区间.例1：求函数的凹凸区间和拐点.解：，则=，令=0，得当时，所以是函数的凸区间.当时，所以是函数的凹区间.所以拐点坐标为.例2：求函数的凹凸区间和拐点.解：=则=.令=0