概率论与数理统计第三、四章答案

1、第三章 习题参考答案 1.计算习题二第2题中随机变量的期望值。解：由习题二第2题计算结果 得 一般对0-1分布的随机变量有2用两种方法计算习题二第30题中周长的期望值，一种是利用矩形长与宽的期望计算，另一种是利用周长期望的分布计算。解：方法一：先按定义计算长的数学期望 和宽的数学期望 再利用数学期望的性质计算周长的数学期望方法二：利用习题二地30题的计算结果(见下表)，按定义计算周长的数学期望 96 98 100 102 104 0.09 0.27 0.35 0.23 0.063.对习题二第31题，（1）计算圆半径的期望值；（2）是否等于？（3）能否用来计算远面积的期望值，如果不能用，又该如何

2、计算？其结果是什么？解（1） （2）由数学期望的性质有 （3）因为，所以不能用来计算圆面积的期望值。利用随机变量函数的期望公式可求得或者由习题二第31题计算结果，按求圆面积的数学期望4 连续随机变量的概率密度为 又知 ，求和的值 解 由 解得 5计算服从拉普拉斯分布的随机变量的期望和方差（参看习题二第16题）。解 因为奇函数在对称区域的积分为零，所以，同样由偶函数在对称区域积分的性质可计算或者利用函数的性质，上式等于 6题目略解 (1)15辆车的里程均值为 (2) 记为从188辆汽车中任取一辆记录的里程数，则的分布表如下表所示（a=188） 1030 50 70 90110130150170

3、5/a11/a16/a25/a34/a46/a33/a16/a2/a故7题目略解 记为种子甲的每公顷产量，为种子乙的每公顷产量，则8一个螺丝钉的重量是随机变量，期望值10g,标准差为1g,100个一盒的同型号螺丝钉重量的期望值和标准差个为多少（假设每个螺丝钉的重量都部首其他螺丝钉重量的影响）？解 设为一盒中第个螺丝钉的重量,则 题设条件为且相互独立。设一盒螺丝钉的重量为随机变量，则期望和标准差分别为注 此题不能认为,因为这意味着所有螺丝钉的重量完全一样,这是不符合实际情况的.因此是错误结果。9. 已知100个产品中有10个次品，求任意取出的5个产品中次品数的期望值。解 设为5个产品中的次品数，

4、则的分布率为 于是期望值为 10一批零件中有9个合格品和3个废品，在安装机器时，从这些零件中任取1个，如果取出的是废品就不再放回去。求在取得合格品以前，已经取出的废品数的数学期望和方差。解 设为取得合格品之前取出的废品数，则服从如下表所示的分布，于是 012311.假定每人生日在各个月份的机会是同样的，求3个人中生日在第1个季度的平均人数。解 设3人中生日在第1季度的人数为，则的分布律为 故平均人数为 12有分布函数，求解 的密度函数为 或者利用伽马函数的性质13，求和解 由奇函数在对称区间的积分为零知 或者 于是 = 14计算习题二第22题中的期望与方差。解 由习题二第33题求得的分布可求得

5、其数学期望和方差 15计算习题二第23题中的期望与方差。解 由习题二第34题求得的分布可求得其数学期望和方差 16如果独立，不求出的分布，直接从的分布和的分布能否计算出，怎样计算？解 由与独立，知与独立，根据数学期望的性质有 故 17.随机变量是另一个随机变量的函数,并且,若存在,求证对于任何实数都有.证明：不妨设是连续型随机变量，其密度函数为，注意到当时，有，于是若为离散型随机变量，则将推倒的积分换成级数求和同样成立。18证明事件在一次试验中发生次数的方差不超过1/4.证明 设为一次试验中发生的次数，则服从0-1分布，则 而函数在上的最大值为，故19证明对于任何常数c,随机变量有 证明 因为

6、 所以两式的差为 或者 20的联合概率密度为，计算它们的协方差解 先求的边缘密度函数由知相互独立,故不相关,即 21.计算习题二第22题的协方差。解 由习题二第22题的计算结果可列出其联合分布和边缘分布表(见下表)，于是 1 1 1 0 1/3 1/3 2 1/3 1/3 2/3 1/3 2/322.计算习题二第23题的相关系数。解 习题二第23题求出的分布表（见下表），可求得 0 1/3 1 -1 0 1/12 1/3 5/12 0 1/6 0 0 2/12 2 5/12 0 0 5/12 7/12 1/12 4/1223的联合概率分布如下表所示，计算的相关系数， 并判断是否独立？ -1 0

7、 1 -1 1/8 1/8 1/8 0 1/8 0 1/8 1 1/8 1/8 1/8解 的联合分布和边缘分布如下表所示 -1 0 1 -1 1/8 1/8 1/8 3/8 0 1/8 0 1/8 2/8 1 1/8 1/8 1/8 3/8 3/8 2/8 3/8但，知不相互独立。24两个随机变量与，已知,计算 与.解 第四章习题解答（参考答案）1.若每次射击靶的概率为0.7，求射击10炮，命中三炮的概率，至少命中3炮的概率，最可能命中几炮。解: 记射击10炮的命中次数为,则,所求概率为 最可能的命中炮数为炮.2.在一定条件下生产某种产品的废品率为0.01,求生产10件产品中废品数不超过2个的

8、概率.解 记废品数为，则，所求概率为 3某车间有20台同型号机床，每台机车开动的概率为0.8，若假定各机床是否开动彼此独立，每台机车开动时所消耗的电能为15个单位，求这个车间消耗电能不少于270个单位的概率。解 设20台机床中有台开动，则，所求概率为 4从一批废品率为0.1的产品中，重复抽取20个进行检查，求这20个产品中废品率不大于0.1的概率。解 设为20个产品中废品的个数，则，所求概率为 5生产某种产品的废品率为0.1，抽取20件产品，初步检查已发现2件废品，问这20件中，废品不少于3件的概率.解 设为20件产品中废品的个数，则，所求概率为 6抛掷4颗正六面体的骰子，为出现么点的骰子数目

9、，求的概率分布，以及出现么点的骰子的最可能值.解 设为4 颗骰子中出现么点的个数，则 ，即有分布律 其分布函数为 的最可能值为 7事件在每次试验中出现的概率为0.3,进行19次独立试验，求（1）出现次数的平均值和标准差；（2）最可能出现的次数。解 设为19次试验中出现的次数，则，故可求得（1） (2）的最可能值=（因为是整数）8已知随机变量服从二项分布, , 求和解 题设条件为，且 由此解出 9某柜台上有4个售货员，并预备了两个台秤，若每个售货员在一小时内平均有15分钟时间使用台秤，求在一天10小时内，平均有多少时间台秤不够用。解 按题设条件可认为在任何时间每个售货员都以的概率使用台秤，设为任

10、何时刻要用台秤的售货员人数，则，于是任何时刻台秤不够用的概率为 这个结果也可以解释为营业时间内5%的时间台秤不够用，故10个小时内大约有半小时秤不够用。10已知试验的成功率为，进行4重贝努里试验，计算在没有全部失败的情况下，试验成功不止一次的概率.解 设为4次试验中成功的次数，则，所求概率为 11服从参数为2，的二项分布，已知 =5/9，那么成功率为的4重贝努里试验中至少有一次成功的概率是多少？解 由题设条件和，可解出，再设，则所求概率为 12一批产品20个中有5个废品，任意抽取4个，求废品数不多于2个的概率。解 设为所取的4个废品的个数，则服从参数N=20,M=5,n=4的超几何分布，所求概

11、率为 13如果产品是大批的，从中抽取的数目不大时，则废品数的分布可以近似用二项分布公式计算。试将下例用两个公式计算，并比较其结果。产品的废品率为0.1,从1000个产品中任意抽取3个，求废品数为1个的概率。解 记为所取3个产品中的废品数。(1)设服从参数为N=1000,M=100,n=3的超几何分布,则所求概率为 (2)若，则所求概率为 两者的差异仅为0.00046.14. 从一副扑克牌（52张）中发出5张,求其中黑桃张数的概率分布 解 设为5张中黑桃的张数，由题意知服从N=52,M=13,n=5的超几何分布，即 由此分布律可列出分布表（见下） 0 1 2 3 4 5 p0.2215 0.41

12、14 0.27450.08150.01070.000515. 从大批发芽率为0.8的种子中，任取10粒，求发芽数不少于8例的概率。解 记为10粒种子中发芽的种子数，则，所求概率为 16一批产品的废品率为0.001，用普哇松分布公式求800件产品中废品为2件的概率，以及不超过2件的概率。解 记为800件产品中的废品数,则，由于很大，很小，故可用普哇松公式计算本题概率17某种产品表面上的疵点数服从普哇松分布，平均一件上有0.8个疵点，若规定疵点数不超过1个为一等品，价值10元，疵点数大于1而不多于4为二等品，价值8元，4个以上为废品。求产品为废品的概率以及产品的平均价值。解 产品上的疵点数为，则，且，产品为废品的概率为 再设产品的价值为，则的分布律为 故产品的平均价值为