初中数学常见模型及部分解题思路

1、17知行合一 知识改变命运，行动成就人生初中数学常见模型解题思路代 数 篇1、 循环小数化分数：(1)设元(2)扩大(3)相减抵消法【等式性质的运用】例：把0.108108108.化为分数.设a=0.108108108.两边同时乘以1000，得 1000a=108.108108.-，得999a=108，从而得a=108/999=4/37.2、对称式计算技巧：“平方差公式、完全平方公式”【整体思想的结合】中，知二求二. (加减配合，灵活变形.)如 ；.3、特殊公式的变型及应用.4、立方和/差公式：5、等差数列求和的法：首尾相加法. (方法+公式)例：计算1+2+3+4+.+2018. 【规律推导

2、法；等式性质推导】6、等比数列求和法：(1)设元(2)乘等比(3)相减(4)求解.例：计算1+2+4+8+.+2n. 【这两种数列均可用等式性质进行推导】7、 的灵活应用.例：计算(1)；(2)8、 韦达定理求关于两根的代数式的值.(1) 对称式：变和积.(x、y为一元二次方程的两根)(2) 非对称式：根的定义 降次 变和积(一代入二韦达)9、 三大非负数及三大永正数(如|x|+2).10、 常用最值式：等11、 换元大法.12、 自圆其说加减法与两肋插刀法。代数式或函数变型(如配方)只能加一个数，同时减去同一个数；如果是方程则只需要两边同时加上或者减去同一个数即可。13、 拆项法、配方法。(

3、原理同上)14、 十字相乘法.15、 统计概率：两查(抽样；普查)、三事(必然；随机；不可能)、四图(折线；条形；扇形；直方)、三数三差、两频(频数；频率)一概(概率).16、 一元二次方程应用题.如利率问题、握手送花问题等17、 ，则在动点问题中的巧妙应用(避免繁琐的因为点的相对位置变化引起的符号变化问题；平面直角坐标系中动态问题之“坐距互变”时巧施绝对值的代数解法).18、 四个角的正切值：22.5度的正切值为；67.5度的正切值为；A O B C D 75度的正切值为；15度的正切值为.几 何 篇1、 线、角的等量问题：A O C B D 等角(如右图)：条件 结论：说明：可视作由旋转产

4、生的“共点等角”等线(如下图)：条件 结论：说明：可视作由平移产生A C B DA B C D A EC FPC FPA E2、 两条平行线夹一角(即“拐点问题”)例：如图1，条件AECF 结论：如图2，条件AECF C D mA B n结论：3、 平行线夹等(同)底三角形：面积相等。同底三角形面积相等，则过顶点的直线与底所在直线平行。若mn，则.反之，若，则mn.B CA MPB CA 4、已知三角形两边长，定第三边的范围：大于两边的差，小于两边的和。5、三角形的角平分线.(1)两内角平分线相交角：NB CA 一内一外角平分线相交角：DB CA 两外角平分线相交角：(如图)(2)一内角平分线

5、分对边所成的两条线段之比等于该角两边之比.KCDB CA FE如：AD平分BAC，则.6、 三角形的中线：重心分中线为1:2两部分.如：三中线AD、BE、CF交于点K，则DB CCA FE;.7、 三角形的高：底与高积相等；三高得相似；三高得四点共圆.如：AD、BE、CF为高，则;ADBCFB等；B、C、E、F四点共圆等.A 8、(1)高与一角平分线的夹角等于另外两角差的一半.如：AD、AE分别为ABC(ABAC)的角平分线和高，A F B E CD则DAE=.(2)两中线垂直的三角形中两边平方和等于第三边平方的5倍.C B 如：AE、BF分别为ABC的中线，且AEBF，E OCDB CA F

6、E则.9、三角形一分为二面积的比及其推广到蝴蝶面积.(1)在ABC中，AD、BE、CF相交于同一点O，D 则.S1 A (2)任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)：S4 O S3 S2 B C 或者.10、 等腰三角形三线合一的逆定理：两线合一亦等腰；一垂两等变等腰；一垂三等变等直.等腰三角形存在性常用公式：底角的余弦=底边的一半/腰A *重要推论：已知三角形中一个角的余弦，这个角的一边×这个角的余弦=另一边的一半，此三角形为等腰三角形(一边为腰，另一边为底).C B 如图： ABC为等腰三角形(BC为底).A B *“两线一圆模型”：已知线段AB(两定点A、B)，在平面内找一点C

7、，使ABC为等腰三角形.这样的点C的集合在以A、 B为半径的圆和AB的垂直平分线上(与A、B共线的点除外)【等腰三角形存在性问题】11、 直角三角形斜高的求法：斜高=两直角边的乘积/斜边*直角三角形存在性之“两线一圆模型”：已知线段AB(两B A 定点A、B)，在平面内找一点C，使ABC为直角三角形.满足条件的C的集合在过A、B作线段AB的垂线及以AB为直径的圆上的除A、B两点的任意点都可与A、B组成直角三角形.(即所谓的“两线一圆”)高 12、等边三角形面积的求法：13、求面积的套路：(1)复杂图形：一拆用加；二放用减.(2)三角形：面积公式；宽 两边与夹角正弦的积的一半(遇钝变补)；铅垂线

8、法(宽高法)；等边三角形的面积；利用相似比的平方等于面积比(借助面积可求的三角形的面积和相似比求解)；让出去(化归).(3) 平行四边形面积=两邻边与其夹角的正弦的乘积；菱形的面积=边长的平方与一个内角的正弦的乘积；梯形的面积=两对角线与其夹角的正弦的乘积的一半.(4) 共角(有一个角相等)三角形：面积的比等于等角两边乘积的比(鸟头定理).D A A 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形.共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)D 两夹边的乘积之比.E E 如图，在ABC中，D、E分别是C C B AB、AC上(或延长线上)的点，则B E A 14、 三大蝴蝶：(1

9、)一线两等边.如图，ABC、ECD为等边三角形，B、C、D共线，则有：BCEACD、DCGECF、K G BCFACG；旋转60°形成的全等三角形，所以F CGF也是等边三角形；三组平行线；D AKB=BKC=DKC=60°KC平分BKD；C B K、F、C、G四点共圆.D A (2)一个三角形两等边.如图，以ABC的两边AB、ACE 为边向外作等边ADB和等边ACE，则有：ADCABECD=BE,DGB=60°,DGE=120°C G B 又点A到DC和到BE的距离相等FAG是DGE的平分线，DGA=EGA=60°.(3)一个三角形两个正方形

10、.如图，以ABC的两边GA E AB、AC为边向外作正方形ABGF和正方形ACDE，则有：FC=BE，FCBE；AH平分FHE；H A、F、B、H四点共圆.D 15、平行四边形的面积关系：C BD A (1) ；O (2)平行四边形的对角顶点到过对称中心的任意一条直线(一般找平行于两轴的直线)的距离相等.16、平行四边形对角线平方的和等于四边平方的和：D A E C B P C B 17、矩形一边上任意一点到对角线距离的和=.18、矩形内任意一点到对角顶点距离的平方和相等.E D A 如图，矩形ABCD内任意一点P，则有：.F 19、 矩形经典对折图.如图，矩形ABCD沿对角线BD对折，C点到

11、了E点，则一对全等(小直角三角形)一对相似，两个C B 等腰.例：AE:BD=3:5则AB:BC=4:8=1:2，这是因为相似比为3:5，所以EF:FB=3:5,因此ED=4(勾股)而AD=DF+FA=8.A G M D N FE B H C20、 正方形垂等图.垂直 相等 横平竖直；“改邪归正”的辅助线方法.21、正方形三兄弟成面积图.H E F MA D B CN G 三个正方形如图摆放，AN恰好过E点.结论：.解法：ACECFN(关键点);N B CA D E F G M ,.22、两正方形垂直相等图.如图，ABCD、CGFE是正方形：(1)DCGBCE;(2)BEDG，BE=GD；(3

12、)A、B、M、D四点共圆，ADB=AMB=AMD=45°,ADMAND,；(4)若DM2=MEMA，则BD=BG，BDG为等腰三角形.(GDC=DAM=DBM=MBG)，此时MA=MB.K H G F B CA E D 23、 正方形内含半角(其中产生的两个双八字相似和等腰直角三角形)-邻边相等的圆内接四边形内含半角图.条件：正方形ABCD中，EBF=45°,结论：(1) EF=AE+FC；(2);(3)DCA=EBF=45°B、C、F、H四点共圆，BFH=90°BHF为等腰直角三角形；(4)同上：DAC=EBF=45°D C A B B、K、

13、E、A四点共圆，BFE=90°BHE为等腰直角三角形.E 24、 正方形内含半角模型的推广及等腰直角三角形内含半角图.(1) 正方形内含45°模型推广到圆内接四边形(对角互补的四边形)，有一组邻边相等，且相等的邻边的夹角内含半角.A F 条件：四边形ABCD中，BA=BC，ABC+D=180°，F ,结论：EF=AE+CF.E (2) 等腰直角三角形内含45°.条件：等腰直角ABC，FBE=45°，C B 结论：.A BD CA BD CO E F A BD C(3) 其他特殊的等腰三角形“顶角”内含半角图.(根据上述模型类比解决：用三角比找到

14、相关边的关系.) 正方形互补型.Q (1)对称中心有直角：OE=OF(2)直角顶点在对角线上：P PB=PQD A A 小结：对角互补模型C C (1) 全等型-90°B 条件：AOB=DCE=90°OC平分AOBD E E B O O 结论：CD=CE;OD+OE=OC；A C .C A B O (2) 全等型-120°E D 条件：AOB=2DCE=120°O B D E OC平分AOB结论：CD=CE;OD+OE=OC；E A D .25、 正方形中123成135°B C点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，E 将ABE绕点

15、B顺时针旋转90°到CBE的位置.若AE=1，BE=2，CE=3，则BEC= .26、 相似模型：(1) 正A、错A；正八、错八；正射影、错射影；正K、错K(一线三等角)DA 射影图中：两直角边平方的比等于其在斜边上的射影的比.(2)双八字(共圆图之一)条件：BAC=BDC(同弦对等角)B C结论：B、C、D、A四点共圆；ABMDCM,ADMBCM;其中AB、BC、CD、DA四条弦所对的四对圆周角相等.O(3)线束定理：两平行线被过一点的三线所截得的四条“横线”对应成比例.AA B C m条件：直线mn，结论：.ED(4)平行于一边的线段截得的图形OD E F n(三角形、四边形)面

16、积之间的关系.CB条件：DEBC，结论：图形中“对应”线段的比，AA相关面积的比，知一求其它.DD(5)三角形内叉型：知两比求其它比.FBE:EC CD:DA AF:FE BF:FDFE知二求二(过已知比的节点作平行线)CBECB(6)四线六点型：过其中的三条线组成A的被标记的一个三角形的一个顶点，D作不过这个顶点的直线的平行线(有两条)，问题迎刃而解.1E技巧：如过C点可作AB或者DE的平行线.善于从纷繁复杂2BC的图形中找到这样的模型是关键.(7)歪A模型.条件：1=2，结论：歪A生歪八，歪八补型得歪A(延长BD、CE相交于点A)；对角互补的圆内接四边形补型.28、解直角三角形、解斜三角形

17、(双勾股)(1)直角三角形：内高型、外高型、双高型(梯形)、单高型(直角梯形) 口诀：角优先、多求边；造模型、设表列.(2)任意三角形：知三求三(三边、两角一边、两边及夹角)-尽量不破坏已知的边和角(内高、外高)29、 解三角形之：角优先、套模型.ABOCDEO(附加模型：坡度、坡角、斜率、仰角、俯角、方向角-图略)D30、手拉手模型E*模型一：手拉手模型-旋转型全等C(1)等边三角形BA条件：OAB、OCD均为等边三角形 OABCDE结论：OACOBD;AEB=60°OE平分AED.(2)等腰直角三角形条件：OAB、OCD均为等腰直角三角形 DECABOD结论：OACOBD;AEB

18、=90°OE平分AED.OECBABAEOC(3)任意等腰三角形D条件：OAB、OCD均为等腰三角形 结论：OACOBD;AEB=AOB;OE平分AED.OO*模型二：手拉手模型-旋转型相似DDC(1)一般情况C条件：CDAB，将OCD旋转至右图位置.BBAA结论：右图中OCDOABOACOBD;延长AC交BD于点E，必有BEC=BOA.D(2)特殊情况O条件：CDAB，AOB=90°，将OCD旋转至右图位置.CO结论：右图中OCDOABOACOBD;EDC延长AC交BD于点E，必有BEC=BOA;BABA;BDAC；连接AD、BC，必有AD2+BC2=AB2+CD2；(对

19、角线互相垂直的四边形)31、三平三交造平四(两对对角顶点横、纵坐标的和分别相等)条件：平行四边形ABCD公式： 用中点或平移两种思路都可推理32、共圆图.(1)共边两等角(直角)-见“双八字”图；(2)对角互补(对角有两直角)、外角等于内对角.-等腰梯形四顶点永远共圆33、垂径图、弦切图、双切图、切割图、双割图、相交弦定理(对顶三角形相似)、平行弦、圆内共点等弦所成角被过这点的直径(半径)平分.34、等腰直角三角形斜边上的中点为顶点的直角构造全等.B D CAEFG条件：AB=AC，BAC=90°，D为BC之中点，EDF=90°结论：ADFBDE;EDF为等腰直角三角形；E

20、、D、F、A四点共圆；DE2=DF2=DGDA；AE+AF=AB=AC;AD+AE+AF=.35、 相似+公共边比例中项(平方：共边相似+勾股定理)36、 方程思想设表列，几何勿忘角优先，以角定边找关系，比例已知用负元.37、 两边分别平行或相等的两个角相等或互补.38、 中点四边形口诀：对垂为矩；对等为菱；菱矩互变；任四为平.平正自变39、 正A面积比法(知一比求全比)40、 三角形内十字叉：知二比求全比(六个比知二求四)41、 等腰直角三角形的面积42、 动点问题的解题套路：(1) 相似三角形的存在性；(2)等腰三角形的存在性：两点间距离公式、余弦大法、几何法；(3)直角三角形存在性：射逆

21、、勾逆、斜中逆、一线三直角之逆、直线垂直交轨法(4)面积的函数关系及最值：正弦法、铅垂线法、拆放法、相似比转化法(5)将军饮马问题：线段和最小、差最大；动点变定线段怎么办；两路一村；两路两村.(6)平行四边形的存在性：三定一动(相对顶点横、纵坐标和相等)；两动两定(按照定点之间线段分别做对角线及边分类：平行四边形相关的全等性质求坐标).(7)几何法(思路难、计算简)；代数法(思路简、计算难)；代几混合法(取长补短更优越)43、 圆内接四边形(对角互补)的补形法：补形构造大A型(歪A)全等三角形.(特别注意：双勾股的用法)44、被“误解”和“冤枉”的SSA：两边和一边的对角相等，且第三边所对的角

22、不互补，则这两个三角形全等.函 数 篇1、 平面内两点间的距离：(1) 横平(平行于x轴的直线上两点间的距离)=|横坐标之差|=右-左；(2) 竖直(平行于y轴的直线上两点间的距离)=|纵坐标之差|=上-下；(3) 平面内任意两点间的距离：开方式(求距离)；平方式(列方程)；(4) 横纵坐标的绝对值：点到两轴的距离.2、 中点坐标公式：横和取半、纵和取半.3、 函数图象平移规律：上加下减、左加右减.4、 交轨法：交点坐标方程组的解(代数法出发点)5、 代数(函数) 几何(图形)6、 函数与图象的对应关系：两数对一点、一点对两距；一式对一线、一线对一式7、 已知一点和一条直线，求这点关于这条直线

23、的对称点的坐标(垂直定k，点k定关系式.交轨法求垂足，中点坐标公式得结论.)8、 求点到直线的距离：垂直定k，点k定关系式，交轨法求垂足，两点间距离公式得结论.9、 一次函数y=kx+b(k0)：(1) 三点：与两轴的两个交点、图象上的动点(m，km+b)(2) 一k三比一角：|k|=坡度=坡角的正切(以k定比、定角；以比、以角定k) k的特殊求法：竖比横；横竖法秒杀关系式； 根据一次函数的关系式确定一个三边的比确定的基本三角形. 时产生的特殊角：45°、60°、30°.(3) 两直线平行k相等；两直线垂直k的积为-1.(4) 两条直线(一次函数)关于x轴(含平行

24、于x轴的直线对称)或y轴(含平行于y轴的直线对称)，则其斜率的和为零(互为相反数).(5) 最值的确定：关系式+图象+自变量取值范围.10、 二次函数y=ax2+bx+c(a0)解题模型及套路：(1) 二次函数的信息题的破解套路：系数的意义+不等式+等式+判别式+根与系数的关系+最值的意义+123特殊值+三特殊值定关系式法.(2)二次函数比大小：远近法(对称轴法)(3)一式三型：一轴三法、五定一动、五个死点一个活点(4)针对活点：设横表纵、一线冲天、横平竖直、坐距互变-改斜归正(5)解题套路(四列)：列点-求定点，设动点，找关系 列线-改斜归正，以点定线定式列角-以式(直线：一次函数的关系式中

25、的k确定对应的角及其基本三角形中三边的比和三角比)列式-方程(交轨法)求解、函数关系式(对应的性质)求解(6)三大函数最值的求法.其中二次函数分三种情况.11、轨迹的思想：确定动点运动轨迹的形状：设动点的坐标-找二者之间的关系-列出二元一次方程-化为函数-一式定型.12、解提策略篇：抓住不变量和特殊点，找到破题点.化归法、交轨法、横平竖直、改斜归正.(把题中的每个条件充分利用一遍基本就有思路了)13、三交法确定函数关系式：若函数图象与两轴有三个交点，且交点坐标已知，则用韦达定理列方程求a、b、c较容易.初中几何常见辅助线的添加技巧和方法在几何的教学中，添加辅助线既是难点也是重点，如果能帮助学生

26、梳理常规辅助线的添法，再配上经典的试题，往往就能让学生形成正确的添线“直觉”，体会到数学解题中的“对立”和“统一”，提高解题效率.1、 添加辅助线的方法1、 注意题目中背景图案的处理：背景图案添线方法简图基本图形等腰三角形 (遇等腰化 直角) (1)作底边上的高等腰三角形 直角三角形(2)作一腰上的高等腰三角形共边直角三角形腰上高与底边上高两者结合易生成相似三角形.(3)过底角的顶点B作底边BC的垂线与腰CA的延长线相交于点D等腰三角形 直角三角形直角三角形 遇直角化等腰 (1)取斜边中点D构造斜边上的中线CD等腰三角形 直角三角形 (2)倍长直角三角形的一条边等腰三角形 直角三角形遇直角构直

27、角(1)作斜边上的高直角三角形(2) 过顶点A、B作过点C的直线的垂线直角三角形等腰直角 三角形(1)作斜边上的高 (2)作斜边上的中线 (3)作直角的角平分线等腰三角形 直角三角形直角梯形(1)添高矩形 直角三角形(2)延长两腰相交平行A 直角三角形(续上) 直角梯形(3)平移一腰平行四边形 直角三角形(4)平移对角线平行四边形 直角三角形(5)遇中点取中点(6)遇中点添平行同上(7)连接DE并延长，与CB的延长线相交于点G平行8 直角三角形(8)平行线间夹有相等线段可延长相交平行8 直角三角形 (说明：平行线间夹有线段比亦可延长)圆(1) 圆上有点作半径、作弦等腰三角形(2) 圆中有弦作弦

28、心距说明：垂径定理易证中点直线与圆相切(1)圆上有点作半径(2)圆上无点作垂线两圆相交作连心线说明：1、连接半径易形成共边直角三角形2、延长OB与圆P相交于点D，公共弦结合其他弦易形成相似三角形作公共弦说明：圆上有点，且一圆过另一圆的圆心2、 注意题目中条件的处理：特征条件添线方法基本图形特殊角三角比 选点选线作垂直直角三角形中线(1)倍长全等三角形平行8(2)添平行(图形同上)全等三角形平行8(3)遇中点取中点平行A(4)遇中点添平行(图形同上)平行A角平分线(1)翻折全等三角形(2)添平行等腰三角形(3)作垂线过角平分线上的点作两边的垂线全等三角形过角平分线上的点作角平分线的垂线全等三角形

29、等腰三角形线段比(1)根据条件构造相似(2)选点选线添加平行平行A平行8说明：方法很多，添线原则是不破坏已知条件，能够转化线段比.共点等长 有夹角夹角180°易构中心对称图形夹角90°易构等腰直角三角形夹角60°易构等边三角形夹角任意角易构等腰三角形3、注意题目中所求结论的处理：(1)线段和差-截长补短或面积法注意：截的端点不同、线段不同，补的方向不同、线段不同，方法很多，注意筛选出能形成基本图形解题的方法。与高有关的线段，可借助面积转化出线段之间的等量关系。(2)倍分问题-加倍或折半注意：方法很多，注意筛选出能形成基本图形解题的方法。4、注意图形运动的处理：*旋

30、转 (1)正确作图(关注旋转中心、旋转图形、旋转方向、旋转角度，有时方向和角度条件隐含在落点条件之中，反复审题提炼)；(2)旋转全等，相等边、角条件均可转化，注意筛选每一组等边、等角条件后结合已知生成新的基本图形；(3)利用旋转角相等、对称点到旋转中心的距离相等，旋转后易形成相似的等腰三角形。*翻折 (1)正确作图(对称轴垂直平分对称点的连线段，可作垂直、截相等)；(2)翻折全等，等边、角条件均可转化，注意筛选每一组等边、等角条件后结合已知生成新的基本图形；(3)翻折对称性，对称轴垂直平分对称点的连线段，垂直条件易形成直角三角形，平分条件可转化出线段之间的等量关系，连中垂线上的点易得等腰三角形

31、；(4)特殊情况：翻折后常隐有角平分线的条件，遇上平行，易形成等腰三角形。二、添线注意点1、题目中给定标准尺寸的重新画图，借助标准图形分析问题、寻求突破；题目中没有给定标准尺寸的用原图，不能准确定位图形的可先尝试着画出大致图形，根据已知再作不断的调整。2、几何问题就是研究所呈现每个图形的边、角、边角所具有的特征，不要为了添线而添线，添线后要把所添加的辅助线回归整体图形，力争筛理出每个图形，继而叠加组合后生成新的结论解决问题。三、添加辅助线的“一个中心、四个基本点”*一个中心-基本图形*四个基本点-背景图形、条件处理、结论处理、图形运动诠释了如何添加辅助线，基本上概括了初中阶段的所有常规辅助线的

32、添法，若能将其“自然”地应用到教学和解题当中，必将所向披靡！四、添加辅助线的口诀详尽审题标注化 字母符号改造化 已知未知联想化 分散条件集中化残缺图形补全化 基本图形关联化 思路受阻调整哈 数据处理方程化五、辅助线常见作法：一平二垂三连四延五截六转七倍八补.改斜归正最常见！补充模型1、 费马点三角形的“三线五心一点”1、 三线：高线、中线、角平分线 2、五心：重心、内心、外心、垂心、旁心注：旁心即旁切圆的圆心，有三个.(与一边和另外两边的延长线相切的圆叫做三角形的旁切圆.如图)3、一点：费马点*费马点的定义：在平面内到三角形三个顶点的距离之和最小的点叫做此三角形的费马点.A*费马点的位置：若三

33、角形的三个内角都小于120°，则费马点在三角形内，且该点与三个顶点的连线必成三个120°角；若三角形有一个内角大于或者等于120°角，此时的费马点就是这个点的顶点。(费马点为该三角形最大角的顶点)如右图，ABC的三个内角都小于120°，若点P为ABC的费马点，则APB=BPC=CPA=120°；P反之，若APB=BPC=CPA=120°，则点P为ABCCB的费马点.即PA+PB+PC此时最小。APFCBDE*费马点的确定及相关结论：设三角形的三个内角都小于120°，则以三角形的三边分别向外作三个等边三角形，每个等边三角形的“外顶点”与原三角形相对的顶点的连线的交点即为三角形的费马