函数的基本性质

1、第二讲 函数的性质（一）一、函数的单调性1单调函数的定义增函数减函数定义设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2) ，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象逐渐上升自左向右看图象逐渐下降2单调区间的定义若函数yf(x)在区间D上是 或，则称函数yf(x)在这一区间上具有(严格的)单调性， 叫做yf(x)的单调区间3、单调性的判定方法（1）定义法： 利用定义证明函数f(x)在给定的区

2、间D上的单调性的一般步骤： 任取x1，x2D，且x1<x2； 作差f(x1)f(x2)； 变形（通常是因式分解和配方）； 定号（即判断差f(x1)f(x2)的正负）； 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）（2）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。（3）复合函数的单调性的判断： 设，都是单调函数，则在上也是单调函数。若是上的增函数，则与定义在上的函数的单调性相同 若是上的减函数，则与定义在上的函数的单调性相同即复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的单调性相反时则复合函数为增减函数。也就是说：同增异减（类

3、似于“负负得正”）4、函数单调性应注意的问题：单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数二、函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件对于任意xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M对于任意xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M结论M为最大值M为最小值利用函数单调性的判断函数的最大（小）值的方法 利用二次函数的

4、性质（配方法）求函数的最大（小）值 利用图象求函数的最大（小）值 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递增，在区间b，c上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；强调 1.函数的单调性是局部性质从定义上看，函数的单调性是指函数在定义域的某个子区间上的性质，是局部的特征在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调2函数的单调区间的求法函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域对于基本初等函数的单

5、调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等；如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间注意单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“”联结，也不能用“或”联结三、例题讲解例1、证明函数f(x)2x在(，0)上是增函数练习1判断函数g(x)在 (1，)上的单调性练习2（图像法）函数f(x)|x2|x的单调减区间是()A1,2 B1,0 C0,2 D2，) 例2(1)若f(x)为R上的增函数，则满足f(2m)<f(m2)的实数m的取值范围

6、是_(2)若函数f(x)|2xa|的单调递增区间是3，)，则a_.练习3(1)函数f(x)在2,3上的最小值为_，最大值为_(2)已知函数f(x)(a>0，x>0)，若f(x)在上的值域为，则a_.四、随堂练习1下列函数中，在区间(0，)上是增函数的（ ）Ayx-12+1By-3x21 Cy Dy|x|2定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x4)， 当x>2时，f(x)单调递增，如果x1x2<4，且(x12)(x22)<0，则f(x1)f(x2)的值( )A恒小于0 B恒大于0 C可能为0 D可正可负3已知函数f(x)若f(2a2)>f(a)，则实数a的

7、取值范围是( )A(，1)(2，) B(1,2) C(2,1) D(，2)(1，)4.如果函数上单调递减，则实数满足的条件是 ( )A(8，) B8, ) C(-,8) D(-,85函数y的单调递减区间为( )A(，3 B(，1 C1，) D3，16.函数f(x)2x2mx3，当x2，)时是增函数，当x(，2时是减函数，则f(1)_.7.已知函数1，2，则是 (填序号).1，2上的增函数； 1，2上的减函数； 2，3上的增函数； 2，3上的减函数.8已知定义在区间0,1上的函数yf(x)的图象如图所示，对于满足0<x1<x2<1的任意x1、x2，给出下列结论：f(x2)f(x

8、1)>x2x1； x2f(x1)>x1f(x2)； <f .其中正确结论的序号是_(把所有正确结论的序号都填上)9已知函数f(x)(a1)若a>0，则f(x)的定义域是_.10若函数f(x)在区间(2，)上递增，求实数a的取值范围11已知定义域为0,1的函数f(x)同时满足：对于任意的x0,1，总有f(x)0；f(1)1；若x10，x20，x1x21，则有f(x1x2)f(x1)f(x2)(1)求f(0)的值； (2)求f(x)的最大值.12定义在R上的函数f(x)满足：对任意实数m，n总有f(mn)f(m)·f(n)，且当x>0时，0<f(x)&

9、lt;1.(1)试求f(0)的值； (2)判断f(x)的单调性并证明你的结论 五、课后练习（一）1下列函数中，既是奇函数又是增函数的为()Ayx1Byx3 Cy Dyx|x|2函数y(2k1)xb在(，)上是减函数，则( )Ak> Bk< Ck> Dk<3函数f(x)的最大值是( )A. B. C. D.4f(x)x22x(x2,4)的单调增区间为_；f(x)max_.5已知函数f(x)为R上的减函数，若m<n，则f(m)_f(n)；若f<f(1)，则实数x的取值范围是_六、课后练习（二）1下列函数中，在区间(0，)上为增函数的是()Ayln(x2)By C

10、yx Dyx2若函数f(x)4x2mx5在2，)上递增，在(，2上递减，则f(1)()A7 B1 C17 D253(佛山月考)若函数yax与y在(0，)上都是减函数，则yax2bx在(0，)上是( )A增函数 B减函数 C先增后减 D先减后增4已知奇函数f(x)对任意的正实数x1，x2(x1x2)，恒有(x1x2)(f(x1)f(x2)>0，则一定正确的是( )Af(4)>f(6) Bf(4)<f(6) Cf(4)>f(6) Df(4)<f(6)5定义在R上的函数f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，当x<0时，f(x)>0，则函数f(x)在a，b上

11、有()A最小值f(a) B最大值f(b) C最小值f(b) D最大值f6.函数y(x3)|x|的递增区间是_7若函数y|2x1|，在(，m上单调递减，则m的取值范围是_8若f(x)在区间(2，)上是增函数，则a的取值范围是_9求下列函数的单调区间：yx22|x|1； 10已知函数f(x)a·2xb·3x，其中常数a，b满足ab0.(1)若ab>0，判断函数f(x)的单调性； (2)若ab<0，求f(x1)>f(x)时x的取值范围11函数f(x)的定义域为(0，)，且对一切x>0，y>0都有ff(x)f(y)，当x>1时，有f(x)>0.(1)求f