二次函数压轴题(一)基本公式

1、数学优培特训二次函数压轴题特训（一）基本公式 _破解函数压轴题的基础（1）横线段的长度计算：【特点：两端点的y标相等，长度=】。1 若A（2,0），B（10,0），则AB=。2 若A（-2,0），B（-4,0），则AB=。3 若M（-3,0），N（10,0），则MN=。4 若O（0,0），A（6,0），则OA=。5 若O（0,0），A（-4,0），则OA=。6 若O（0,0），A(t,0),且A在O的右端，则OA=。7 若O（0,0），A(t,0),且A在O的右端，则OA=。8 若A(-2t,6),B(3t,6),且A在B的右端，则AB=。9 若A（4t,m）,B(1-2t,m),且B在A的左

2、端，则AB=。10 若P（2m+3,a）,M(1-m,a),且P在B的右端，则PM=。注意：横线段上任意两点的y标是相等的，反之y标相等的任意两个点都在横线段上。 （2）纵线段的长度计算：【特点：两端点的x标相等，长度=】。1 (若A(0,5)，B（0,7），则AB=。2 若A（0，-4），B（0，-8),则AB=。3 若A（0,2），B（0，-6），则AB=。4 若A（0,0），B（0，-9),则AB=。5 若A(0,0)，B(0,-6)，则AB=。6 若O(0,0)，A(0,t),且A在O的上端，则OA=。7 若O（0,0），A（0，t),且A在O的下端，则OA=。8 若A（6，-4t),

3、B(6,3t),且A在B的上端，则AB=。9 若M（m,1-2t),N(m,3-4t),且M在N的下端，则MN=。10 若P（t,3n+2),M(t,1-2n),且P在M的上端，则PM=。注意：纵线段上任意两点的x标是相等的，反之x标相等的任意两个点都在纵线段上。（3）点轴距离： 一个点到x轴的的距离等于该点的y标的绝对值（即），到y轴的距离等于该点的x标的绝对值（即）。1 点（-4,-3)到x轴的距离为，到y轴的距离为。2 若点A（1-2t,)在第一象限，则点A到x轴的距离为，到y轴的距离为_。3 若点M（t,)在第二象限，则点M到x轴的距离为，到y轴的距离为。4 若点A（-t,2t-1)在

4、第三象限，则点A到x轴的距离为，到y轴的距离为。5 若点N（t，)点在第四象限，则点N到x轴的距离为，到y轴的距离为。6 若点P（t ,)在x轴上方，则点到轴的距离为。7 若点（，）在轴下方，则点到轴的距离为。8 若点（，）在轴左侧，则点到轴的距离为。9 若点（，）在轴的右侧，则点到轴的距离为。10 若动点（，）在轴上方，且在轴的左侧，则点到轴的距离为，到轴的距离为。11 若动点（，）在轴上方，且在轴的右侧，则点到轴的距离为，到轴的距离为。12 若动点（，）在轴下方，且在轴的左侧，则点到轴的距离为，到轴的距离为。13 若动点（，）在轴下方，且在轴的右侧，则点到轴的距离为，到轴的距离为。注意：在

5、涉及抛物线，直线，双曲线等上的动点问题中，在动点坐标“一母示”后，还要高度关注动点运动变化的区域（例如：动点在抛物线上位于轴下方，轴右侧的图象上运动），以便准确写出动点坐标中参数字母的取值范围，以及点轴距离是等于相应的相反数，还是其本身。 （）中点坐标的计算：若【（），（），则线段的中点坐标为（）】1 若（，），（，），则中点为。2 若M（0，-6），N（6，-4），则MN的中点坐标为。3 若P（），Q（），则PQ的中点坐标为。4 若A(1,2),B(-3,4),且B为AM的中点，则M点的坐标为。5 若A(-1,3),B(0,2),且A为中点，则点坐标为。6 点（,）关于直线的对称点的坐标为。

6、7 点（,）关于直线的对称点的坐标为_.8 点（,）关于直线的对称点的坐标为_。9 点（,）关于直线的对称点的坐标为。10 点（，）关于直线的对称点的坐标为。11 点（，）关于直线的对称点的坐标为。12 点（,）关于直线的对称点的坐标为。13 点（，）关于直线的对称点的坐标为。14 点（，）关于轴的对称点的坐标为。15 点（,）关于轴的对称点的坐标为。(5) 由两直线平行或垂直，求直线解析式。【两直线平行，则两个k值相等；两直线垂直，则两个k值之积为-1.】1 某直线与直线y=2x+3平行，且过点（1，-1），求此直线的解析式。2 某直线与直线y=x+1平行，且过点（2，3），求此直线的解析式

7、。3 某直线与直线y=平行，且过点（-3，0），求此直线的解析式。4 某直线与y轴交于点P（0,3），且与直线y=平行,求此直线的解析式。5 某直线与x轴交于点P（-2,0），且与直线y=平行，求此直线的解析式。6 某直线与直线y=2x-1垂直，且过点（2,1），求此直线的解析式。7 某直线与直线y=-3x+2垂直，且过点（3,2），求此直线的解析式。8 某直线与直线y=垂直，且过点（2，-1），求此直线的解析式。9 某直线与直线y=垂直，且过点（1，-2），求此直线的解析式。10 某直线与x轴交于点P（-4,0），且与直线y=垂直，求此直线的解析式。(6) 两点间的距离公式：则AB=1 若A

8、（-2,0），B（0，3），则AB=。2 若P（-2,3），Q（1，-1），则PQ=。3 若M（0,2），N（-2,5），则MN=。4 若P（），Q（），则PQ=。5 若A（),B(-1,),则AB=。6 若P(),B(),则。7 若P(),B(),则=。8 若P()，M()，则PM=。9 若（），（），则。10 若（），（），则。11 若（,），（,），则。12 若P(0，-4)，Q(0，-2)，则PQ=。13 若P(3,0)，Q(4,0)，则PQ=。14 若P(1，-4)，Q(2,0)，则PQ=。（7） 直线的斜率公式：【注：所谓斜率，就是一次函数y=kx+b中k的值；可由两个点的坐标直接

9、求得：若A()，B()（），则，（y标之差除以对应的x标之差）】例题：若A(2，-3)，B(-1,4)，则解：A(2，-3)，B(-1,4)， =1 。2 。3 。4 。5 。6 。7 。8 。(8) 点到直线的距离公式：到直线Ax+By+C=0（为了方便计算，A,B,C最好化为整系数）的距离公式为：；运用该公式时，要先把一次函数y=kx+b化为一般式Ax+By+C=0的形式（即：先写x项，再写y项，最后写常数项，等号右边必须是0）。例题：求点P(2,-3)到直线的距离。解：先把直线化为一般式 3x-6y-4=0所以的值就是把点对应代入代数式Ax+By+C中。或者把通过移项化为（同样要先写x项

10、，再写y项，最后写常数项，等号右边必须是0）。从而另解：因为，P(2,-3)所以(注：由于系数中有分数，计算比较繁杂)。12 。3 。4 。5 。6 。7 。8 。9 。10 。11 。12 。13 。在一个题中设计若干常见问题：与y轴交于点B，与x 轴交于C,D（C在D点的左侧），点A为顶点。YCODX 1 判定三角形ABD的形状？并说明理由。Y0DxBA【通法：运用两点间的距离公式，求出该三角形各边的长】2 三角形ABD与三角形BOD是否相似？说明理由。YOXDB A 【通法：用两点间的距离公式分别两个三角形的各边之长，再用相似的判定方法】3 在x轴上是否存在点P，使PB+PA最短？若存在

11、求出点P的坐标，并求出最小值。若不存在，请说明理由。YXOB【通法：在两定点中任选一个点（为了简单起见，常常取轴上的点），求出该点关于题中的动点运动所经过的那条直线的对称点的坐标，再把此对称点与余下定点相连】4 在y轴上是否存在点P，使三角形PAD的周长最小？若存在，求出点P的坐标，并求出周长的最小值;若不存在，请说明理由。YD XA【通法：注意到AD是定线段，其长度是个定值，因此只需最小】5 在对称轴上是否存在点，使三角形是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由。YCOXBx1【通法：对动点的坐标一母示（，）后，分三种情况，若为顶点，则；若B为顶点，则BP=；若为顶点，则。分

12、别用两点间的距离公式求出或表示各线段的长度】。6 若平行于轴的动直线与直线交于点，与抛物线交于点P，若三角形ODF为等腰三角形，求出点P的坐标.YOXD lF PB【通法：分类讨论，用两点间的距离公式】。7 在直线BD下方的抛物线上是否存在点P，使的面积最大？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由。YO DX PB【通法：】8 在直线BD下方的抛物线上是否存在点P，使四边形DOBP的面积最大？若存在，求出点P的坐标，并求出四边形面积的最大值；若不存在，请说明理由。Y O DX B P【通法：或】9 在直线BD下方的抛物线上，10 是否存在点P，使四边形DCBP的面积最大？若存在，求出点P

13、的坐标，并求出四边形面积的最大值；若不存在，请说明理由.YCD X O PB【通法：】11 在直线下方的抛物线上，是否存在点，使点到直线BD的距离最大？若存在，求出点P的坐标，并求出最大距离；若不存在，请说明理由。YOD B P【通法：因为是定线段，点到直线的距离最大，意味着三角形的面积最大】12 在抛物线上，是否存在点，使点到直线BD的距离等于，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。YODXB【通法：在动点坐标一母示后，用点到直线的距离公式，列出方程，求解即可】。13 在抛物线上是否存在点P，使，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。YODXCBA【通法;在动点P的坐标一母示后，把到图形三角形ABD的面积算出，借助于动点坐标把动三角形PBC的面积表示出来，再代入已知中的面积等式】。14 若点P在抛物线上，且PDB=，求点P的坐标。YOXDB【通法：利用，及点B的坐标，求出直线PB的解析式，再把此解析式与抛物线方程组成方程组，即可求出P点的坐标】。15 若Q是线段CD上的一个动点（不与C,D重合），交BC于点E，当三角形QBE的面积最大时，求动点Q的坐标。YO QCXDEB【通法：三角形QBE是三边均动的动三角形，把该三角形分割成两个三角形基本模型的差，即，题中平行线的作用是有两个三角形相似，从而有对应边的比等于对应高的比，最后该动