第12章第3讲一次函数的应用-沪科版八年级数学上册教学案

1、一次函数的应用【要点梳理】要点一、数学建模的一般思路 数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型.要点二、正确认识实际问题的应用在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解.要点诠释：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点.要点

2、三、选择最简方案问题 分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用.一次函数解决实际问题的步骤：（1） 认真分析实际问题中变量之间的关系；（2） 若具有一次函数关系，则建立一次函数的关系式；（3） 利用一次函数的有关知识解题。【典型例题】类型一、利用一次函数的方案选择例1、某商店欲购进甲、乙两种商品，已知甲的进价是乙的进价的一半，购进3件甲商品和1件乙商品恰好用200元，甲、乙两种商品的售价每件分别为80元、130元，该商店决定用不少于6710元且不超过6810元购进

3、这两种商品共100件。（1） 求这两种商品的进价；（2） 该商店有几种进货方案？哪种进货方案可获得最大利润，最大利润是多少？【答案】解：（1）设：甲商品的进价为x元，乙商品的进价为y元，则： 解得： 甲商品的进价为40元；乙商品的进价为80元。（2）设：购进甲商品z件，则购进乙商品100-z件，则： 解得： z是整数，故z的取值为30，31，32. 该商店有三种进货方案。 由题意可知：设利润为w=（80-40）z+（130-80）（100-z） 即：w=-2z+5000 关于利润w的函数是随着z的增大而减小。 当购进甲商品30件时，有最大利润4700元。【变式】某中学计划购买A型和B型桌凳共2

4、00套，经招标，购买一套A型课桌凳比购买一套B型课桌凳少用40元，且购买4套A型和5套B型课桌凳共需1820元。（1） 求购买一套A型课桌凳和一套B型课桌凳各需多少元？（2） 学校根据实际情况，要求购买这两种课桌凳的总费用不能超过40880元，并且购买A型课桌凳的数量不能超过B型课桌凳的，求该校本次购买A型和B型课桌凳共有几种方案？哪种方案的总费用最低？【答案】解：（1）设购买一套A型课桌凳需要x元；购买一套B型课桌凳需要y元，则： 解得：（2）设购买A型课桌凳的数量为z，则购买B型课桌凳的数量为200-z,则： 解得： z的取值范围为：78，79，80. 设购买课桌凳的总费用为w，则： W=

5、180z+220(200-z)=-40z+44000 总费用w是随着z的增大而减小的 当z=80时，w=40800.例2、建设环境优美、文明和谐的新农村，某村村委会决定在村道两旁种植A,B两种树木，需要购买这两种树苗1000棵，A,B两种树苗的相关信息如下表：品种项目单价（元/棵）成活率植树费（元/棵）A2090%5B3095%5设购买A种树苗x棵，绿化村道的总费用为y元，解答下列问题：（1） 写出y与x之间的函数关系式；（2） 若这批树苗种植后成活了925棵，则绿化村道的总费用需要多少钱？（3） 若绿化村道的总费用不超过31000元，则最多可购买B种树苗多少棵？【答案】解：（1）依题意得：y

6、=20x+30(1000-x) 即：y=-10x+30000,0x1000（2）这批树苗成活了925棵，成活率为92.5%，则： 解得：x=500 总费用为：（20+30）×500+5×1000=30000元。（3）20x+30(1000-x)+5×100031000 解得：x500 当x=500时，B中树苗最多，也是500棵。类型二、方案选择问题例3、 学校需要采购一批演出服装，A、B两家制衣公司都愿成为这批服装的供应商。经了解：两家公司生产的这款服装的质量和单价都相同，即男装每套120元，女装每套100元。经洽谈协商：A公司给出的优惠条件是全部服装按单价打七折

7、，但校方需要承担2200元的运费；B公司的优惠条件是男女装均按100元打八折，公司承担运费，另外女生人数是男生人数的2倍少100人，如果设男生的人数为x人。（1） 分别写出学校购买A、B两公司的服装的总费用y1(元)和y2(元)与男生人数x之间的函数关系式。（2） 问：该学校购买哪家制衣公司的服装比较合算？请说明理由。【答案与解析】解：（1）依题意得：y1=120×0.7x+100×0.7(2x-100)+2200 =224x-4800 y2=100×0.8（x+2x-100） =240x-8000（2）当y1>y2，即224x-4800>240x-8

8、000时；解得： x<200当男生人数少于200时，B公司合算；同理：当男生人数多于200时，A公司合算； 当男生人数等于200时，两公司费用一样。举一反三：【变式】某校实行学案式教学，需印制若干份教学学案，印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要。两种印刷方式的费用y(元)与印刷份数x(份)之间的关系如图所示。（1） 填空：甲种收费的函数关系式是 ；乙种收费的函数关系式是 。（2） 该校某年级每次需印制100-450（含100和450）份学案，选择哪种印刷方式较合算？【答案】解：（1）y=0.1x+6；y=0.12x。（2）当0.1x+6&g

9、t;0.12x，即x<300当100<x<300时，乙种印刷方式合算 当300<x<450时，甲种印刷方式合算 当x=300时，甲乙两种印刷方式费用一样。例4、 某社区活动中心为鼓励居民加强体育锻炼，准备购买10副某种品牌的羽毛球拍，每副球拍配x(x2)个羽毛球，供社区居民免费借用。该社区附近A、B两家超市都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为30元，每个羽毛球的标价均为3元，目前两家超市同时在做促销活动：A超市：所有商品均打九折销售；B超市：买一副羽毛球拍送2个羽毛球。设在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yA(元)，在B超市购买羽毛球拍和羽毛

10、球的费用为yB(元)，请解答下列问题：（1） 分别写出yA和yB之间的关系式；（2） 若该活动中心只在一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？（3） 若每副球拍配15个羽毛球，请你帮助该活动中心设计出最省钱的购买方案。【答案与解析】解：（1）依题意得： yA=30×0.9×10+3×0.9x =2.7x+270 yB=30×10+3×（x-20） =3x+240 （2）当yA>yB时，即2.7x+270>3x+240， 解得x<100. 同理，当yA<yB时，x>100。 当羽毛球超过100个时，在B超市购买划算

11、； 当羽毛球少于100个时，在A超市购买划算。 （3）先在B超市购买10副羽毛球拍，再在A超市购买130个羽毛球。类型一、简单的实际问题某工厂有甲种原料130kg，乙种原料144kg。现用这两种原料生产出A,B两种产品共30件。已知生产每件A产品需甲种原料5kg，乙种原料4kg，且每件A产品可获利700元；生产每件B产品需甲种原料3kg，乙种原料6kg，且每件B产品可获利900元。设生产A产品x件（产品件数为整数），根据以上信息解答下列问题：（1） 生产A,B两种产品的方案有几种；（2） 设生产这30件产品可获利y元，写出y关于x的函数解析式，写出（1）中利润最大的方案，并求出最大利润。【答案

12、】解：（1）依题意得： 解得： 16x20. 生产A,B两种产品的方案有5种。 （2）y=700x+900(30-x) =-200x+27000 当x=16时，有最大利润y=23800.举一反三：【变式】赛龙舟是端午节的主要习俗，某市甲乙两支龙舟队在端午节期间进行划龙舟比赛，从起点A驶向终点B，在整个行程中，龙舟离开起点的距离y(h)与时间x(min)的对应关系如图所示，请结合图象解答下列问题：（1） 起点A与终点B之间相距多远？（2） 哪支龙舟队先出发？哪支龙舟队先到达终点？（3） 分别求甲、乙两支龙舟队的y与x函数关系式；（4） 甲龙舟队出发多长时间时两支龙舟队相距200m？【答案】（1）

13、起点A与终点B之间相距3000m； （2）甲队先出发，乙队先到达终点。 （3）设甲队直线的解析式为：y=kx(k0) 甲直线过点（25，3000） 3000=25k 解得：k=120 甲直线的解析式为：y=120x 设乙直线的解析式为：y=k1x+b(k10) 乙直线过点（5，0）和（20，3000） 解得： 乙直线的解析式为：y=200x-1000 （4）设甲队出发t分钟时两队相距200m |120x-(200x-1000)|=200 即：120x-(200x-1000)=±200 解得：x=10或x=15类型二、方案选择问题甲乙两组工人同时加工某种零件，乙组工作中有一次停产更换设

14、备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍，两组各自加工零件的数量y(件)与时间x(时)的函数图象如图所示。（1） 求甲组加工零件的数量y与时间x之间的函数关系式；（2） 求乙组加工零件的总量a的值；（3） 甲乙两组加工出的零件合在一起装箱，每够300件装一箱，零件装箱的时间忽略不计，求经过多长时间恰好装满第一箱？再经过多长时间恰好装满第2箱？【答案与解析】解：（1）设甲组的函数关系式为：y1=kx(k0) 甲组代表的函数直线过点（6，360） 6k=360 k=60 甲组函数关系式为：y=60x （2）设乙组前2小时的函数关系式为：y2=k1x(k10) 乙组前2小时的函数直线经过点（2，1

15、00） 2k1=100 k1=50 乙组前2小时的函数关系式为：y=50x 乙组更换设备之后的函数关系式为：y=100x a=100+100×2=300 （3）当x=2.8时，y1=168,y2=100,y1+y2<300 设再过t时，y1+y2=300 即：168+100+60t+100t=300 解得：t=0.2 经过3小时恰好装满第一箱。 设再经过T小时装满第2箱， 即：60T+100T=300 解得： 再经过小时恰好装满第2箱。举一反三：库尔勒某乡A,B两村盛产香梨，A村有香梨200吨，B村有香梨300吨，现将这些香梨运到C,D两个冷藏仓库。已知C仓库可储存240吨，D

16、仓库可储存260吨，从A村运往C,D两处的费用分别为每吨40元和45元；从B村运往C,D两村的费用分别为每吨25元和32元。设从A村运往C仓库的香梨为x吨，A,B两村运香梨往两仓库的运费分别为yA元，yB元。（1） 请填写下表，并求出yA，yB之间的函数关系式； CD总计Ax吨200吨B300吨总计240吨 260吨500吨（2） 当x为何值时，A村的运费较少？（3） 请问怎样调运，才能使两村的运费之和最小？求出最小值。【答案】解 ：（1） CD总计Ax吨200-x200吨B240-x60+x300吨总计240吨260吨500吨由上表可得：yA=40x+45(200-x)=-5x+9000 y

17、B=25(240-x)+32(60+x)=7x+7920（2）yA=-5x+9000，yA随x的增大而减小 当x=200时，A村费用最少为8000元。（3）设Y=yA+yB=-5x+9000+7x+7920=2x+16920, Y随x的增大而增大 当x=0时，Y取得最小值为16920.例7、某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划用这两种原料生产A、B两种产品共50件，己知生产l件A种产品需用甲种原料9千克，乙种原料3千克，可获利700元；生产1件B种产品，需用甲种原料4千克，乙种原料10千克，可获利润1200元(1)按要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案?请你设计出来

18、(2)设生产A、B两种产品获总利润为元，其中生产A种产品的件数为，试写出与之间的函数解析式，并利用函数性质说明(1)中哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？【答案与解析】解：本题给出的信息繁杂、数据较多，可用列表分析， (1)设安排生产A种产品件，则B种产品为(50)件，由题意得解得 是整数， 只能取30、31、32 生产方案有三种，分别为A种30件，B种20件；A种31件，B种19件；A种32件，B种18件(2)由生产A种产品的件数为，则7001200(50)50060000，是的一次函数， 5000，根据一次函数的性质， 随的增大而减小， 当30，值最大，500×306000045000，即安排生产A种产品30件，B种产品20件时，获得利润最大，最大利润是45000元例8、某送奶公司计划在三栋楼之间建一个取奶站，三栋楼在同一条直线，顺次为A楼、B楼、C楼，其中A楼与B楼之间的距离为40米，B楼与C楼之间的距离为60米已知A楼每天有20人取奶，B楼每天有70人取奶，C楼每天有60人取奶，送奶公司提出两种建站方案 方案一：让每天所有取奶的人到奶站的距离总和最小； 方案二：让每天A楼与C楼所有取奶的人到奶站的距离之和等于B楼所有取奶的人到奶站的距离之