结构力学第11章结构极限荷载与弹性稳定

1、11-1 概述11-2 基本概念11-3 比例加载一般规律11-4 超静定结构的极限荷载计算11-5 压杆临界荷载1、弹性分析方法、弹性分析方法 把结构当作理想弹性体，用容许应力法计算结构的强度。把结构当作理想弹性体，用容许应力法计算结构的强度。 其强度条件为其强度条件为2、塑性分析方法、塑性分析方法 按极限荷载计算结构强度，以结构进入塑性阶段并最后丧失按极限荷载计算结构强度，以结构进入塑性阶段并最后丧失 承载能力时的极限状态作为结构破坏的标志。强度条件为承载能力时的极限状态作为结构破坏的标志。强度条件为11-1 概述max结构的实际最大应力；结构的实际最大应力；材料的容许应力；材料的容许应力

2、； u材料的极限应力；材料的极限应力； k安全系数。安全系数。F结构实际承受的荷载；结构实际承受的荷载；Fu极限荷载；极限荷载；K安全系数。安全系数。 maxukuFFK11-1 概述 结构塑性分析中，为简化计算，把材料的应力与应变关结构塑性分析中，为简化计算，把材料的应力与应变关系作合理地简化。简化为系作合理地简化。简化为理想弹塑性理想弹塑性材料。如图所示。材料。如图所示。OA段：材料是理想弹性的，应力段：材料是理想弹性的，应力 与应变成正比。与应变成正比。AB段：材料是理想塑性的，应力不段：材料是理想塑性的，应力不 变，应变可以任意增长。变，应变可以任意增长。CD段：应力减为零时，有残余应

3、段：应力减为零时，有残余应 变变OD。 结构的塑性分析中，叠加原理不再适用。只考虑荷载一结构的塑性分析中，叠加原理不再适用。只考虑荷载一次加于结构，且各荷载按同一比例增加次加于结构，且各荷载按同一比例增加比例加载比例加载。主要内容主要内容：解释几个基本概念，：解释几个基本概念，极限弯矩极限弯矩、塑塑性铰性铰和和极限状态极限状态。图图示例示例：纯弯曲状态纯弯曲状态下的下的理想弹塑性材料理想弹塑性材料的矩的矩形截面梁。形截面梁。随着弯矩随着弯矩MM的增大，梁会经历由弹性阶段到弹的增大，梁会经历由弹性阶段到弹塑性阶段最后达到塑性阶段的过程。（塑性阶段最后达到塑性阶段的过程。（见下页图）见下页图）Mh

4、Mb11-2 基本概念实验表明实验表明：无论在哪一个阶段，梁弯曲变形时：无论在哪一个阶段，梁弯曲变形时的的平面假定平面假定都成立。都成立。a)b)c)ssy0y0sssshb11-2 基本概念一、极限弯矩一、极限弯矩分析：分析：(1) 图图(a)表示表示截面处于弹性阶段截面处于弹性阶段。该阶段的最大应力发生在截面最外纤维处，该阶段的最大应力发生在截面最外纤维处，称为称为屈服极限屈服极限 y，此时的弯矩，此时的弯矩Ms称为称为弹性弹性极限弯矩极限弯矩，或称为，或称为屈服弯矩屈服弯矩。即：。即： ssa)26SsbhM （2）图图(b）截面处于弹塑性阶段截面处于弹塑性阶段，截面外边缘处成为塑性区，

5、截面外边缘处成为塑性区，应力为常数应力为常数， b)y0y0ss11-2 基本概念 = s；在截面内部在截面内部(|y| y0)则则仍为仍为弹性区弹性区，称为，称为弹性弹性核核，其其应力为直线分布应力为直线分布，即：，即： (3) 图图(c)表示表示截面达到塑性流动阶段截面达到塑性流动阶段。在弹塑性阶段中，随着在弹塑性阶段中，随着M增大，弹性核的增大，弹性核的高度逐渐减小，最后高度逐渐减小，最后y00。此时相应弯此时相应弯矩矩是截面所能承受的最大弯矩，是截面所能承受的最大弯矩，称为称为“极限弯矩极限弯矩” ，即：，即：c)ss11-2 基本概念 比较两式比较两式可知：对于矩形截面，可知：对于矩

6、形截面，极限弯矩为弹极限弯矩为弹性极限弯矩的性极限弯矩的1.5倍倍，即，即Mu=1.5Ms。 二、二、 塑性铰和极限荷载塑性铰和极限荷载 在塑性流动阶段，在极限弯矩在塑性流动阶段，在极限弯矩Mu保持不变的保持不变的情况下，情况下，两个无限靠近的截面可以产生有限的相对两个无限靠近的截面可以产生有限的相对转角转角。因此，当某截面弯矩达到极限弯矩。因此，当某截面弯矩达到极限弯矩Mu时，就时，就称该截面产生了称该截面产生了塑性铰塑性铰。 塑性铰是单向铰塑性铰是单向铰。因卸载时应力增量与应变增。因卸载时应力增量与应变增量仍为直线关系，截面恢复弹性性质。量仍为直线关系，截面恢复弹性性质。 因此因此塑性铰塑

7、性铰11-2 基本概念只能沿弯矩增大的方向发生有限的只能沿弯矩增大的方向发生有限的相对相对转角转角。若沿若沿相反方向变形，则截面立即恢复其弹性刚度而不再相反方向变形，则截面立即恢复其弹性刚度而不再具有铰的性质具有铰的性质。FPul/2l/2FPuMuMu 上图示上图示简支梁跨中受集中力作用，随着荷载的简支梁跨中受集中力作用，随着荷载的增大，梁跨中截面弯矩达到极限弯矩增大，梁跨中截面弯矩达到极限弯矩Mu，跨中截，跨中截面形成塑性铰。这时简支梁已成为机构，面形成塑性铰。这时简支梁已成为机构，跨中挠度跨中挠度11-2 基本概念可以继续增大而承载力不能增大，这种状态称为可以继续增大而承载力不能增大，这

8、种状态称为极极限状态限状态，相应的荷载称为，相应的荷载称为极限荷载极限荷载FPu。例例11-1-1 设有矩形截面简支梁在跨中承受集中荷载设有矩形截面简支梁在跨中承受集中荷载作用作用(图图a)，试求极限荷载，试求极限荷载FPu 。解解：由：由M图知图知跨中截面跨中截面弯矩最大弯矩最大，在极限荷载作用，在极限荷载作用下，下，塑性铰将在跨中截面形塑性铰将在跨中截面形成成，弯矩达极限值，弯矩达极限值Mu(图图b)。11-2 基本概念由此得出由此得出极限荷载极限荷载FPu，即有，即有 最后指出：这几个概念是非常重要的。讨论矩最后指出：这几个概念是非常重要的。讨论矩形截面梁在纯弯曲状态下所获得的结果，利用

9、其它形截面梁在纯弯曲状态下所获得的结果，利用其它形式的截面形状，也有类似的结果。形式的截面形状，也有类似的结果。由由静力条件静力条件，有：，有：11-2 基本概念 为了保证结构的安全和正常使用，设计中除了进行强为了保证结构的安全和正常使用，设计中除了进行强度计算和刚度验算外，还须计算其稳定性。度计算和刚度验算外，还须计算其稳定性。11-2 基本概念 三、三、 稳定问题稳定问题 1、三种不同性质的平衡、三种不同性质的平衡 稳定平衡：在某个平衡状态，轻微干扰，偏离原位，稳定平衡：在某个平衡状态，轻微干扰，偏离原位， 干扰消失，恢复原位。干扰消失，恢复原位。 中性平衡：由稳定平衡到不稳定平衡的中间状

10、态。中性平衡：由稳定平衡到不稳定平衡的中间状态。 不稳定平衡：在某个平衡状态，轻微干扰，偏离原位，不稳定平衡：在某个平衡状态，轻微干扰，偏离原位， 干扰消失，不能恢复原位。干扰消失，不能恢复原位。结构失稳现象分为：第一类失稳现象、第二类失稳现象。结构失稳现象分为：第一类失稳现象、第二类失稳现象。 图图a所示理想中心受压直杆。当所示理想中心受压直杆。当F值达到值达到某一特定数值时，由于干扰压杆发生微小弯某一特定数值时，由于干扰压杆发生微小弯曲，取消干扰后，压杆将停留在弯曲位置上，曲，取消干扰后，压杆将停留在弯曲位置上，不能回到原来的直线位置，如图不能回到原来的直线位置，如图b。 此时压杆既具有原

11、来只有轴力的直线平衡形此时压杆既具有原来只有轴力的直线平衡形式，也具有新的同时受压和受弯的弯曲平衡形式式，也具有新的同时受压和受弯的弯曲平衡形式这种现象为压杆这种现象为压杆丧失了第一类稳定性丧失了第一类稳定性。分支点失稳分支点失稳11-2 基本概念 2、两类不同形式的失稳、两类不同形式的失稳 图图a所示承受均布水压力的圆环，当压所示承受均布水压力的圆环，当压力达到临界值力达到临界值qcr时，出现了新的非圆的平衡时，出现了新的非圆的平衡形式。形式。 图图b所示承受均布荷载的所示承受均布荷载的抛物线拱，图抛物线拱，图c 所示刚架，荷所示刚架，荷载达到临界值之前处于受压载达到临界值之前处于受压状态，

12、荷载达到临界值时出状态，荷载达到临界值时出现同时具有压缩和弯曲变形现同时具有压缩和弯曲变形的新的平衡形式。的新的平衡形式。 图图c所示工字梁，荷载达到临界值前仅所示工字梁，荷载达到临界值前仅在复板平面内弯曲，荷载达到临界值时发生在复板平面内弯曲，荷载达到临界值时发生斜弯曲和扭转。斜弯曲和扭转。11-2 基本概念丧失第一类稳定性的特征：丧失第一类稳定性的特征：结构的平衡形式及内力和变形状态发生质的突变，结构的平衡形式及内力和变形状态发生质的突变，原有平衡形式已不稳定，同时出现新的有质的区别的平衡形式。原有平衡形式已不稳定，同时出现新的有质的区别的平衡形式。 图图a所示由塑性材料制成所示由塑性材料

13、制成的偏心受压直杆，一开始就处的偏心受压直杆，一开始就处于同时受压和弯曲的状态。当于同时受压和弯曲的状态。当F达到临界值达到临界值Fcr时，荷载不增时，荷载不增加或减小，挠度仍继续增加如加或减小，挠度仍继续增加如图图b丧失第二类稳定性。丧失第二类稳定性。极值点失稳极值点失稳 工程结构实际上均属于第二类稳工程结构实际上均属于第二类稳定问题。可将其简化为一类稳定问题定问题。可将其简化为一类稳定问题来处理。来处理。11-2 基本概念11-3 比例加载一般规律结构处于极限受力状态时必须满足的条件即所求极结构处于极限受力状态时必须满足的条件即所求极限荷载必须同时满足下面三个条件限荷载必须同时满足下面三个

14、条件平衡条件：结构处于极限状态时，结构的整体或平衡条件：结构处于极限状态时，结构的整体或任一局部都能维持平衡。任一局部都能维持平衡。单向机构条件：单向机构条件：在极限状态下，在极限状态下，结构已有足够数量结构已有足够数量的截面内力达到极限值而使结构转化为机构，能够沿的截面内力达到极限值而使结构转化为机构，能够沿荷载作正功的方向作单向运动。荷载作正功的方向作单向运动。uMM11-3 比例加载一般规律内力局限条件内力局限条件( (屈服条件屈服条件) )：在极限状态下，结构任：在极限状态下，结构任一截面的内力都不超过其极限值。任一截面弯矩绝一截面的内力都不超过其极限值。任一截面弯矩绝对值都不超过其极

15、限弯矩对值都不超过其极限弯矩可破坏荷载可破坏荷载可接受荷载可接受荷载可破坏荷载可破坏荷载 只满足平衡条件和单向机构条件。只满足平衡条件和单向机构条件。可接受荷载可接受荷载 只满足平衡条件和内力局限条件。只满足平衡条件和内力局限条件。PFPFPF 将满将满足单向机构条件和平衡条件的荷载称为可破坏足单向机构条件和平衡条件的荷载称为可破坏荷载。换言之对于任一单向破坏机构，用平衡条件求得荷载。换言之对于任一单向破坏机构，用平衡条件求得的荷载值，用的荷载值，用 表示。表示。 将满足内力局限条件和平衡条件的荷载称为可接受荷将满足内力局限条件和平衡条件的荷载称为可接受荷载。换言之如果在某个荷载值的情况下，能

16、够找到某一内载。换言之如果在某个荷载值的情况下，能够找到某一内力状态与之平衡，且各截面的内力都不超过其极限值，此力状态与之平衡，且各截面的内力都不超过其极限值，此荷载值称为可接受荷载用荷载值称为可接受荷载用 表示。表示。PF11-3 比例加载一般规律基本定理基本定理: :可破坏荷载可破坏荷载 恒不小于可接受荷载恒不小于可接受荷载 ，即，即PFPFPPFF唯一性定理：极限荷载值是唯一确定的。若某一荷唯一性定理：极限荷载值是唯一确定的。若某一荷载既是可破坏荷载，又是可接受荷载，则该荷载就是载既是可破坏荷载，又是可接受荷载，则该荷载就是极限荷载。极限荷载。上限定理（极小定理）上限定理（极小定理）可接

17、受荷载是极限荷载的下限。可接受荷载是极限荷载的下限。换言之，可接受荷载换言之，可接受荷载中的极大值是中的极大值是即极限荷载。即极限荷载。PuPFF三、比例加载的一般定理三、比例加载的一般定理可破坏荷载是极限荷载的上限。可破坏荷载是极限荷载的上限。换言之，可破坏荷载中换言之，可破坏荷载中的极小值的极小值即即是是极限荷载。极限荷载。PuPFF下限定理（极大定理）下限定理（极大定理）11-3 比例加载一般规律一、单跨超静定梁的极限荷载 为了求得极限荷载，需为了求得极限荷载，需确定结构的破坏形态确定结构的破坏形态，即即确定塑性铰的位置及数量确定塑性铰的位置及数量。 塑性铰首先出现在弯矩最大的截面塑性铰

18、首先出现在弯矩最大的截面，随着荷载，随着荷载的增大，其他截面也可能出现的增大，其他截面也可能出现新的塑性铰新的塑性铰直至结构直至结构变为变为具有自由度的机构从而丧失承载能力具有自由度的机构从而丧失承载能力为止。为止。 极限荷载的求解极限荷载的求解无需考虑无需考虑变形协调条件、结构变形协调条件、结构变形的过程变形的过程以及以及塑性铰形成的次序。塑性铰形成的次序。11-4 超静定结构的极限荷载计算 利用利用静力平衡方程静力平衡方程求求极限荷载极限荷载的方法称为的方法称为静力法静力法。 利用利用虚功方程虚功方程求求极限荷载极限荷载的方法称为的方法称为虚功法。虚功法。例11-4-1 求梁的极限荷载FP

19、u,截面极限弯矩为Mu。1）静力法：静力法：1142614()2uPuuuPuuuMF lMMFMMll解：解：结构在结构在A、C截面截面出现塑性铰。出现塑性铰。FPCl/2l/2ABFPuMuCABMu解释解释11-4 超静定结构的极限荷载计算 令机构产生虚位移，使令机构产生虚位移，使C C截面竖向位移和荷载截面竖向位移和荷载FPu同向，大小为同向，大小为。2）虚功法虚功法1212/ 242lll外力虚功：外力虚功：内力虚功：内力虚功：12624()uiuuuMWMMMlll由由We=Wi，可得：，可得： 6uPuMFlFPuCABMuMu121l/2l/21212/ 242lllPueFW

20、 一次超静定一次超静定二个塑性铰二个塑性铰11-4 超静定结构的极限荷载计算例11-4-2 求梁的极限荷载FPu，已知极限弯矩为Mu。2112244uulWq lq l 内力虚功内力虚功由由We=Wi，可得，可得2144uuq lM所以有所以有216uuMqlquACBMuMuMu24l4l2l解：解：外力虚功外力虚功ACBql/2l/2uuuuiMMMMW4 2三次超静定三次超静定三个塑性铰三个塑性铰11-4 超静定结构的极限荷载计算例11-4-3 已知梁截面极限弯矩为Mu ，求极限荷载 。解解:塑性铰位置：塑性铰位置：A截面及梁上最大弯矩截面截面及梁上最大弯矩截面C。整体平衡整体平衡0AM

21、 21 1()2RBuuFq lMl12uRBuMFq llBlqAquABl-xMuMuCCARBFx022uuRBMlqlF11-4 超静定结构的极限荷载计算RBuFq x1122uuuuuMMq lq xxllq lBCBC段平衡段平衡0yF 0QCRBuFFq xquxBCMuBCBC段平衡段平衡0CMQCFRBF2222111222uRBuuuuMF xq xq xq xq x2222222(2)1111()(2)222(2)8uuuuuuuuuuuMq lMMqlqq lMq lq lq lquxBCMuQCF11-4 超静定结构的极限荷载计算24223.31411.6572uuu

22、l MMqll24242224412144161211.31422uuuuuul Ml Ml Ml Ml Mqll42221240uuuul ql M qM222(2)8uuuuq lMq l M11-4 超静定结构的极限荷载计算例11-4-4 求图示梁的极限荷载。塑性铰的可能位置：塑性铰的可能位置：A A、B B、DD。ABCD/3l/3l/3lPF解解: :ABAB段极限弯矩为段极限弯矩为 ，BCBC段极限弯矩为段极限弯矩为Mu。uMABCDFPuMuMuBD/3l/3l/3l11-4 超静定结构的极限荷载计算1）B、D截面出现塑性截面出现塑性 铰，由弯矩图可知，只铰，由弯矩图可知，只有当

23、有当 时，此破时，此破坏形态才可能实现。坏形态才可能实现。PuuBuDFMM 36BDll36()PuuFMll 9(3)PuuuuFMMMlABCDFPuMuMuABCDFPuMuMuBD/3l/3l/3l3uuMM3uuMM11-4 超静定结构的极限荷载计算3339222ADllll3(3)2(3)PuuuuuFMMlMM ABCDFPuMuACDFPuMuDA2 /3l/3l2）A、D截面出现塑性铰。截面出现塑性铰。 由弯矩图可知，只有当由弯矩图可知，只有当 即即 时，此破坏形态才可能实现。时，此破坏形态才可能实现。PuuAuDFMM 3922PuuuFMMll 1()2uuuMMM3u

24、uMMuM uM1()2uuMM11-4 超静定结构的极限荷载计算3）当当 时，则前面两种破坏形态均可能出时，则前面两种破坏形态均可能出现，则：现，则： 为了计算超静定结构的极限荷载，关键是确定为了计算超静定结构的极限荷载，关键是确定真实的破坏形态，即真实的破坏形态，即塑性铰的数量及位置塑性铰的数量及位置。无需考。无需考虑变形协调条件，也不受温度变化和支座移动等因虑变形协调条件，也不受温度变化和支座移动等因素的影响，因为这些因素只影响变形的发展过程，素的影响，因为这些因素只影响变形的发展过程，并不影响极限荷载的大小。并不影响极限荷载的大小。33(3)( 33)229 P uuuuuuFMMMM

25、llMl33( 3) ( 3 3)229 P uuuuuuFMMMMllMl 3uuMM 11-4 超静定结构的极限荷载计算 假设假设: 1）连续梁每一跨内等截面，但各跨的截连续梁每一跨内等截面，但各跨的截面可以彼此不同，故各跨可以有不同的面可以彼此不同，故各跨可以有不同的Mu； 2）各跨荷载方向相同，且按相同比例增大。各跨荷载方向相同，且按相同比例增大。 因此，因此，连续梁只能在各跨独立形成连续梁只能在各跨独立形成破坏机构破坏机构，而而不能由相邻两跨联合形成破坏机构不能由相邻两跨联合形成破坏机构。因为各跨在。因为各跨在竖向荷载作用下，每跨内的最大负弯矩只可能在各竖向荷载作用下，每跨内的最大负

26、弯矩只可能在各跨两端出现，即负塑性铰只可能跨两端出现，即负塑性铰只可能出现在出现在两端。两端。二、连续梁的极限荷载二、连续梁的极限荷载 主要讨论连续梁破坏机构的形式。主要讨论连续梁破坏机构的形式。11-4 超静定结构的极限荷载计算 连续梁一跨破坏就认为连续梁丧失承载能力连续梁一跨破坏就认为连续梁丧失承载能力。连续梁极限荷载的求解同单跨梁。连续梁极限荷载的求解同单跨梁。1PF2PFuM1 PF2 PFuM1PF2PFuMuM1PF2PFuMuM11-4 超静定结构的极限荷载计算例例11-4-5 求连续梁的极限荷载。求连续梁的极限荷载。1(2)2PuulFM16uPuMFl解：解： 1) AB跨跨

27、ABCMu2FPMu1.2Mu1.2Mu1.2Mu0.5l0.5l0.75l0.75lFPABCFPu1MuMu2/2l11-4 超静定结构的极限荷载计算2) BCBC跨跨2321.2(2)4PuuulFMM234.62PuulFM23.07uPuMFl3.07uPuMFl故ABCMu2FPu21.2Mu1.2Mu23/4l注意注意B B点点12PuPuFF11-4 超静定结构的极限荷载计算例例11-4-6 在图（在图（a）所示的连续梁中，每跨为等截）所示的连续梁中，每跨为等截面。设面。设AB和和BC跨的正极限弯矩为跨的正极限弯矩为Mu，CD跨的正极跨的正极限弯矩为限弯矩为2Mu；又各跨负极限

28、弯矩为正极限弯矩的；又各跨负极限弯矩为正极限弯矩的1.2倍。试求此连续梁的极限荷载倍。试求此连续梁的极限荷载Fqu。(a)ABCD1.5FqlFqlFql0.5l 0.5l0.75l0.75l解：解：分别求出各跨独立破坏时的破坏荷载。分别求出各跨独立破坏时的破坏荷载。11-4 超静定结构的极限荷载计算(b) 1.2MuMu注意注意：塑性铰处的极限弯矩与由它产生的转角：塑性铰处的极限弯矩与由它产生的转角方向一致。方向一致。AB跨破坏时跨破坏时(图图b)：126.4quuFMl1.2()1.2()0.50.50.5quBuABuuFlMMMMlll11-4 超静定结构的极限荷载计算(c)1.2Mu

29、1.2Mu MuBC跨破坏时跨破坏时(图图c)：CD跨破坏时跨破坏时(图图d)：(d)2.4Mu1.2Mu 2Mu226.4quuFMl8.81.21.2()2quBuCuBCuF lMMMMl11-4 超静定结构的极限荷载计算 比较比较可知，可知，AB跨首先破坏，极限荷载为：跨首先破坏，极限荷载为：(d)2.4Mu1.2Mu 2Mu37.61.22.42()20.75quCuDuCDuF lMMMMl326.756quuFMl123quququFFF126.4ququuFFMl11-4 超静定结构的极限荷载计算 本节仅限于讨论单层单跨刚架的极限荷载。对本节仅限于讨论单层单跨刚架的极限荷载。对

30、于刚架，首先要确定塑性铰可能产生的截面位置，于刚架，首先要确定塑性铰可能产生的截面位置，然后根据可能的破坏机构用机构法或试算法求极限然后根据可能的破坏机构用机构法或试算法求极限荷载。荷载。例例11-4-7 求刚架的求刚架的极限荷载。极限荷载。ABCDEFPFPMu1.5MuMulll解：解： 1、机构法、机构法刚架可在刚架可在A A、B B、C C、DD、E E产生产生塑性铰塑性铰。一、钢架的极限荷载11-4 超静定结构的极限荷载计算三种可能的破坏机构为：三种可能的破坏机构为： 梁机构；梁机构； 侧移机构；侧移机构； 组合机构。组合机构。1）梁机构121.525PuuuFlMMM 15uPMF

31、lABCDEMu1.5MuMulll1PF1PF2la) 梁机构梁机构11-4 超静定结构的极限荷载计算2）侧移机构24PuFlM24uPMFlb) 侧移机构侧移机构ABCDEMuMullllMuMul2PF2PFc) 组合机构组合机构A AB BC CDDE E1.5MuMullllMuMul2l3PF3PF3341.52PPuuFlFlMM 33.5uPMFl3）组合机构）组合机构11-4 超静定结构的极限荷载计算可见，极限荷载为：可见，极限荷载为：33.5uPuPMFFl 若分别选定上述三种破坏机构：梁机构、侧移若分别选定上述三种破坏机构：梁机构、侧移机构和组合机构，则求出的可破坏荷载同

32、上。机构和组合机构，则求出的可破坏荷载同上。 下面分别画出三种破坏机构对应的弯矩图，检下面分别画出三种破坏机构对应的弯矩图，检验结构任一截面弯矩是否均小于验结构任一截面弯矩是否均小于Mu，若结论成立，若结论成立，则则 也是可接受荷载，因此该荷载就是极限荷载。也是可接受荷载，因此该荷载就是极限荷载。PF2. 试算法试算法11-4 超静定结构的极限荷载计算1）梁机构52uyEMFl55222uuAEMMMMllll由由BDBD杆平衡可求得杆平衡可求得0AM 整体平衡：整体平衡：5AuEMMM 故故MA和和ME中一定有一个数值大于中一定有一个数值大于Mu，不满足不满足内力局限条件。内力局限条件。AB

33、CDEMu1.5MuMulllAMEM5uMl5uMl52uMl11-4 超静定结构的极限荷载计算2）侧移机构2CuMM用叠加法画用叠加法画BDBD杆弯矩图可得：杆弯矩图可得： 。可见，该弯矩图不满足内力局限条件。可见，该弯矩图不满足内力局限条件。ABCDEMu2MuMulllMuMu4uMl4uMl11-4 超静定结构的极限荷载计算3）组合机构2()uMl1.50.5()uBuuMMlMMl 右拉可见，该弯矩图满足屈服条件，故极限荷载为：可见，该弯矩图满足屈服条件，故极限荷载为：33.5uPuPMFFl柱柱DEDE下端剪力为：下端剪力为：1.5()uMl柱柱BABA下端剪力为：下端剪力为：由

34、柱由柱ABAB平衡可得：平衡可得：ABCDE0.5Mu1.5MuMulllMuMu3.5uMl3.5uMl1.5uMl2uMl11-4 超静定结构的极限荷载计算 2.522 ()24.5PPPFlWFlllF l 4228iuuuWMMM1.778uPMFl解：解：取组合机构，近似取梁取组合机构，近似取梁BC的跨中截面产生塑性铰。的跨中截面产生塑性铰。MuMuABCD2MuFP2l2l2.5/PqFlMuABCD2Mu2l2lMuMu2PF2.5/PqFl2 l l例例11-4-8 求刚架的极限荷载。求刚架的极限荷载。11-4 超静定结构的极限荷载计算 作结构作结构M 图，求得跨中图，求得跨中

35、附近截面最大弯矩为：附近截面最大弯矩为：max2.07uMM21.7781.7182.07uuPMMFll1.7181.778uuPuMMFll用因子用因子2/2.07对对 进行进行 故故 不是不是极限荷载，应进行修正。极限荷载，应进行修正。折折减得：减得：实际上应有实际上应有1(1.718 1.778)1.7482uuPuMMFll取两者平均值取两者平均值MuABCD2MuMuMu0.556Mu2.07Mu1.778uPMFl0.778/uMl/uMlPF11-4 超静定结构的极限荷载计算确定临界荷载的方法确定临界荷载的方法静力法静力法应用静力平衡条件求解；应用静力平衡条件求解；能量法能量法

36、应用以能量形式表示的平衡条件。应用以能量形式表示的平衡条件。结构稳定的自由度结构稳定的自由度：为确定结构失稳时所有可能的变形状态：为确定结构失稳时所有可能的变形状态 所需的独立参数的数目。所需的独立参数的数目。 图图a所示所示支承在抗转支承在抗转弹簧上的刚弹簧上的刚性压杆，确性压杆，确定失稳时变定失稳时变形状态的独形状态的独立参数为立参数为1，只有只有一个自一个自由度由度。 图图b所示结所示结构，则构，则需两个需两个独立参独立参数，具数，具有有两个两个自由度自由度。 图图c所所示弹性压示弹性压杆，则需杆，则需无限多个无限多个独立参数，独立参数，具有具有无限无限多自由度多自由度。11-5 压杆临

37、界荷载静力法静力法依据结构失稳时平衡的二重性，应用静力平衡条件，依据结构失稳时平衡的二重性，应用静力平衡条件， 求解结构在新的形式下能维持平衡的荷载，其最小值求解结构在新的形式下能维持平衡的荷载，其最小值 即为临界荷载。即为临界荷载。 图图a所示单自由度结构，设压杆偏所示单自由度结构，设压杆偏离竖直位置时仍处于平衡状态如图离竖直位置时仍处于平衡状态如图b。由由MA=0有有0sinkFl0当当 时上式满足，对应原有的平衡形式时上式满足，对应原有的平衡形式位移很小时可认为位移很小时可认为sin故有故有0)(kFl稳定方程或特征方程稳定方程或特征方程0对于新的平衡形式，对于新的平衡形式， 则有则有0

38、kFl11-5 压杆临界荷载由稳定方程解得由稳定方程解得lkF cr结构处于随遇平衡状态，如图结构处于随遇平衡状态，如图c中的中的AB段。段。sinlkF 若采用精确的方程则有若采用精确的方程则有若只求临界荷载，可采用近似方程求解。若只求临界荷载，可采用近似方程求解。 当当 时，时， 与与F的数值仍是一一对应的数值仍是一一对应的，如图的，如图c中的中的AC段。段。0n个自由度的结构个自由度的结构对新的平衡形式列出对新的平衡形式列出n个平衡方程个平衡方程n个独立参数的齐次方程个独立参数的齐次方程系数行列式系数行列式D=0的条的条件件建立稳定方程建立稳定方程n个根中的最小值为个根中的最小值为临界荷

39、载临界荷载11-5 压杆临界荷载例例11-5-1 试求图试求图a所示结构的临界荷载。两抗移弹性支座的所示结构的临界荷载。两抗移弹性支座的 刚均为刚均为k。解：结构有两个自由度，失稳时解：结构有两个自由度，失稳时A、 B点的位移如图点的位移如图b。设位移是微小的，由设位移是微小的，由MB=0，MC=0020)(211112lkylkyFylkyyyF即即)a (0)2(0)(2121klyyFklFyyFkly1、y2不全为零，则应有不全为零，则应有0)2()(klFklFFkl展开展开0)(322klklFF解得解得klklklF382. 0618. 2253临界荷载临界荷载klF382. 0

40、cr11-5 压杆临界荷载由由(a)式不能求得式不能求得y1、y2的确定解答，但可以求出两者的比值。的确定解答，但可以求出两者的比值。将将klF253代回代回(a)式可得式可得618. 0535112yy相应的位移图如图相应的位移图如图c。将将klF253代回代回(a)式可得式可得618. 1535112yy相应的位移图如图相应的位移图如图d。实际结构必先以图实际结构必先以图d的形式失稳，图的形式失稳，图c只是理论上存在。只是理论上存在。11-5 压杆临界荷载例11-5-3 图图a所示一端固定另一端铰支的等截面中心受压弹所示一端固定另一端铰支的等截面中心受压弹 性直杆，设其已处于新的曲线平衡形

41、式，则任一性直杆，设其已处于新的曲线平衡形式，则任一 截面的弯矩为截面的弯矩为)(SxlFFyM挠曲线的近似微分方程为挠曲线的近似微分方程为)(SxlFFyMyEI )(SxlEIFyEIFy 令令EIFn 2)(S22xlFFnyny 微分方程的通解为微分方程的通解为)(sincosSxlFFnxBnxAy边界条件为边界条件为0000ylxyyx，代入通解得代入通解得0sincos00nlBnlAFFBnlFFASS(b)11-5 压杆临界荷载 方程方程(b)是关于是关于A、B、FS/F的齐次方程组，的齐次方程组，A=B=FS/F=0时时满足，此时各点位移满足，此时各点位移y均为零。对新的平

42、衡形式要求三者不全均为零。对新的平衡形式要求三者不全为零，方程为零，方程(b)的系数行列式应为零，得稳定方程为的系数行列式应为零，得稳定方程为00sincos1001nlnlnl展开展开nlnl tan此超越方程图解法求解，如图此超越方程图解法求解，如图b。nly 1nlytan2与与 交点的横坐标即为方程的根。最交点的横坐标即为方程的根。最小根小根nl在在3/24.7左侧附近，试算左侧附近，试算求得准确解。求得准确解。493. 4nl求得临界荷载值为求得临界荷载值为EIlEIlEInF222cr19.20493. 411-5 压杆临界荷载势能驻值原理：对于弹性结构，在满足支承条件及位移连续条

43、势能驻值原理：对于弹性结构，在满足支承条件及位移连续条件件 的一切虚位移中，同时又满足平衡条件的位移的一切虚位移中，同时又满足平衡条件的位移 （就是真实的位移）使结构的势能（就是真实的位移）使结构的势能EP为驻值，为驻值，即即0PEVVEPV结构的应变能；结构的应变能； V外力势能。外力势能。外力势能定义为外力势能定义为niiiFV1 Fi 结构上的外力结构上的外力i 与外力相应的虚位移与外力相应的虚位移有限自由度结构有限自由度结构所有可能的位移状态只用有限个独立参数所有可能的位移状态只用有限个独立参数a1，a2，an即可表示，即可表示，EP只是这有限个独立参数的函数。只是这有限个独立参数的函

44、数。单自由度结构单自由度结构EP只是参数只是参数a1的一元函数，势能的变分为的一元函数，势能的变分为11PPddaaEE 结构处于平衡时结构处于平衡时0PE1a是任意的是任意的0dd1PaE故故11-5 压杆临界荷载0dd1PaE由由可建立稳定方程以求解临界荷载。可建立稳定方程以求解临界荷载。多自由度结构势能的变分为多自由度结构势能的变分为nnaaEaaEaaEEP22P11PP由由EP=0及及a1， a2， ，an的任意性，必须有的任意性，必须有000P2P1PnaEaEaE 由此获得一组含由此获得一组含a1， a2， ，an的齐次线性代数的齐次线性代数方程，要使方程，要使a1， a2， ，

45、an不全为零，则此方程组的不全为零，则此方程组的系数行列式应为零系数行列式应为零建立稳定方程建立稳定方程确定临界荷载。确定临界荷载。11-5 压杆临界荷载例例11-5-4 图图a所示压杆所示压杆EI为无穷大，上端水平弹簧的刚度为为无穷大，上端水平弹簧的刚度为k， 试确定其临界荷载。试确定其临界荷载。解：单自由度结构失稳时发生微小的偏解：单自由度结构失稳时发生微小的偏 离如图离如图b。lylylllyllyll221112122121221212弹簧的应变能为弹簧的应变能为21112121kyykyV外力势能为外力势能为212ylFFV结构的势能为结构的势能为21P2ylFklVVE若图若图b结

46、构能维持平衡则有结构能维持平衡则有0dd11PylFklyEy10，故，故0 Fkl临界荷载为临界荷载为klF cr11-5 压杆临界荷载例例11-5-5 用能量法求图用能量法求图a所示结构的临界荷载。所示结构的临界荷载。解：结构具有两个自由度，失稳时发生解：结构具有两个自由度，失稳时发生 图图b所示位移。所示位移。结构处于平衡时结构处于平衡时22212121kykyV结构的势能为结构的势能为lyylyFFV2)(221222)2(2)(21222121PyFklyFyyFkllVVE0)2(10)(1212P211PyFklFylyEFyyFkllyEy1、y2不能全为零不能全为零0)2()

47、(FklFFFkl11-5 压杆临界荷载03222lkklFF展开整理得展开整理得klklklF382. 0618. 2253解得解得klF382. 0cr最小值为临界荷载最小值为临界荷载 图示弹性压杆为无限自由度结构，失稳图示弹性压杆为无限自由度结构，失稳时发生弯矩变形，应变能为：时发生弯矩变形，应变能为：lxEIMV02d21yEIM 2代入代入将将 lxyEIV02d)(21xyyxyxxyxxsd)(21 1)(211 d 1)(1(dd)(1ddd222122任一微段任一微段ds与其投影与其投影dx之差为之差为此式沿杆长此式沿杆长l积分得积分得lxy02d)(2111-5 压杆临界荷

48、载外力势能为外力势能为lxyFFV02d)(2结构的势能为结构的势能为 llxyFxyEIVVE0202Pd)(2d)(21挠曲线挠曲线y是未知的，它可以看作无限多个独立参数。是未知的，它可以看作无限多个独立参数。EP是挠曲线函数是挠曲线函数y的函数，即是一个泛函，的函数，即是一个泛函，EP=0是求泛函是求泛函极值的问题极值的问题变分问题。变分问题。瑞利瑞利-李兹法李兹法：将无限自由度近似简化为有限自由度。：将无限自由度近似简化为有限自由度。设设 a)()()()(12211niiinnxaxaxaxay)(xi满足位移边界条件的已知函数满足位移边界条件的已知函数ia任意参数任意参数结构所有变形状态由结构所有变形状态由a1，a2，an所确定，简化为所确定，简化为n个自由度。个自由度。11-5 压杆临界荷载如果在如果在(1)式中只取一项：式中只取一项：是简化为单自由度求解。是简化为单自由度求解。)(11xay通常取某一横向荷载作用下的挠曲线作为失稳时的近似挠曲线通常取某一横向荷载作用下的挠曲线作