固体物理学-期中考试试题及答案

1、固体物理学-期中考试试题及答 案2005级2007-2008学年第二学期固体物理学期中考试答案一、简要回答下列问题：(30分)(1)简要说明热传导系数的温度依赖关系。答品格热导率的温度依赖关系如下：高温情况下， T>>德拜温度G)d ,对于 所有品格振动模，平均声子数"T,温度升高时，声子间相互 碰撞”的几率增大， 自由程减小，自由程与温度成反比；且在高温下，热容与温度无关。因此 高温情 况下热导率与温度成反比。低温时，尽管品格热容遵从德拜T3定律，但热导率k随温度的变化主要决 定于平均自由程 入的指数因子，即K随温度降低而指数增大。极低温度的情况下，声子的平均自由程可以

2、增大到与声子被晶格缺陷散射所 决定的平均自由程相比拟，甚至可以与晶体样品的有限尺寸相比拟。这时的平均 自由程不再是非谐效应引起的本征自由程， 而应是以缺陷的空间分布或样品的尺 寸所决定的与温度无关的平均自由程。 因此，热导率的温度依赖关系将与品格热 容的温度依赖关系(T3)相同。(2)声子数的物理意义是什么？晶体中声子数目是否守恒？在极低温下，晶体中的声子数与温度T之间有什么样的关系？答声子是指格波的量子，它的能量等于方?。一个格波，也就是一种振动模，称为一种声子。所以，声子数代表品格振动的格波数。1频率为coi的格波的平均严子数为 ：ni)=F一e T即每一个格波的声子数都与温度有关，因此晶

3、体中的 声子数目不守恒，它随温度的改变而改变。g( )d 以德拜模型为例。晶体中的声子数目为其中'DN' = j n( .)g( -)d .0令则3VkB3T3 *T x2dxN'=2-3 32二2 3C3x0 e 一1在极低温度下，的/T 一 0°,于是3V"3 二x2dx 叫 3 二23一 2 二2/?C30ex-1-2 -： gRn "3（3）共价结合为什么有 饱和性”和 方向性”？答对电子束缚能力相同或相近的两个原子，彼此靠近时，各自贡献一个电子，为两 个原子共有，从而使其结合在一起，这种结合，称为共价结合，或原子结合。能把两个原子

4、结合在一起的一对为两个原子所共有的自旋相反配对的电子 结构，称为共价键。它有两个特点：饱和性和方向性。 饱和性指一个原子只能形 成一定数目的共价键。按照泡利不相容原理，当原子中的电子一旦配对后，便不 能再与第三个电子配对。因此当一个原子与其它原子结合时，能够结合成共价键 的数目有一个最大值，这个最大值取决于它所含的未配对的电子数。设 N为一 个原子的价电子数目，对于IVA, VA, VIA, VUA族元素，价电子壳层共包含8 个量子态，最多能容纳（8-N）个电子，形成（8-N）个共价键。这就是共价 结合的饱和性”。当两原子未配对的自旋相反的电子结合成共价键后， 电子云就会发生交叠， 而且共价键

5、结合得越紧密，相应的电子云交叠的也越厉害。因此，两原子在以共 价键结合时，必定选取尽可能使其电子云密度为最大的方位， 也就是电子的波函 数为最大的方向。这就是共价键具有 方向性”的物理本质。（4） 一维双原子链中，原子的质量分别为 M和m,若用一个杂质原子分别替代 这两种原子，说明在何种情况下可以在品格中产生隙模、高频模、共振模？答晶体中杂质或缺陷可能引入一些新的振动模式频率。在原有的频率之上出现的新的频率的模，称为高频模；特征频率落在了频带之中的，称为共振模；落在频隙之间，称为隙模。对于一维双原子链，假设两种原子白质量分别为 mi和 m2 ,而且m2>mi ；杂质原子的质量为 m

6、9;。当杂质原子替代mi原子（轻的） 位置时，若m' >而就会出现隙模；若m' <m时则出现高频模。当杂质原子替代 m2原子（重的）位置时，如 m' <m也会出现隙模；m' >m则出现共振模。（5）对晶体作结构分析时，是否可以用可见光，为什么？答不能用可见光作晶体的结构分析。因为晶体的晶格常数的数量级为 10-10m,只有波长与品格常数为一个数量级的电磁波或粒子才能以晶格作为衍射光栅， 进行晶格常数的测定，而可见光 的波长范围是400nm760nm，远大于晶格常数，所以不能用它作晶体结构的分 析。、填空题（10分） 1、同一晶体的正、倒格

7、子一般属于同一品系，其中面心立方晶体的倒格子是体心立方，若已知其晶胞的边长为 a,则其原胞体积为 a/4 ,原胞基矢. a"" a a 44 aa4 4为ai=2（j+k）a2=3（k+i）a3=a（i+j）T2 -1 * TT 2 - TV*T 2- T T T其 相 应 的b=面讨）牛="原j k）胞b3 二冠（i j焚）倒格子晶胞基矢：3*=至，；=至，)*=立。ab7c若假设已知该晶体中的密勒指数为(hkl)的晶面族，则与该晶面垂直 的倒格矢在倒格子晶胞坐标系下的表达式为Gh k尸ha + kb + lc则该晶面在原胞坐标系中的相应面指数为( k +l)(

8、l +h)(h + k)P(p是公约数 )2、由N个原胞组成的一维双原子链，q可以取 N 个不同的值,每个q对应 _2个解，因此总共有2N个不同的格波。若在由N个原胞(每个原胞内有n个原子)组成三维品格中，对一定的波矢q ,有_3一支声学波，3n-3支光学波，在长波极限下，光学波原子振动的特点是质心不动，相邻原子振动方向相反,声学波原子振动的特点是相邻原子振动方向相同，反映质心运动 。三(15分)写出长光学波的宏观运动方程，说明方程的物理意义，并由静电场和高频 电场两种情况导出方程系数。解：长光学波的宏观运动方程W=3W+h2E(DP= biW b2 E(2)I14这里，W称为折合位移，反映正

9、负离子相对位移的矢量。P是宏观极化强度，E是宏观电场强度。物理意义：方程(D是决定离子相对振动的动力学方程，称为振动方程；方程（2）表示除去正负离子相对位移产生极化，还要考虑宏观电场存在时的附加极化，称为极化方程。这两个方程中系数并不都是无关的，由对称性要求有1）静电场情况下W =0 君=仪0）bi2所以W =-pE代入方程（2）中得biP =b12W b22E =（b22 -星）Ebii又因为 D = ；0E P = ；（0） ；0EP = ；（0）-1；°E对比（3）式和（4）式知:(0)-1 0 =瓯-bi22bn2）高频电场情况下 W=0,6 =可必）所以 P=b22E又因为

10、P =(二)-1；°E对比（6）式和（7）式知:（二）1 ；0 =b22联立（5）式和（8）式得:；（0）- ；（二）；0b12卜1bi2= b2io(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)卜面确定bii :对横光学波（下标T）Q纵光学波（下姆L）分别满足以下关可 W -0 V*Wr =O KWl=0Wx WT 手 0静电场情况下： D =、（金. P）=0、 E=o所以对方程（1）两边取旋度有：Vx W = b11Vx W + b2Vx E即' （dWL 支除“5 （Wl Wt）即：出2dt2112d2WT bW即：才一跖"（10）（10）是横光学波的振动方程，

11、解此方程可得到bii与横光学波的振动频率之间的关系也1 =，。2最后各系数求解总结如下，其中8（0）,巩阳,6。可通过实验确定。Z .2b11 = 50b22 =；（二）一1 ；0.-,、-1/21/2、匕2 =b21 =8（0） £（*） % 0。四（15分）低温下，固体比热和温度T3成正比，称为德拜定律12 二4NkB T 3CV 一（一 ）5。d现已知温度T=100K时金刚石的热容Cv =7.2Ml0/cal/mol|_K ,求金刚石的零点 振动能。的单令N = N。（阿伏伽德罗常数），由德拜定律一 4-1一 一 . 一 4 一 1巾=（口）3T =（12 3.1416 8.3

12、14）3皿0。= 1861K5Cv4.186 5 7.2 10因为 T -100K ;与 -1861K ,所以可以利用100K下金刚石热容数据求其零点振动能，金刚石零点振动能-mE0 =.01 工 ，、, 万力,g（ ）d -8m是德拜模型中最高角频，g是模式密度，对三维晶体g( )d ：" 3(2：)dq式中V是晶体的体积，对于德拜模型,是弹性波波速，所以g( )d =33 4_ (2 二) C C3V 22二 2C3d g g(« ) = 3nj,因此-mC3令德拜温度为则金刚石零点振动能为E。=.223V2 2C39 ,NkB%899 1 摩尔金刚石零点振动能 E0

13、= 一 NkB% =R%=17419.74J/mol=4.2kcal/mol88五（15分）0具有简立方布喇菲格子的晶体原子间距为 2A ,由于品格具有非线性作用， 一个沿100方向传播、波矢 Mo。 =1.3Ml010m声子同另一个波矢大小相等 但沿110方向传播的声子相互作用，合并生成第三个声子，试求合成后声子 的波矢。解两声子相互作用形成第三个声子时，不仅要服从能量守恒，还要求满足波 矢守恒(或准动量守恒)qi %2 = %3b2/2=(兀 /a)j101回尸2.4 10 m或者：=q1 ；2=1.3 1010? 1.3 1010(? ?) -2.22 1010? 0.92 101072

14、4因为 1bL1Tb2 1= =1.57 1010m 一12 2a所以，中沿100方向分量已超出了第一布区.但q3沿010方向分量没有超出第2二，一布区，故可以在沿100万向给 中加一倒格矢(Gh=-i?=-3.14M1010i? m ) a使之回到第一布区.=q3Gh= 2.22 1010? 0.92 1010?-3.14 1010i?-0.92 1010? 0.92 1010 ?二一二 1.3 1010? 1.3 1010?（m）22所以三声子过程产生的第三个声子波矢方向是在-1,1,0,其大小仍为1.3x101°m,，处于第一布里渊区内。六、（15分）已知N个质量为m间距为a的相同的原子组成的一维原子链，其原子在偏离平衡位置6时受到近邻原子的恢复力F=- B吊B为恢复力系数）.1、试证明其色散