1.2 换元积分法ppt课件

1、 4.4 换元积分法换元积分法1与它们对应的是本节和与它们对应的是本节和基本积分法基本积分法复合函数微分法和乘积的微分复合函数微分法和乘积的微分.在积分运算中在积分运算中,(两种两种).微分运算中有两个重要法则微分运算中有两个重要法则: 下节的换元积分法和分部积分法下节的换元积分法和分部积分法第第4 4章章 定积分与不定积分定积分与不定积分 4.4 换元积分法换元积分法24.4 换元积分法换元积分法第一换元积分法第一换元积分法第二换元积分法第二换元积分法小结小结 思考题思考题 作业作业integration by substitution第第4 4章章 定积分与不定积分定积分与不定积分3 xx

2、d2cosCx 2sin解决方法解决方法将积分变量换成将积分变量换成令令xt2 xxd2costtdcos21 Ct sin21.2sin21Cx x2sinx2cos xxdcosCx sinx2cos2.2x因为因为 xd)d(221x,d21dtx ttd21xt2 一、第一换元积分法一、第一换元积分法 4.4 换元积分法换元积分法 4.4 换元积分法换元积分法4定理定理4.64.6 xxxfd)()( uufd)(第一类换元公式第一类换元公式) )(d)(xxf )(xu 证证 xxxfd)()( ,)(可可导导xu 则有换元公式则有换元公式设设 f (u)具有原函数具有原函数,由于由

3、于 )(d)(xxf ,d)(uuf所以根据不定积分的定义知上公式成立所以根据不定积分的定义知上公式成立.凑微分的主要思想是凑微分的主要思想是: 将所给出的积分将所给出的积分)(xu 凑微分的关键凑微分的关键.是是凑成积分表里已有的形式凑成积分表里已有的形式, 合理选择合理选择注注 4.4 换元积分法换元积分法5例例 求求 xxd2sin法一法一 xxd2sind2sin x.2cos21Cx 法二法二 xxd2sin xxxdcossin2 )(sindsin2xx.)(sin2Cx xu2 uudsin21xusin Cu cos21 uud2Cu 221)2( x解解Cxxx cosds

4、inCxxx 1d1 xxfxxxfsind)(sindcos)(sin 4.4 换元积分法换元积分法6 法三法三 xxd2sin xxxdcossin2 )(cosdcos2xx.)(cos2Cx xucos uud2Cu 2 同一个积分用不同的方法计算同一个积分用不同的方法计算, 可能得可能得到表面上不一致的结果到表面上不一致的结果, 但是实际上都表示但是实际上都表示同一族函数同一族函数. 注注Cxxx 1d1 xxxfd)()( uufd)( )(d)(xxf )(xu 第一类换元公式第一类换元公式 (凑微分法凑微分法) xxxfdsin)(cos xxfdcos)(cos 4.4 换元

5、积分法换元积分法 4.4 换元积分法换元积分法7例例 求求xxd231 解解xxd231 uud121 Cu |ln21.|23|ln21Cx )23(d23121xx xu23 Cxxx |lnd1x221 3 )0()(d)(1d)(abaxbaxfaxbaxf)d(231 x 4.4 换元积分法换元积分法 4.4 换元积分法换元积分法8xxd31 对第一换元积分法熟练后对第一换元积分法熟练后, 可以不再写出可以不再写出 中间变量中间变量.注注31 )1(1d1 Cxxx)31(dx x31显显 凑凑.)31(323123Cx )0()(d)(1d)(abaxbaxfaxbaxf 4.4

6、换元积分法换元积分法 4.4 换元积分法换元积分法9例例 xxxdln 解解xxxdln )(lndlnxx.2)(ln2Cx xxxd)ln21(1 解解xxxd)ln21(1 )(lndln211xx )ln(dln211xx .)ln21ln(21Cx 1221 )lnd()(lnd1)(lnxxfxxxf 4.4 换元积分法换元积分法 4.4 换元积分法换元积分法10 )tan1(cosd2xxx xxtan1)tan(dde3 x)3(de323xx xxxde3 .e323Cx .tan1lnCx 2x xxxfd)()d()(2xxf xxfxxxftand)(tandsec)(

7、tan2例例 1Cxxx |lnd1Cxxx ede 4.4 换元积分法换元积分法 4.4 换元积分法换元积分法11小结小结常见的凑微分类型有常见的凑微分类型有 xbaxfd)( xxbaxfmmd)(1 )(d)()1(111baxbaxfmamm )0()(d)(1abaxbaxfa 2d)1(xxxf )1d()1(xxf xxxfd1)(ln )lnd()(lnxxf xfxxde)e ()d(e)e (xxf xxxfd)()d()(2xxf 4.4 换元积分法换元积分法 4.4 换元积分法换元积分法12 xxxfdsec)(tan2 xxxfdcsc)(cot2 xxxfd11)(

8、arcsin2 xxxfd11)(arctan2小结小结 xxxfdcos)(sin xxxfdsin)(cos xxfdsin)(sin xxfdcos)(cos xxftand)(tan xxfcotd)(cot xxfarctand)(arctanCxf )(ln xxfarcsind)(arcsin xxfxfd)()( )()(dxfxf 4.4 换元积分法换元积分法 4.4 换元积分法换元积分法13例例 求求xxad122 解解xxad122 xaxad111222 xaxad11122 .arctan1Caxa xxad122 Caxa arctan1 xxd112Cx arct

9、an axaxad1112 4.4 换元积分法换元积分法 4.4 换元积分法换元积分法14求求xxxd25812 解解xxxd25812 xxd9)4(12 .34arctan31Cx xxad122 Caxa arctan1 22)4(3)4(dxxxxd)4(3122 4.4 换元积分法换元积分法15例例 解解 xxad122 21d1axxa.arcsinCax )0(d122 axxa xxd112Cx arcsin)0(d122 axxaCax arcsin 2221daxax 21d1axaxaa 4.4 换元积分法换元积分法16且有很大的灵活性且有很大的灵活性,加一项减一项、加一

10、项减一项、可通过三角恒等变换、可通过三角恒等变换、一个因子等方法一个因子等方法,第一换元积分法是不定积分的基础第一换元积分法是不定积分的基础,代数运算、代数运算、上上, 下同除以下同除以使积分变得易求使积分变得易求.大体可分成两类大体可分成两类1. 某些有理函数和其他函数某些有理函数和其他函数2. 某些三角函数某些三角函数 4.4 换元积分法换元积分法17例例 求求xxde11 解解xxde11 xxde11 xxxde1e1 xxxxde1ed xd.)e1ln(Cxx xe xe )e1(de11xx 法一法一1. 某些有理函数和其他函数某些有理函数和其他函数 4.4 换元积分法换元积分法

11、18xxde11 法二法二xxxdede xxde11 xxd)e1( xexexxxde)e1(e1 xue uuud)1(1 uuud)1( )1( uu uuud111 Cuu )1ln(ln.1eelnCxx uud1 )1d(11 uu 4.4 换元积分法换元积分法19例例 )0(d122 axxa解解 221xa原式原式= xxaxxaad1d121 Cxaxaa lnln21.ln21Cxaxaa xaxaa1121)0(ln21d122 aCaxaxaxax 4.4 换元积分法换元积分法20例例 求求xxxxde )11(12 解解 xx1xxxxde )11(12 )1(de

12、1xxxx .e1Cxx 隐隐 凑凑211x 因为因为所以所以 4.4 换元积分法换元积分法21解解xxxxd)ln1()ln(d )ln(d)ln(xxxxp xxxxpd)1(ln)ln( ,1)ln(1Cpxxp 1 p,)lnln(Cxx 1 p求求xxxxpd)1(ln)ln( 4.4 换元积分法换元积分法22例例 xxdtan解解 原式原式 =xxxdcossin xxcoscosd.coslnCx Cxxx sinlndcot2. 某些三角函数某些三角函数 xxxfdsin)(cos xxfdcos)(cosCxxx |lnd1 4.4 换元积分法换元积分法23例例 求求解解 x

13、xdsin1 xxdcsc xxdcsc xxxd2cos2sin21 2d2cos2tan12xxx 2tand2tan1xxCx 2tanln.)cotln(cscCxx (使用三角函数恒等变形使用三角函数恒等变形)分步凑分步凑法一法一 xxxfdsec)(tan2 xxftand)(tan 4.4 换元积分法换元积分法24 xxdsin1 xxdcsc xxxdsinsin2 )(cosdcos112xxxucos uud112Cuu 11ln21.cos1cos1ln21Cxx 类似可推出类似可推出.)tanln(secdsec Cxxxx法二法二)0(d122 axxaCxaxaa

14、ln21 4.4 换元积分法换元积分法25例例 求求解解 xxxdcossin52 xxxdcossin52 )(sindcossin42xxx )(sind)sin1(sin222xxx )(sind)sinsin2(sin642xxxx.sin71sin52sin31753Cxxx 4.4 换元积分法换元积分法26例例 求求 xxdsin2解解 xxdsin2 xxx2d2cos41d21.2sin412Cxx ,有一个是奇数时有一个是奇数时、当当nm,都都是是偶偶数数时时、当当nm,cossin积积分分xxnm凑微分凑微分;用倍角公式用倍角公式降幂降幂,再积分再积分. 注注xx d)2c

15、os1(21 4.4 换元积分法换元积分法27例例 求求解解 xxxd2cos3cos)cos()cos(21coscosBABABA )5cos(cos212cos3cosxxxx xxxxxxd)5cos(cos21d2cos3cos.5sin101sin21Cxx 不同角度的正弦、余弦之积的积分不同角度的正弦、余弦之积的积分常用积化和差公式来化简常用积化和差公式来化简.注注 4.4 换元积分法换元积分法.dsin203 xx求求xxxdsinsin202 202cosd)cos1(xx203cos31cosxx .32 由微积分基本公式知由微积分基本公式知, 对定积分的计算对定积分的计算

16、,第一换元积分法第一换元积分法(凑微分法凑微分法)也同样适用也同样适用.例例 解解)()(d)(aFbFxxfba 微积分基本公式微积分基本公式:原式原式 4.4 换元积分法换元积分法29例例 解解 43ee)ln1(lndxxxx原式原式 43ee)ln1(ln)(lndxxx 43ee)ln1(ln)(lndxxx 43ee2)ln(1lnd2xx 43ee)lnarcsin(2x .6 )ln(dx)lnd(ln121xx 4.4 换元积分法换元积分法30二、第二换元积分法二、第二换元积分法xxd11 有根式有根式解决方法解决方法 消去根式消去根式,xt 令令 xdxxd11 ttt1d

17、2tttd1112 tttd11d2Ctt )1ln(22)0(2 ttx困难困难即即那那么么ttd2tttd2 回代回代.)1ln(22Cxx 4.4 换元积分法换元积分法31是单调的、可导的是单调的、可导的设设)(tx 并且并且 xxfd)( tttfd)()( )(1xt )(1xt 其其中中.)( 的的反反函函数数是是tx )(t tt d)( 定理定理4.74.7函数函数,. 0)( t )()(ttf 又又设设具有原具有原函数函数, 则有换元公式则有换元公式 (第二类换元公式第二类换元公式)证证),()()(tttf的的原原函函数数为为设设 ),( )(1xFx 记记用复合函数及反

18、函数的求导用复合函数及反函数的求导 )(xF xttdddd)()(ttf )(1t )(tf ),(xf 即即F(x)是是f (x)的原函数的原函数,法则法则, 得得所以有所以有 4.4 换元积分法换元积分法32第二类换元法第二类换元法不易计算时不易计算时, 可作适当可作适当 ),(tx 化为不定积分化为不定积分积分后再将积分后再将)(1xt 若积分若积分 xxfd)(tttfd)()( 计算计算,代入代入.变换变换 xxfd)(CxF )(Cx )(1 tttfd)()( )(1xt 即证第二类换元公式即证第二类换元公式. 4.4 换元积分法换元积分法33axa22 ax例例 求求)0(d

19、22 axxa解解 令令taxsin ttaxdcosd 2,2txxad22 ttadcos22 taa222sinttad22cos12 Ctta )2sin21(22tax22xa 辅助三角形辅助三角形axarcsinttadcos axaarcsin22Cttta )cossin(22.222Cxax 回代回代三角代换三角代换 4.4 换元积分法换元积分法34三角代换三角代换例例 求求解解)0(d122 axax令令taxtan ttaxdsecd2 xaxd122 tasec1 ttdsec1|tansec|lnCtt tax22ax 2,2taCaxxln|ln122 ttadse

20、c2 回代回代ln 1C aax22 ax 辅助三角形辅助三角形 ttdsecCtt |tansec|ln.|ln22Caxx 4.4 换元积分法换元积分法35通过变换通过变换taxsec xaxd122 Caxx |ln22利用相应的三角变换利用相应的三角变换,xaxd22 Caxxaaxx |ln2222222相仿地相仿地,可算出可算出还可得到重要公式还可得到重要公式 4.4 换元积分法换元积分法36 94d2xx 223)2(dxx解解.942ln212Cxx Caxxxax )ln(d12222 94d2xx 223)2()2(d21xx 4.4 换元积分法换元积分法37注注以上几例所

21、使用的均为以上几例所使用的均为三角代换的目的三角代换的目的当被积函数中含有当被积函数中含有:,)1(22xa 令令taxsin ,)2(22xa 令令taxtan ,)3(22ax 令令taxsec taxcos 或或taxcot 或或taxcsc 或或回代时回代时, 一定要借助一定要借助 辅助三角形辅助三角形.三角代换三角代换.是化掉根式是化掉根式.一般规律一般规律: 4.4 换元积分法换元积分法38例例 .d125xxx 求求(三角代换很繁琐三角代换很繁琐),12xt 令令, 122 tx,ddttxx xxxd125 tt22)1(tttd)12(24 Cttt 353251.1)348

22、(151242Cxxx 解解txtan xxd12 4xx ttd 回代回代 4.4 换元积分法换元积分法39三角代换并不是绝对的三角代换并不是绝对的,注注需根据被积函数需根据被积函数积分中为了化掉根式是否一定采用积分中为了化掉根式是否一定采用的情况来定的情况来定. 4.4 换元积分法换元积分法40例例 求求解解xxde11 令令, 1e2 tx.d12d2tttx xxde11 ttd122 Ctt 11ln.)1e1ln(2Cxx ),1ln(2 txCaxaxaxax ln21d122回代回代,e1xt 4.4 换元积分法换元积分法41例例 求求解解xxxd423 令令,sin2tx ,

23、dcos2dttx 2,2t 3)sin2(ttttdcossin3223 ttttdcos)cos1(sin3222 tttcosd)cos(cos3242 Ctt )cos51cos31(3253t2x24x .)4(51)4(345232Cxx 法一法一原式原式=ttdcos2 t2sin44 回代回代 4.4 换元积分法换元积分法42法二法二xxxd423 222d4xxx uuud421 2xu uud4)(21 uuuud)4(2d)4(212123 )4d()4(2)4d()4(212123uuuu .)4(34)4(51232252Cxx Cuu 2325)4(34)4(51原

24、式原式= xx 2xx d42 21u 44 回代回代 uuuuud44d4)4(21 4.4 换元积分法换元积分法43 ,coslndtanCxxx,sinlndcot Cxxx,)tanln(secdsec Cxxxx,)cotln(cscdcsc Cxxxx,arctan1d122Caxaxxa (18)(19)(20)(21)(22)基基本本积积分分公公式式(2),ln21d122Caxaxaxax (23) 4.4 换元积分法换元积分法44,ln21d122Cxaxaaxxa ,arcsind122Caxxxa ,)ln(d12222Caxxxax xaxd22 .|ln222222

25、2Caxxaaxx 希自己添加希自己添加!基基本本积积分分公公式式(2)(24)(25)(26)(27)熟熟 记记 4.4 换元积分法换元积分法45例例 xxxd)2(17 求求令令tx1 ttxd1d2 xxxd)2(17 ttttd12127 tttd2176Ct |21|ln1417.|ln21|2|ln1417Cxx 解解 7721)21(d141tt法一法一回代回代倒代换倒代换tx1 注注可用来消去分母中的变量可用来消去分母中的变量.一些情况下一些情况下(如被积函数是分式如被积函数是分式, 分母的分母的方幂较高时方幂较高时), 4.4 换元积分法换元积分法46法二法二xxxd)2(1

26、7 xxxd)2(17 xxd)2(7 7xu )2(d71777xxx )2(d71uuu uuuud21d1141 Cuu 2lnln141.|ln21|2|ln1417Cxx uuuuud)2(22171 回代回代还有别的方法吗？还有别的方法吗？7x6x 4.4 换元积分法换元积分法47法三法三xxxd)2(17 xxxd)2(17 xxxd)2(7 2217x 7x xxd121 xxxd22176 |ln21x )2(d2114177 xx.|2|ln141|ln217Cxx 4.4 换元积分法换元积分法48xxxd)2(17 法四法四 )21(d78xxxxxxd)2(17 721

27、x7d x71 7721)21d(141xx.|21|ln1417Cx 4.4 换元积分法换元积分法49如如: : 倒代换倒代换tx1 对如下形式对如下形式 22dxaxx 222dxaxx 22daxxx 222daxxxxxxad422 xxaxd422 都适用都适用. 4.4 换元积分法换元积分法50例例 解解xxxd1124 求求xxxd1124 令令,1tx ttxd1d2 ttttd11111224 (分母的阶较高分母的阶较高)tttd123 222d121ttt 2tu 4.4 换元积分法换元积分法51 uuud121 uuud11121 )1(d11121uuuCuu 1)1(

28、313.1131232Cxxxx tx1 2tu 回代回代 4.4 换元积分法换元积分法52,时时lkxx ntx 注注当被积函数含有两种或两种以上当被积函数含有两种或两种以上的根式的根式可采用令可采用令(其中其中n为各根指数的最小公倍数为各根指数的最小公倍数) 4.4 换元积分法换元积分法53例例xxxd)1(13 求求令令6tx ttxd6d5 xxxd)1(13 ttttd)1(6235 tttd1622 tttd111622 ttd11162Ctt arctan 6.arctan 666Cxx 解解 4.4 换元积分法换元积分法54解解 220232d)1(1xxI计计算算令令,sin

29、tx ,dcosdttx . 1 tttdcoscos3例例 2,2t由由 xxd)1(1232 ttdsec2Ct tant21x 辅助三角形辅助三角形1x,12Cxx )()(d)(aFbFxxfba 微积分基本公式微积分基本公式:得得 22021xxI回代回代 4.4 换元积分法换元积分法55 220232d)1(1xxI计计算算例例 此题如果直接对定积分进行换元此题如果直接对定积分进行换元, 化为新变量化为新变量故积出来的原函数不必回代故积出来的原函数不必回代,下的定积分下的定积分,用此法用此法此法较为简洁此法较为简洁!方法二方法二,sintx 设设,22时时当当 x,4 t,0时时当

30、当 x; 0 t那么那么 220232d)1(1xxI ttdsec24040tant . 1 不妨与上面的运算做个比较不妨与上面的运算做个比较:此法对一般的定积分计算是否成立此法对一般的定积分计算是否成立? ? 4.4 换元积分法换元积分法56定理定理4.8那么那么 baxxfd)(定积分换元公式定积分换元公式设函数设函数上上或或在在),(, )( t f )(t tt d)( ,)(baCxf 作变换作变换(2) 具有连续导数具有连续导数,(1) ),(tx ,)(,)(ba :)( 满足满足其中其中t 为此为此, 下面给出定积分的换元积分法下面给出定积分的换元积分法.,时时且当且当 t;

31、,)(bat 4.4 换元积分法换元积分法57证证,)(baCxf 由由于于 xxfbad)( )(ddtFt 是是故故)(tF tttfd )()( )()(aFbF 故有故有.d)()(d)(tttfxxfba 那么那么由于由于tttfxxfbad)()(d)( )(tF )()(ttf 的的)()(ttf N-L公式公式)()(aFbF N-L公式公式那么那么)()( FF 故可设故可设f (x)在在原函数原函数,)(t ba )(,)()1( ,)()( Cttf 因此上面公式两边的定积分都存在因此上面公式两边的定积分都存在.a, b上的一个原函数为上的一个原函数为F(x), 4.4

32、换元积分法换元积分法58注注由于积分限做了由于积分限做了故积出来的原函数不必回代故积出来的原函数不必回代;求定积分的方法有两种方法求定积分的方法有两种方法: 可用N-L公式;从换元的观点.tttfxxfbad)()(d)( (1),时时当当 换元公式仍成立换元公式仍成立;(2) 在定积分换元公式中在定积分换元公式中,相应的改变相应的改变,(3)定积分换元公式定积分换元公式 4.4 换元积分法换元积分法59解解 aaxxax022)0(d1令令,sintax ax 2 t0 x0 tttaxdcosd 原式原式 ttcossin 20dcossinsincos121ttttt 20cossinl

33、n21221tt .4 ttatatad)sin1(sincos22 02 20tcostd tsintcos tsin 21例例 4.4 换元积分法换元积分法60 几个关于奇、偶函数、三角函数及周期函数几个关于奇、偶函数、三角函数及周期函数 换元积分换元积分例例 则则上可积上可积在区间在区间设设,)(aaxf 证证 由于由于 aaxxfd)( 0d)(axxf对对, tx 令令 axxf0d)(由被积函数的变化和积分区间的变化来确定变换由被积函数的变化和积分区间的变化来确定变换.通常通常 0d)(axxf aaxxfxfxxfd)()(d)(0a作变换作变换,.ddtx 还可以证明一些定积分

34、等式还可以证明一些定积分等式,的定积分的例子的定积分的例子. 4.4 换元积分法换元积分法61,ax , 0 x 0d)(axxf attf0d)(x利用这一结果计算利用这一结果计算:xxxde1cos44 .22xxxxxde1cose1cos40 那么那么;at . 0 t 0d)(attftx 令令 40dcosxx.ddtx x aaxxfd)( axxf0d)( 0d)(axxf aaaxxfxfxxf0d)()(d)(所以所以 4.4 换元积分法换元积分法62可得可得:由定积分的几何意义由定积分的几何意义(面积的代数和面积的代数和)也可得也可得.,)(上上连连续续在在当当aaxf

35、且有且有那那么么 aaaxxfxxf0d)(2d)(那那么么 aaxxf0d)(1) f (x)为偶函数为偶函数, (2) f (x)为奇函数为奇函数, aaaxxfxfxxf0d)()(d)(由由 4.4 换元积分法换元积分法63 xxxdsin4 112d4xx xxxxxd12sin552423xx d412 00例例 20 4.4 换元积分法换元积分法64 xxxd |1).124(52 xxxxd122235 0.38 xxxd |2 奇奇奇奇偶偶11xxxxd12220224 xxxd |)1(21 0 21211dxxxxxxxxd12)2(2222345 xxxxd122222

36、4 4.4 换元积分法换元积分法65证证 (1)tx 2例例 2020;d)(cosd)(sin)1(xxfxxf 00,d)(sin2d)(sin)2(xxfxxxf由此计算由此计算 02.dcos1sinxxxx设设02 20d)(costtf 20d)(cosxxf02txdd 证毕证毕.由被积函数的变化和积分由被积函数的变化和积分区间的变化来确定变换区间的变化来确定变换. 20d)(sinxxf ttfd2sin若若f (x)在在0,1上连续上连续, 证明证明 4.4 换元积分法换元积分法66tx txdd 0d)(sinxxxf 0d)(sin)(ttft设设 0d)(sinxxxf

37、.d)(sin20 xxf证证由此计算由此计算 02.dcos1sinxxxx 00d)(sin2d)(sin)2(xxfxxxf 0d)(sinttf 0d)(sinttft00 xx x由被积函数的变化和由被积函数的变化和积分区间变化来确定积分区间变化来确定变换变换. ttftd)sin()(若若f (x)在在0,1上连续上连续, 证明证明注意循环形式注意循环形式所以所以 4.4 换元积分法换元积分法67 02dcos1sinxxxx 02dcos1sin2xxx 02)(cosdcos112xx 0)arctan(cos2x .42 )44(2 说明说明: 虽然虽然, 0cos1sin2

38、Cxxx 但由于它没有但由于它没有初等原函数初等原函数,故此积分无法直接用故此积分无法直接用N-L公式求得公式求得. 0d)(sinxxxf 0d)(sin2xxf 4.4 换元积分法换元积分法68这个公式就是说这个公式就是说:周期函数在任何长为一周期的周期函数在任何长为一周期的区间上的定积分都相等区间上的定积分都相等.如果如果T是连续函数是连续函数 f (x) 的周期的周期, 那么那么 TaaTxxfxxf0d)(d)(a为任何常数为任何常数),证证 Taaxxfd)( axxfd)(0T 0d)(xxf TaTxxfd)( TaTxxfd)(uTx auTuf0d)( auuf0d)( 0

39、d)(axxf结论成立结论成立.(1) 4.4 换元积分法换元积分法69如果如果T是连续函数是连续函数 f (x) 的周期的周期, 那么那么(2).N(d)(d)(0 nxxfnxxfnTaaT证证 nTaaxxfd)( TaaTxxfxxf0d)(d)(a为任何常数为任何常数)(1) Taaxxfd)( TaTaxxf2d)( TaTaxxf32d)( nTaTnaxxf)1(d)( Txxf0d)( Txxf0d)( Txxf0d)(.d)(0 Txxfnn个个定积分的积分区间可加性定积分的积分区间可加性由公式由公式(1) 4.4 换元积分法换元积分法70计算计算.dcos12000 xx

40、)(d)(d)(00NnxxfnxxfnTT 解解例例 2000dcos1xx 2000d|2sin2|xx4周周期期为为 0d|2sin|2xx)d2sind2sin(2504220 xxxx. 2400 2000d|2sin|2xx504 4.4 换元积分法换元积分法71例例 ,21, 1,2121,e)(2xxxxfx设设解解考研数学考研数学(三三, 四四)填空题填空题4分分).(d)1(221 xxf则则tx 1txdd tttde21212 td奇函数奇函数 221d)1(xxf,1tx 令令 )(tf21 1td)1(121 .21 4.4 换元积分法换元积分法72.dd,d)(0

41、 xytxttfyx求求 解解知知 f (x)连续连续,故不能直接应用对积分上限函数的导数的公式故不能直接应用对积分上限函数的导数的公式, 先作换元变换先作换元变换,uxt 令令那么那么0 t;xu . 0 uxt .ddut uuufxd )(0 0 x 被积函数中除积分变量被积函数中除积分变量t外还含有变量外还含有变量x,分析分析 xtxttfy0d)(uufxud)()( uufxxd )(0 xydd)( xxf uufxd )(0 )( xxf .d )(0uufx uufxuxd )()(0 例例 应应 4.4 换元积分法换元积分法73),0, 0( ,d)(0 tsxtxftIt

42、s知知 f (x)连续连续,txu s0证明证明I与与t无关无关, 并指出并指出(不必证明不必证明) I是否与是否与s无关无关, I是否与是否与x无关无关.证证 tstxtxfI0)d()( )d()(uuf所以所以, I与与t无关无关. I与与s有关有关, I与与x无关无关. 4.4 换元积分法换元积分法74 xxttxtx020dsin1lim求极限求极限解解被积函数中除积分变量被积函数中除积分变量t外还含有变量外还含有变量x,故不能直接应用对积分上限函数的导数的公式故不能直接应用对积分上限函数的导数的公式,应先作换元变换应先作换元变换,uxt 令令,xut 那么那么0 t; 0 u.2x

43、u xt xttxt0dsin.ddxut uuuxdsin20 xxxxx22sinlim220 . 1 00分析分析02xxuusinxud 2002dsinlimxuuuxx 原原式式 4.4 换元积分法换元积分法75选择题选择题设函数设函数)(xf连续连续,则下列函数中则下列函数中,必为偶函数的是必为偶函数的是.d)()(02ttfAx .d)()(02ttfBx .d)()()(0ttftftCx .d)()()(0ttftftDx 分析分析 xttfx0d)()()( 0d)(ttfx x 考研数学考研数学(二二)选择选择3分分)(Attfxd)(02 )( xut ud x0ut

44、dd )(2uf )(x 4.4 换元积分法换元积分法76例例 求极限求极限 xxxttxfxttftx000d)(d)()(lim考研数学考研数学(二二) 11分分 , 0)0(,)( fxf且且连连续续设设函函数数解解 原原式式 xxxxttxfxtttfttfx0000d)(d)(d)(lim xxxxuufxtttfttfx0000d)(d)(d)(limu 00 xxxxxfuufxxfxxfttf000)(d)()()(d)(lim洛必达洛必达法则法则 xt 0 u0 txu utdd 4.4 换元积分法换元积分法77例例 求极限求极限 xxxttxfxttftx000d)(d)()(lim, 0)0(,)( fxf且且连连续续设设函函数数 00 xxxxxfuufxxfxxfttf000)(d)()()(