拉普拉斯变换的应用及综合举例

1、1第九章 拉普拉斯变换 9.4 Laplace 变换的应用及综合举例 9.4 Laplace 变换的应用及综合举例变换的应用及综合举例三、利用三、利用 Matlab 实现实现 Laplace 变换变换 一、求解常微分方程一、求解常微分方程( (组组) ) 二、综合举例二、综合举例 *2第九章 拉普拉斯变换 9.4 Laplace 变换的应用及综合举例 一、求解常微分方程一、求解常微分方程( (组组) ) 步骤步骤 得到象函数得到象函数求求解解微分方程微分方程( (组组) )象函数的象函数的代数方程代数方程( (组组) )Laplace正变换正变换微分方程微分方程( (组组) )的解的解Lapl

2、ace逆变换逆变换(1) 将将微分方程微分方程( (组组) )化为象函数的代数方程化为象函数的代数方程( (组组) )； (2) 求解代数方程得到象函数；求解代数方程得到象函数； (3) 求求 Laplace 逆变换得到逆变换得到微分方程微分方程( (组组) )的的解。解。 . )0()0()0()( )()1(21)( nnnnnffsfssFstf工具工具 3第九章 拉普拉斯变换 9.4 Laplace 变换的应用及综合举例 ,0)()0()0()(22 sYysysYs .)(22 ssY对方程两边取对方程两边取 Laplace 变换，有变换，有 (2) 求求 Laplace 逆变换，得

3、逆变换，得 , )()(tysY 解解 (1) 令令 )()(1sYty .sint 代入初值即得代入初值即得 ,0)()(22 sYsYs P218 例例9.6 4第九章 拉普拉斯变换 9.4 Laplace 变换的应用及综合举例 对方程两边取对方程两边取 Laplace 变换，并代入初值得变换，并代入初值得 (2) 求求 Laplace 逆变换，得逆变换，得 , )()(txsX 解解 (1) 令令 ,16)()(3)(3)(23 ssXssXsXssXs.)1(! 3)(4 ssX求解此方程得求解此方程得 )()(1sXtx .e3tt 5第九章 拉普拉斯变换 9.4 Laplace 变

4、换的应用及综合举例 对方程组两边取对方程组两边取 Laplace 变换，并代入初值得变换，并代入初值得 , )()(txsX 解解 (1) 令令 , )()(tysY ,11)()(1)( ssYsXssX.12)(2)(31)( ssYsXssY ,11)( ssX.11)( ssY求求解得解得 整理得整理得 ,1)()()1( sssYsXs.11)()2()(3 sssYssX P229 例例9.19 6第九章 拉普拉斯变换 9.4 Laplace 变换的应用及综合举例 , )()(txsX 解解 (1) 令令 , )()(tysY ,11)( ssX.11)( ssY求求解得解得 .)

5、()(ettytx (2) 求求 Laplace 逆变换，逆变换，得得 7第九章 拉普拉斯变换 9.4 Laplace 变换的应用及综合举例 对方程组两边取对方程组两边取 Laplace 变换，并代入初值得变换，并代入初值得 , )()(txsX 解解 (1) 令令 , )()(tysY ,)()(e2ssYsssX .2)()(2e3sssYssX 求求解得解得 .0)( sY,1)(esssX , )1()( tutx.0)( ty(2) 求求 Laplace 逆变换，逆变换，得得 8第九章 拉普拉斯变换 9.4 Laplace 变换的应用及综合举例 )1()1()()1()( tuttu

6、ttf, )1()1()()( tuttuttu如图，如图， 解解 ,1 )(stu 由于由于 ,1 )(2stut 利用利用线性性质线性性质及及延迟性质延迟性质有有 .111 )(e22sssstf 1 1 )(tft)()1(tut ) 1()1( tut)(tf函数函数 可写为可写为 二、综合举例二、综合举例 P231 例例9.21 9第九章 拉普拉斯变换 9.4 Laplace 变换的应用及综合举例 对方程两边取对方程两边取 Laplace 变换，并代入初值有变换，并代入初值有 , )()(txsX 解解 (1) 令令 ,11)(31)(41)(2 ssXssXssXs)3()1(66

7、)(22 sssssX.)3(43)1(21)1(472 sss(2) 求求 Laplace 逆变换，得逆变换，得 .432147)(3eeetttttx 10第九章 拉普拉斯变换 9.4 Laplace 变换的应用及综合举例 对方程两边取对方程两边取 Laplace 变换有变换有 (2) 求求 Laplace 逆变换，得逆变换，得 , )()(txsX 解解 (1) 令令 ,1)1()1(22)(2)(22 sssXssXsXs.1)1()1(2)(22 sssX.sinettt )()(1sXtx e221)1(2 sst)( e1121 ste1121 stt11第九章 拉普拉斯变换 9

8、.4 Laplace 变换的应用及综合举例 ,211)()()()(22sssYssXsXssYs .1)()(2)()(2222ssXssYsXssYs ,)1(2)()()1(2 sssssXsYs.)1(1)()1()(22 sssXsssY整理得整理得 对方程组两边取对方程组两边取 Laplace 变换，并代入初值得变换，并代入初值得 , )()(txsX 解解 (1) 令令 , )()(tysY 求解得求解得 .)1(1)(2 sssY,)1(12)(22 ssssX12第九章 拉普拉斯变换 9.4 Laplace 变换的应用及综合举例 , )()(txsX 解解 (1) 令令 ,

9、)()(tysY .)1(1)(2 sssY求解得求解得 ,)1(12)(22 ssssX.1)(eetttty ,)(ettttx (2) 求求 Laplace 逆变换，逆变换，得得 ,)1(1122 ss.)1(11112 sss13第九章 拉普拉斯变换 9.4 Laplace 变换的应用及综合举例 对方程组两边取对方程组两边取 Laplace 变换，并代入初值得变换，并代入初值得 , )()(txsX 解解 (1) 令令 , )()(tysY ,112)(2)(2123)(2 sssYsXssXs.2)(221)(23)(32ssYssYsssX ,2)1(23)(2sssX ,231)

10、1(21)(3ssssY 14第九章 拉普拉斯变换 9.4 Laplace 变换的应用及综合举例 , )()(txsX 解解 (1) 令令 , )()(tysY ,2)1(23)(2sssX ,231)1(21)(3ssssY (2) 求求 Laplace 逆变换，逆变换，得得 .232121)(2e ttyt,223)(ettxt 15第九章 拉普拉斯变换 9.4 Laplace 变换的应用及综合举例 (2) 令令 , )()(tfsF .6)(3tatatf (3) 求求 Laplace 逆变换，逆变换，得得 解解 (1) 由于由于 ,d)sin()(sin)(0 txxtxfttf因此原

11、方程为因此原方程为 .sin)()(ttftatf 在方程两边取在方程两边取 Laplace 变换得变换得 sin)()(tsFtasF ,11)(22 ssFsa.)(42sasasF P232 例例9.24 ( (跳过跳过?)?)16第九章 拉普拉斯变换 9.4 Laplace 变换的应用及综合举例 , )()(0tFtxm .0)0()0( xx,)(02FsXms .1)(20smFsX .)(0tmFtx 求求 Laplace 逆变换，得物体的运动方程为逆变换，得物体的运动方程为 根据根据 Newton 定律有定律有 解解 设物体的运动方程为设物体的运动方程为 , )(txx 在方程

12、两边取在方程两边取 Laplace 变换得变换得 令令 , )()(txsX P230 例例 9.20 17第九章 拉普拉斯变换 9.4 Laplace 变换的应用及综合举例 ,)()(sEssILsIR )()(sLRsEsI .11 LRssRE求解此方程得求解此方程得 .1)()e(tLRREti 求求Laplace逆变换，得逆变换，得 设有如图所示的设有如图所示的 R 和和 L 串联电路，在串联电路，在 时刻接到直流时刻接到直流 0 t. )(ti例例 K E L R 电势电势 E 上，求电流上，求电流 由由 Kirchhoff 定律知，定律知， )(ti解解 满足方程满足方程 .0)

13、0( i,)()(EtiLtiR 在方程两边取在方程两边取 Laplace 变换得变换得 令令 , )()(tisI P233 例例9.25 18第九章 拉普拉斯变换 9.4 Laplace 变换的应用及综合举例 解解 (1) 由由 Newton 定律及定律及 Hooke 定律有定律有 . )()()(txktftxm 即物体运动的微分方程为即物体运动的微分方程为 , )()()(tftxktxm .0)0()0( xx位置位置 处开始运动，处开始运动， 的外力为的外力为 。 例例 质量为质量为 m 的物体挂在弹簧系数为的物体挂在弹簧系数为 k 的弹簧一端的弹簧一端( (如图如图) ) )(t

14、f0 x. )(tx若物体自静止平衡若物体自静止平衡 求该物体求该物体 的运动规律的运动规律 ，作用在物体上，作用在物体上 ( (跳过跳过?)?)19第九章 拉普拉斯变换 9.4 Laplace 变换的应用及综合举例 解解 (1) , )()()(tftxktxm .0)0()0( xx对方程组两边取对方程组两边取 Laplace 变换，并代入初值得变换，并代入初值得 , )()(txsX (2) 令令 , )()(tfsF , )()()(2sFsXksXsm 记记 ,20mk , )(1)(20200sFsmsX 有有 当当 具体给出时，即可以求的运动方程具体给出时，即可以求的运动方程 )

15、(tf. )(tx并利用卷积定理有并利用卷积定理有 ,sin020201ts (3) 由由 .)(sin1 )()(001tftmsXtx 20第九章 拉普拉斯变换 9.4 Laplace 变换的应用及综合举例 解解 ,sin020201ts 利用卷积定理有利用卷积定理有 .)(sin1 )()(001tftmsXtx 当当 具体给出时，即可以求的运动方程具体给出时，即可以求的运动方程 )(tf. )(tx(3) 由由 此时此时 .sin)(00tmAtx 可见，在冲击力的作用下，运动为正弦振动，可见，在冲击力的作用下，运动为正弦振动， 振幅为振幅为 ,0 mA角频率为角频率为 ,0 称称 为

16、该系统的为该系统的自然频率自然频率或或固有频率固有频率。 0 设物体在设物体在 时受到冲击力时受到冲击力 , )()(tAtf 0 t例如例如 A 为常数。为常数。 21第九章 拉普拉斯变换 9.4 Laplace 变换的应用及综合举例 在数学软件在数学软件 Matlab 的符号演算工具箱中，提供了专用函数的符号演算工具箱中，提供了专用函数 来进行来进行 Laplace 变换与变换与 Laplace 逆变换。逆变换。 (1) F = laplace ( f ) 对函数对函数 f ( t ) 进行进行 Laplace 变换，变换， 三、利用三、利用 Matlab 实现实现 Laplace 变换变

17、换 * 对并返回结果对并返回结果 F ( s )。 (2) f = ilaplace ( F ) 对函数对函数 F ( s ) 进行进行 Laplace 逆变换，逆变换， 对并返回结果对并返回结果 f ( t )。 补补 ( (跳过跳过?)?)22第九章 拉普拉斯变换 9.4 Laplace 变换的应用及综合举例 解解 Matlab 程序程序 clear; syms t; f = t*exp( 3*t)*sin(2*t); F = laplace(f)； F=4/(s+3)2+4)2*(s+3) 输出输出 求函数求函数 的的 Laplace 变换。变换。 例例 tttft2sin)(3e 即即

18、 .4)3()3(4)(22 sssF23第九章 拉普拉斯变换 9.4 Laplace 变换的应用及综合举例 解解 Matlab 程序程序 clear; syms t; f = sin(t)/t; F = laplace(f); 其中，其中， atan 为为反正切函数。反正切函数。 F=atan(1/s) 输出输出 求函数求函数 的的 Laplace 变换。变换。 例例 tttfsin)( 即即 .arccot1arctan)(sssF 24第九章 拉普拉斯变换 9.4 Laplace 变换的应用及综合举例 解解 Matlab 程序程序 clear; syms s; F=(s2+2*s+1)/(s2-2*s+5)/(s-3); f = ilaplace(F); 其中，其中， exp为为指数函数。指数函数。 f = 2*exp(3*t)-exp(t)*cos(2*t)+exp(t)*sin(2*t) 输出输出 求函数求函数 的的 Laplace 逆变换。逆变换。 例例 )3( )52(12)(22 ssssssF即即 .2sin2cos