(完整版)工程数学(概率)综合练习题整理

1、北京邮电大学高等函授教育、远程教育工程数学综合练习题通信工程、计算机科学与技术专业（本科）概率论与随机过程部分一、设 A、B、C 为三事件，用A、B、C 运算关系表示下列事件：1 A 发生， B 与 C 不发生： _、C中至少有一个发生：_2A B3 A、B、C 中至少有两个发生：_、C中不多于一个发生。_4A B二、填空1 设 A、B 为两个事件，且P( AB) 0.7, P( A)P( B)0.5，则（ 1） P( AB ) _， （2） P(A B)_;2若事件 A 发生必导致事件B 发生，且 P( A) 0.4,则 P( B A)_, P( AB) _;3若 A、 B 为任意两随机事件

2、，若P( A), P( B), P( AB) 已知，则P( AB)_， P( A) _;4 设有三事件 A1、 A2、A3 相互独立，发生的概率分别为p1 、 p2 、 p3 ，则这三事件中至少有一个发生的概率为_, 这三事件中至少有一个不发生的概率为 _;5 若随机变量X B （ 5，0.3） ,则 P X=3 =_,PX 4=_;6 设随机变量X B ( n, p) ，且 EX=2.4,DX=1.44, 则 X 的分布列为P Xk_,P X3_;7已知随机变量X 的概率密度函数为1( x 1)2f ( x)e8( , )2 2则 EX=_， DX =_，X 的分布函数 F ( x) _;8

3、设 X N（ 1.5,4）,则 P X3 _;(已知(0.75)0.7734,(2.25).9878)12 2x9若 X N（ ， 2），且 Ye 2e 2,则 E(Y) _;10设随机变量 X 的概率密度为f (x)ke 3 x,x0 则常数 k _ 。0,x011设随机变量 X U 1， 3，则 E1_。X12设随机变量 X ( ), 且 E (X 2 )2, 则_。13设舰艇横向摇摆的随机振幅X 服从瑞利分布，其概率分布密度为x 2x e 2 2f ( x)2,x0, 其他 0，则 E（X） =_ 。14已知（ X，Y）的分布律为Y123X111169182 13且知 X 与 Y 相互独

4、立，则和分别为 _,_。15已知（ X，Y）的分布律为Y 10 1X10.20.10.120.100.1300.30.1则：（ 1） E（X） =_（ 2） E（Y） =_三、单项选择题1一批产品共 100 件，其中有 5 件不合格，从中任取 5 件进行检查，如果发现有不合格产品就拒绝接受这批产品，则该批产品被拒绝接受的概率为（ C ）A C955B 5C95514C 1D 1595C1005100C1005C51001002设 A、B 为两事件， P( A B)P( AB )且P( A)0.4,则P( B)（ B ）A 0.2B 0.4C 0.6D 13设离散型随机变量 X 的分布律为2X0

5、12P0.30.50.2若 F ( x)为 X 的分布函数， 则 F（ 1.5）=( B )A 0.8B 0.5C 0D 14设随机变量 X 的概率分布密度为f (x)3x 2,0x a则 a0,其他( C )1B1C 1D 2A 245设随机变量 X 与 Y 独立，其方差分别为 6 和 3，则 D（2X Y）=（ D ）A 9B 15C 21D 276设随机变量 X 与 Y 独立， X 的概率密度为8,x22y,0 y1f X ( x)x3的概率密度为Yf Y ( y),其他0,其他0则E（XY）=（ D ）4B578A 3CD 333四、某产品每批中都有三分之二合格品，检验时规定：先从中任

6、取一件，若是合格品，放回， 再从中任取一件， 如果仍为合格则接受这批产品，否则拒收，求一批这种产品被拒收的概率，以及三批产品中至少有一批被接收的概率。五、袋中有5 个白球， 3 个黑球，分别按下列两种取法在袋中取球：（ 1）从袋中有放回地取三次球，每次取一球， （ 2）从袋中无放回地取三次球，每次取一球（或称从袋中一次取三个球），在以上两种取法中均求A=恰好取得 2 个白球的概率。六、将 n 个球放入 N 个盒子中去，试求恰有七、为了防止意外，在矿内安装两个报警系统n 个盒子各有一球的概率（n N）。a 和 b ，每个报警系统单独使用时，系统a 有效的概率为0.92，系统 b 有效的概率为0.

7、93，而在系统a 失灵情况下，系统b 有效的概率为 0.85，试求：（ 1）当发生意外时，两个报警系统至少有一个有效的概率；（ 2）在系统 b失灵情况下，系统a 有效的概率。八、设有一箱产品是由三家工厂（甲、乙、丙）生产的，已知其中1 产品是由甲厂生2产的，乙、丙两厂的产品各占1 ，已知甲、乙两厂产品的2%是次品，丙厂产品的4%是次4品。试求：（1）任取一件是次品又是甲厂生产的概率； （ 2）任取一件是次品的概率； （3）任取一件已知是次品，问它是甲厂生产的概率。九、设某工厂实际上有96%的产品为正品，使用某种简易方法验收，以98%的概率把本来为正品的产品判为正品，而以5%的概率把本来是次品的

8、产品判为正品。试求经简易验3收法被认为是正品的确是正品的概率。十、对以往数据进行分析表明，当机器开动调整良好时，产品的合格率为90%，而当机器不良好时，其产品的合格率为30%；机器开动时，机器调整良好的概率为75%。试求某日首件产品是合格品时，机器调整良好的概率。十一、两批产品一样多，一批全部合格，另一批混有1 的次品，从任一批中取一产品4检测后知为合格品，又将其放回，求仍在这一批产品中任取一件为次品的概率。十二、由统计资料可知，甲、乙两城市，一年中雨天的比例分别为20%和18%，且已知甲下雨时，乙也下雨的概率为60%。试求甲、乙至少有一地出现雨天的概率。十三、一批零件共100个，次品率为 1

9、0%，每次从中任取一个零件，取出零件不再放回去，求第三次才取得正品的概率。十四、三人独立地去破译一个密码，他们能译出的概率分别为1、 1、 1。问能将此534密码译出的概率是多少？十五、已知某工厂生产某种产品的次品率为0.01，如果该厂以每 10个产品为一包出售，并承诺若发现包内多于一个次品便可退货，问卖出的产品被退回的概率？若以20 个产品为一包出售，并承诺多于2 个次品便可退货，问卖出的产品被退回的概率。十六、设有 20 台同类设备由一人负责维修，并假定各台设备发生故障的概率为0.01，且各台设备是否发生故障彼此相互独立，试求设备发生故障而不能及时维修的概率，若由3人共同维修 80 台设备

10、情况又如何？npk (1p) n kk十七、用近似计算公式ek0,1,2,n 计算上面第十六题。kk!十八、某保险公司发现索赔要求中有15%是因被盗而提出的，现在知道1998 年中该公司共收到 20 个索赔要求，试求其中包含5 个或 5 个以上被盗索赔的概率。十九、设随机变量X 的密度函数为f ( x)Acosx,x20,2其他求（ 1）系数 A；（ 2） P 0X；（3）求 X 的分布函数。4二十、一种电子管的使用寿命为X 小时，其密度函数为100,x100f (x)x20,x100设其仪器内装有三个上述电子管（每个电子管损坏与否相互独立的），试求（ 1）使用 150 小时内没有一个电子管损

11、坏的概率；（ 2）使用 150 小时内只有一个电子管损坏的概率。二十一、设随机变量 X 的密度函数为4k 3x 2kx, x 0f (x)e2(k 0）0 , x 0求 X 的概率分布函数 F ( x) 。二十二、设连续型随机变量X 的分布函数x2F (x) a be 2 ,x00,x0求：（ 1）常数 a, b;（ 2） P 1 X 1；（ 3） X 的分布密度 f ( x)二十三、设 k 在 0， 5上服从均匀分布，求方程4x24xkk2 0有实根的概率。二十四、设 X 服从参数0.015的指数分布（1）求 P X 100；（ 2）如果要使PX x 0.1 ，问 x 应在哪个范围？二十五、

12、设测量某地到某一目标的距离时带有随机误差X，已知 X N（ 20，600），（ 1）求测量误差的绝对值不超过30的概率；（ 2）如果接连三次测量，各次测量相互独立，求至少有一次误差绝对值不超过30 的概率。二十六、设随机变量X 的分布列为X101252P11133510101010求（ 1） Y= 2X 的分布列；（ 2） Y=X2 的分布列。二十七、若随机变量X N（ 0，1），求 Y=X2 的分布密度。二十八、若随机变量X 的密度为f (x)1 e x , （， +），求 Y = X的概率密2度。二十九、设二维随机变量（X， Y）的分布列为Y0123X1111186246211111612

13、481231111161248125（ 1）求关于 X 和关于 Y 的边缘分布列；（ 2）判断 X 与 Y 是否独立；（ 3）求 PX+Y 3 ；（ 4）求 E(XY）。三十、设随机变量X 的分布列为X1012P11112666且 Y=X2 1求（ 1） Y 的分布列；（ 2）（ X， Y）的联合分布列； （ 3）判断 X 与 Y 是否独立。三十一、设随机变量X 与 Y 独立，且X 在 0， 0.2 上服从均匀分布，Y 的分布密度为f Y ( y)5e 5 y ,y00,y0求（ X， Y）的分布密度及PY X。三十二、设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f ( x, y)xy,0x 1, 0

14、 y 10 , 其他（ 1）求 PX+Y 1；（ 2）问 X 与 Y 是否相互独立？（ 3）求 E（X+Y ）和 D（X+Y ）。三十三、设二维连续随机变量（X，Y）的密度函数为Axy2 ,0 x 2,0y 1f ( x, y)其他0 ,求（ 1）常数 A；（2）关于 X 的边缘分布密度f X ( x);（ 3）关于 Y 的边缘分布密度f Y ( y); （ 4） EX 。三十四、设 X 的分布列为X 202P0.40.30.3求： EX， EX2， DX ， D（3X2+5 ）。三十五、设（X， Y）的分布密度为f ( x, y)1 (xy),0 x 2,0 y 280,其他求 (X,Y)

15、。6北京邮电大学高等函授教育、远程教育工程数学综合练习解答通信工程、计算机科学与技术专业（本科）概率论与随机过程部分一、 1.ABC;2. ABC;3. ABCABCABCABC4. ABCABCABCABC二、填空：21（ 1）0.2,(2);2 10.453 P（A） +P（B） P（AB） ，1 P（A）；4 1(1p1 )(1p2 )(1p3 ),1p1 p2 p3；5 C53 (0.3)3 (0.7) 2 (或0.135),C54 (0.3)4 (0.7)1C55 (0.3)5 (或0.0280.002) ； C kk(0.6)6 k,k0,1, 2, 6,C3(0.4)3(0.6)

16、3或 864；66 (0.4)63125x1(t1)271 ，4，e8dt,x2；28 0.7612;91 ；103 ；111 ln 3 ；12 1；2132；142,1；15 2， 0。99三、单项选择题1 C2 B3 B4 C5D6D四、解：设A1、A2 表示第一、二次取出的为合格品7P 拒收P 接收1P 接收1P( A1A2) 1 P(A1)P(A2 )122533953P 三批中至少有一批被接收1 P 三批全拒收60417299五、解：（ 1） N88883512,N A35532252P( A)N A2250.44N512（2） N876A83336,N A35433A51 A311

17、8022P( A)N A1800.54N 3365 3或2130P( A)80.54563六、解：令 A恰有 n个盒子各有一球NN N NN nnN ANn!nNn!n因此P( A)N n七、解：令 A系统 a有效B 系统 b有效8P( A)0.92P( B)0.93P( B A)0.85(1) P( AB)P( A)P( B)P( AB)其中P( AB)P( BBA)P( B)P( BA)P( B)P(A ) P(B A)0.93(10.92)0.850.862所以P( AB)0.92 0.930.8620.988(2) P(AB)P(AB)P( AAB)P( A)P( AB)P(B)1 P

18、(B)1 P(B)0.920.8620.82910.93八、解：设 A1、 A2、 A3分别为甲、乙、丙的产品，B 表示产品是次品，显然P(A1)11, P(A2 ) P(A3)42P(B A1 )P(B A2)2%P(B A3)4%由乘法公式P(A1 B)11%(1)P(B A1 )P( A1 ) 2%23(2)由全概率公式P( B)P(B Ai)P( Ai )i1114%12%2%0.0252441P(B A1)P( A1)2%（ 3）由 Bayes 公式P( A1 B)20.430.025P(B Ai )P( Ai )i 1九、解：设 A 表示原为正品P( A)=96%P( A)=4%设

19、 B 表示简易验收法认为是正品P(B A)=98%P(B A) =5%所求概率为P(AB)P(AB)P( A)P( B A)P(B)P(B A)P( A) P( B A)P( A)0.960.980.9980.980.960.050.04十、解：设 A=机器调整良好B=合格品P( A) =75%P( A ) =25%P(B A) =90%P(B A) =30%9因此 P( A B)= P( AB)P( A)P(B A)P( A)P(B A) P( A)P(B A)P(B)75%90%90%75%90%25%30%十一、解：设A1、 A2 分别表示第一次取到有次品产品的事件和无次品产品的事件，B

20、为第一次取出的合格品，显然有13P(A1) P(A2 ), P(B A1), P(B A2) 124由 Bayes 公式P(A1B)P( A1)P(B A1)P( A1)P(B A1) P( A2)P(B A2 )132 41 3 1124237设 C 表示第二次取出次品的事件P(C)3137428十二、解：设A=甲出现雨天 ，B=乙出现雨天由题意可知P( A) =0.2,P(B) =0.18,P(B A) =0.6所求概率为P( A B)= P( A)+ P( B) P( AB)= P( A)+( B) P( A) P( B A)=0.2+0.180.2 ×0.6=0.26十三、解

21、：令Ai第 i次取出为正品i1,2,3,所求概率为P( A1 A2 A3 )P( A1 A2 )P(A3 A1 A2 )P(A1 )P(A2 A1)P(A3 A1 A2 )10990100990.008498十四、解：设Ai第 i 人能译出i1,2,3A=密码被译出则 AA1 A2A3P( A) P( A1A2A3) 1 P(A1A2A3 )4231 P( A1 )P( A2 )P( A3) 130.654十五、解：设X 表示卖出的一包产品中的次品数（1） X B（ 10， 0.01）于是P 卖出的一包被退回= P X 1 =1 PX1=1 P X=0 P X=1100( 0.01)0101(

22、0.01)1(0.99)90.004=1 C10(0.99）C10（ 2） XB （20， 0.01）P卖出的一包被退回= P PXX 2=12=1 P X=0 PX=1 P X=200201(0.01)1(0.99)192(0.01)2(0.99)180.001= 1 C20 (0.01)(0.99）C 20C20十六、解：先研究一人负责维修20 台设备的情况。在某一时刻设备发生故障的情况可视为在此时刻对20 台设备逐个进行检查，每次检查只有两个可能结果；设备发生故障或设备正常工作，因此可视为一个n(n20) 重贝努利试验。若令 X表示某时刻设备发生故障的台数，则X B（20， 0.01 ）

23、 .由题意知， 当发生故障的台数超过维修工作人数，即超过 1 时，将发生不能及时维修的现象，因此，所求事件概率为PX 1=1 P X 1=1 P X=0 P X=1=1 ( 0.99)2020(0.99)190.011=0.017对于 3 人共同维修80 台设备的情况，可类似于上面的讨论，此时X B（ 80， 0.01 ），并且发生故障不能及时维修的概率为P X 3=13P X kk0=380k(0.99)80 k1(0.01)k 0k=0.008十七、解：一人维修20 台的情况：n 20, p0.001,np 0.2 20.2ke0.2P Xk0k!查附表 2得P X 2 0.01753 人

24、维修 80 台的情况：n80, p0.01,np0.811P X 40.8ke 0.8k 0k!=0.00905十八、解：令X表示 20 个索赔中被盗索赔的个数X B（ 20， 15%）所求概率为P X 5 =1 P X 5=1443k3(20 0.15 3)P X k 1ek0k 0k!( 查表 )=1 0.049787+0.149361+0.224042+0.224042+0.168031=1 0.815263=0.184737十九、解：（ 1）1=f (x) d x2A cosx d x2 A2 cosx d x20=2Asin x 02=2A,A=12f ( x)1 cosx,2x故2

25、20,其他（2）P 0X4 1 cos x d x = 1 sin x 41 sin240220244（ 3）当 x 时, F ( x) 02当 x 时，22F (x)xx1 cosu d ux1 (sin x 1）f (u) d u1 sin u2 2222当 x 时， F (x)120,x12总之F ( x)x(sin x 1) ,2221,x2二十、解：令p 表示一个电子管使用寿命不超过150 小时（即150 小时内损坏）的概率，于是12p = P X 150 =1501002 d x10015011001100 xx1001503若 Y 表示 150 小时内损坏电子管的数目，则Y B3

26、, 1303于是（ 1）P=0 =0128;YC3332712（2）=1 =1 1212 4PYC333279二十一、解：当 x 0 时F ( x)xf (u) d u0当 x 0 时F ( x)xf (u) d ux k 3 x2ekxd x02k3x2e kx2xe kx2e kx2kk 2k 31k 2 x 22kx2 e kx2k2 x22kx2kx,x0因此 F ( x)12e0,x0二十二、解：（ 1）由 1= limF ( x), 得 a1x由 F (x)在 x 0处连续 ,F( 0)abF (0) 0以及 a1, 得 b1, 于是x2F (x)1e 2x00x023k1（ 2）

27、 P 1 X1 = F （1） F （ 1）=1- e 20.3935x2（ 3） f ( x)F ( x)xe 2x00x0二十三、解：有实根是当 b 24ac0即(4k)24 4 (k2) 013即 16k 216k 320即 k 2k2 0k 2 0 或 k2 0 即k2 或 k1k10k10fk (x)1 ,0x550 ,其它于是 P 有实根P k2 或 k1P k2P k15 1d x10 d x32 55二十四、解：依题意X的密度函数为f (x)0.015e 0. 015 x ,x00,x0（1） P X 0f (x) d x1000.015e 0.015 xd x100e 0.015x100e 1.50.223（2）如果要使 P X x 0.1即xf ( x) d xx0.015e 0.015 u d ue0.015uxe 0.015 x0.1即 0.015x ln0.1即xln 0.10.015二十五、解：（ ）PX30= Px 30=302030 201 304040( 0.25)( 1.25)0.59870.874410.4931（ 2）令 Y 表示三次测量绝对值误差不超过30 的次数则 Y B（ 3， 0.4931 ）因此 P Y 1=1 P Y 1=1 P Y=0 =1（ 0.4931 ） 3 0.88 二十六、