教学课题§4 具有某些特性的函数_第1页
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文档简介

1、教学课题：4 具有某些特性的函数教学目的：深刻理解函数的有界性、单调性；理解奇偶性、周期性。教学重点：有界性、单调性的应用教学过程在本节中，我们将介绍以后常用的几类具有某些特性的函数，如有界函数、单调函数、奇偶函数与周期函数。其中，有些概念在中学里已经学过，因此，这里只是简单地复习一下。一、有界函数1、有上界函数、有下界函数的定义定义 设为定义在上的函数，若存在数，使得对每一个有，则称为上的有上（下）界函数，称为在上的一个上（下）界。注： 在上有上（下）界，意味着值域是一个有上（下）界的数集；又若为在上的一个上（下） 界，则任何大于（小于）的数也是在上的上（下）界。2有界函数定义定义 设为定义

2、在上的函数。若存在正数，使得对每一个有，则称为上的有界函数。注：（）几何意义：为上的有界函数，则的图象完全落在和之间；（）在上有界在上既有上界又有下界；例子：；（3）关于函数在上无上界、无下界或无界的定义。在上无上界使（其余叙述类似）3例题例 证明为上的无上界函数。证 使 故上无界。例设为上的有界函数。证明：（）；（）.二、单调函数 定义 设为定义在上的函数， （）若，则称为上的增函数；若，则称为上的严格增函数。（）若，则称为上的减函数；若，则称为上的严格减函数。例证明：在上是严格增函数。证明 当，有 故例讨论函数在上的单调性。例讨论函数在上的单调性。注：）单调性与所讨论的区间有关。在定义域的

3、某些部分，可能单调，也可能不单调。）严格单调函数的几何意义：其图象与任一平行于轴的直线至多有一个交点。这一特征保证了它必有反函数。总结得下面的结论：为严格增（减）函数，则必有反函数，且在其定义域上也是严格增（减）函数。提示： 严格按定义证例讨论函数在上反函数的存在性。例6证明：当时在上严格增，当时在上严格递减。证：设，注意当时，严格递增。，利用有理数的稠密性知，故有 严增。同理当时，严格递减。注：由例6及定理1.2知: （）当时严增，当严减。三、 奇函数和偶函数定义. 设为对称于原点的数集，为定义在上的函数。若对每一个有（），则称为上的奇函数；（），则称为上的偶函数。注：从函数图形上看，奇函数的图象关于原点对称（中心对称），偶函数的图象关于轴对称；奇偶性的前提是定义域对称。例 是奇函数；是偶函数；而既不是奇函数也不是偶函数。四、周期函数 定义设为定义在数集上的函数，若存在，使得对一切有，则称为周期函数，称为的一个周期。 几点说明：（） 若是的周期，则也是的周期，所以周期若存在，则不唯一。如。若在周期函数的所有周期中有一个最小的周期，则称此最小周期为的“基本周期”，简称“周期”，常用来表示。例 ，周期=；（） 任给一个函数不一定是周期函数，如： ；既使存在周期也不一定有基本周

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