合工大电磁场与电磁波第六章答案汇总

1、第6章习题答案6-1在卩r =1、Er =4、b =0的媒质中，有一个均匀平面波，电场强度是E(z,t) = Em sin(©t -kz + 兰)若已知f3= 150 MHz，波在任意点的平均功率流密度为0.265卩w/m2，试求:该电磁波的波数 k =?相速Vp =?波长扎=?波阻抗n =?t =0, z =0 的电场 E(0,0) =?时间经过0.1 as之后电场E(0,0)值在什么地方？时间在t =0时刻之前0.1 as电场E(0,0)值在什么地方？解：(1) k =©=竺打=2兀(rad/m)cI8Vp =c/Jgr =1.5x10 (m/s)一 2兀(2 )Sav

2、Z = = 1 (m)kfjjTn=120兀丄=60兀(Q)V名r-丄E22口- Em1.Em -0.26102生V気碎= 1.00x10rV/m)E(0,0)兀2= EmSin =8.66咒10 (V/m ) 3(3) 往右移 业=7pN =15 m(4) 在0点左边15 m处6-2试求:一个在自由空间传播的均匀平面波，电场强度的复振幅是E =10 e20ex +10 七""嘔y 伏 /米电磁波的传播方向？电磁波的相速Vp =?波长A =?频率f =?磁场强度H =?沿传播方向单位面积流过的平均功率是多少？(1)(2)(3)(4) 电磁波沿z方向传播。自由空间电磁波的相速

3、 Vp = c = 3x108m/s-2兀2兀= 0.1(m)A =k20兀© k =20 兀c 尬=20兀c仞c=10c=3%10 Hz 2兀1-j(20 沱屮)(3) H=265X1062ex+eW0%y)(A/m)(4) Sav =1Re(E>cH*) = "ez =265>d01ez(W/m2)6-3证明在均匀线性无界无源的理想介质中，不可能存在 证可E = -jkE0ekz hO，即不满足 Maxwell方程 不可能存在E =Eoezez的均匀平面电磁波。E =Eojkzez的均匀平面电磁波。6-4在微波炉外面附近的自由空间某点测得泄漏电场有效值为1V

4、/m，试问该点的平均电磁功率密度是多少？该电磁辐射对于一个站在此处的人的健康有危险吗？(根据美国国家标准，人暴露在微波下的限制量为102W/m2不超过6分钟，我国的暂行标准规定每8小时连续照射，不超过 3.8X 10-2w/m2。)解：把微波炉泄漏的电磁辐射近似看作是正弦均匀平面电磁波，它携带的平均电磁功率密度为耳=丄=2.65x10W/m2 b 377可见，该微波炉的泄漏电场对人体的健康是安全的。6-5在自由空间中，有一波长为 12cm的均匀平面波，当该波进入到某无损耗媒质时，其波长变为 时E =31.417/m , H =0.125A/m。求平面波的频率以及无损耗媒质的気和片。8cm，且此

5、解：因为打/J片,所以 片 =(12/8)2 =9/4E卩 f E又因为一 =120兀 ，所以 丄 = =0.4443HY 耳£rV12H 丿片=1, Er =2.256-6若有一个点电荷在自由空间以远小于光速的速度电荷所受的磁场力与电场力的比值。解：设V沿z轴方向，均匀平面波电场为E，则磁场为1H =丄/E%v运动，同时一个均匀平面波也沿v的方向传播。试求该电荷受到的电场力为Fe =qE 其中q为点电荷电量，受到的磁场力为 Fm=qv>cB=q%vez%H q%vn E=-qvJ%E0一 qvEc故电荷所受磁场力与电场力比值为Fe "c6-7 一个频率为f =3GH

6、z , e方向极化的均匀平面波在 =2.5，损耗角正切值为沿正ex方向传播。(1) 求波的振幅衰减一半时，传播的距离；(2) 求媒质的波阻抗，波的相速和波长；(9兀、(3) 设在X =0处的E =50sin 6兀咒10 t + ey，写出H (x,t)的表示式。10-2的非磁性媒质中,b2解：(1) tanf =10 -，这是一个低损耗媒质，平面波的传播特性，除了有微弱的损耗引起的衰减之外，和 理想介质的相同。其衰减常数为CT F 10-八亍 10-xx3<109Ca J JP名=0.4972 讥 223<108因为e-哇=1/2，所以I =昨 =1.40ma(2) 对低损耗媒质，

7、n上JP兀 =120兀/J25 =238.4 Q 相速 V=塹2 =1.90>d08m/s波长 Z =v/ f =0.0632(m) =6.32(cm)(3) p 止a展二"10?25 =99.33 咒 108H (x,t50e0.5xsin(6沢 x109t 氐 +y)ez_0.5x0 5x9兀= 0.21esin(6兀 x109t -99.3x +-)ez (A/m)6-8微波炉利用磁控管输出的r =40(1 -0.3j)。求：(1) 微波传入牛排的穿透深度(2) 微波炉中盛牛排的盘子是发泡聚苯乙烯制成的，其等效复介电常数 何用微波加热时，牛排被烧熟而盘子并没有被毁。11

8、讣 =0.0208m = 20.8mm3丿j2.45GHz频率的微波加热食品，在该频率上，牛排的等效复介电常数6，在牛排内8mm处的微波场强是表面处的百分之几？=1.03(1-)0.3x10")。说明为即”严8=68%(2)发泡聚苯乙烯的穿透深度2仰)231082x2.45X109x0.3X10tJ103= 1.28xi03(m)可见其穿透深度很大，意味着微波在其中传播的热损耗极小，所以不会被烧毁。6-9已知海水的CT =4S/m，% =81,巴=1，在其中分别传播 f =100MHz 试求：a =?P = ?Vp = ?A = ?或f = 10kHz的平面电磁波时,解：当f.c-1

9、00MHz 时， =8.88OS当f2忑4-10kHz 时，=8.8勺04故f2OS=10kHz时，媒质可以看成导体，可以采用近似公式a sz P 俺 J （aPbV2而f1 = 100MHz时媒质是半电介质，不能采用上面的近似公式。（1）当 f1 = 100MHz 时2PlUp1= Jjj1+(=)2 -1 =37.5(Nep/m) V 2 VV恥=0.149>d08(m/s)2兀>,=0.149(m)(2)当 f2 =10kHz 时口2P2Up2止 2 乏 j4b = 0.397止 0.397(Nep/m)a：0.397(rad/m)尬5=1.58x105(m/s)P2入2 =

10、 2=15.8(m)P26-10证明电磁波在良导电媒质中传播时，场强每经过一个波长衰减2兀 2兀a54.54dB。证：在良导体中，a止P，故几=P2冗1因为 E Eoe" =Eoe兀所以经过一个波长衰减-20lg 旦=20lg（eS） E0= 54.57(dB)6-11为了得到有效的电磁屏蔽，屏蔽层的厚度通常取所用屏蔽材料中电磁波的一个波长，即 d =2兀6式中6是穿透深度。试计算（1）（2）（3） （铝：收音机内中频变压器的铝屏蔽罩的厚度。电源变压器铁屏蔽罩的厚度。若中频变压器用铁而电源变压器用铝作屏蔽罩是否也可以？=3.72 X107Sm , % =1，卩r =1；铁： CT =

11、107S/m , %=1 ,4r=104, f= 465kHz。） 解:(1)铝屏蔽罩厚度为d =2兀J'32P7 =7.60 冥 10(m) =0.76(mm)V2兀 X465X103 X4兀咒103.72咒107铁屏蔽罩厚度为d叭莎莎扁“41皿(m)十他) d铁=2珂2"465x103x4；x101104 x107 "47>d0(m)=他)d铝=2兀 JJ 二 7.33x10/(m) =73(mm)丫2兀 x50x4兀咒10二咒3.72咒107用铝屏蔽50Hz的电源变压器需屏蔽层厚 73mm，太厚，不能用。用铁屏蔽中周变压器需屏蔽层厚14.7Am，故可以选

12、用作屏蔽材料。N股纱包线的高6-12在要求导线的高频电阻很小的场合通常使用多股纱包线代替单股线。证明，相同截面积的 频电阻只有单股线的丄。Tn证：设N股纱包中每小股线的半径为 r ,单股线的半径为 R，贝y nR2 =N；ir2，即R=JNr单股线的高频电阻为c1R1 =rc 2 兀 R6 其中o为电导率，6为趋肤深度。N股纱包线的高频电阻为rnCT ”2 兀 rN 6RnRR UNrrNrN1"Tn6-13已知群速与相速的关系是Vr+罟式中P是相移常数，证明下式也成立、dVpVV PF证：由P =2兀得dPA2兀 Vg=Vp +、A1=2叱(、)Advp2兀.dVp=VP(计几6-

13、14判断下列各式所表示的均匀平面波的传播方向和极化方式E(1)(2)=jE1ejkz e jE1ejkzey Fe% Hzez(L-jkz. L -jkz=E0eex - j Eoeey-jkz . L丄 A L j 半、=e(E0ex + AEoe ey)HHO )(A为常数，W北0,±兀)/ Em4ky丄:Em-iky(6)=(寸 ex+ re eE (z,t) = Em sin(吒-kz)ex + Em cost -kz)ey/、兀兀(7) E (z,t) =EmSin(©t kz+)ex +Emcos(«t kz )ey44解：(1 ) z方向，直线极化。

14、 直线极化。 右旋圆极化。 椭圆极化。(2)(3)(4)(5)(6)(7)+ x方向，+ z方向，+ z方向，+ y方向，右旋圆极化。 + z方向，左旋圆极化。+ z方向，直线极化。6-15证：设沿证明一个直线极化波可以分解为两个振幅相等旋转方向相反的圆极化波。 z方向传播的直线极化波的电场矢量方向与ex方向夹角为0 ,则 E = E1 (cosesin日ey)ePj+e日j-e=E1 (ex +2 x 2j=E1©%* -je甩y)e4伍+号心* +je=E右圆+ E左圆ey)e住6-16证明任意一圆极化波的坡印廷矢量瞬时值是个常数。 证：设沿z方向传播的圆极化波为E (z,t)

15、= EmCOS®t -kz+W ± 专)ex + Em cos® t kz+ ® )ey则坡印廷矢量瞬时值ezx ES=EXH =Ex n芈 Eez-E ez EnnE： cos2 Gt-kz + W ±M+Emcos(©t -kz +护)2丿e6-17有两个频率相同传播方向也相同的圆极化波，试问：(1) 如果旋转方向相同振幅也相同，但初相位不同，其合成波是什么极化？(2) 如果上述三个条件中只是旋转方向相反其他条件都相同，其合成波是什么极化?(3) 如果在所述三个条件中只是振幅不相等，其合成波是什么极化波？解: (1 )设巳=E0(

16、ex ±jey)eWeJkzE2 =E0(ex±jey)e%齐贝 U E = E-i + E2= E0(ex ±jey)(eW+ej和故合成波仍是圆极化波，且旋转方向不变，但振幅变了。(2)设巳洛 +jey)畀尹E2 =E0(ex -jey)ejWrkz贝U E = E +E2= 2E0exe训eTkz故合成波是线极化波。(3)设 E1 =E10(ex ±jey)ej%dkzE2 =E20(ex±jey)ej%kz则 E =巳 +E2 =(巳0 +E20)(ex ±jey)e%jz 故合成波是圆极化波，且旋转方向不变，但振幅变了。6-

17、18 一个圆极化的均匀平面波，电场E = E0jkz( ex +j e y)垂直入射到Z =0处的理想导体平面。试求：(1)(2)(3) 解: (1)反射波电场、磁场表达式；合成波电场、磁场表达式；合成波沿z方向传播的平均功率流密度。 根据边界条件(E +Er) Iz 占=0故反射电场为Er = -E0(ex + jey)护Hr =1(6)泻一导ejB(jex-ey)(2) E=Ei+ Er =-2jEoSi n(Pz(ex + jey)zXEi +：(-ez)xEr / jcosPzjex+ey)1(3)Sa-Re(H*')= 2Re2jE0Sin(+jeyN=02E0CoS'

18、;z(jeey)6-19当均匀平面波由空气向理想介质(r =1 , b =0 )质的相对介电常数片。垂直入射时，有84%的入射功率输入此介质，试求介he -U解：因为R =2 1所以R又因为A-1 応+1 q + |r| I12R= 1-84%= 0.16，故 R =0.4勺 +0.42J0.4 丿= 5.446-20当平面波从第一种理想介质向第二种理想介质垂直入射时, 波腹点；若口2 <3，则分界面处为电场波节点。证：在分界面处的总电场为E = Ei0 + Er0 = Ei0(1 + R),电场的相位差，若相位差为零，则形成电场波腹点，若相位差若媒质波阻抗厲2 A *1，证明分界面处为

19、电场R = Er0 /Ei0 , R的幅角即为分界面处入射电场与反射 180°，则形成电场波节点。n2 -0R=一-，对于理想介质，R为-1,1之间的实数。若n2叫，贝y RaO，R的幅角为零，表示分界面处入射电场与反射电场同相，形成电场波腹点； 若n2 叫，则R cO , R的幅角为180°，表示分界面处入射电场与反射电场反相，形成电场波节点。6-21均匀平面波从空气垂直入射于一非磁性介质墙上。在此墙前方测得的电场振幅分布如图所示，求: 质墙的Sr ; (2)电磁波频率f。解:( 1) R=u兀竹 1 +州(1)介1 + RP = L1-RL 1.57=Sr =9(2)因

20、为两相邻波节点距离为半波长,所以几= 2x2 = 4m3X108f =75(MHz)46-22若在环=4的玻璃表面镀上一层透明的介质以消除红外线的反射，红外线的波长为 该介质膜的介电常数及厚度； 解：(1)n 2 =押3JS 名r3 =2，(2)当波长为0.75 口 m ,试求：(1)0.42 口 m的紫外线照射该镀膜玻璃时，反射功率与入射功率之比。d =亍=0.13 m4瓦4皿(2) “ ef =3 j2t叫2d*2 + jS tan P2dn _rR叮 J2V3tan P2d1 +辰3 +2j拓 tan-13-0.99j2R =0.1，即反射功率与入射功率之比为0.1。6-23证明在无源区

21、中向 k方向传播的均匀平面波满足的麦克斯韦方程可简化为下列方程kXH =&EEkXE "Ahk ”E = 0k H =0证：在无源区中向 k方向传播的均匀平面波可表示为E = E oe*因为VxH= Vx（H 0ekr）代入无源区麦克斯韦第1方程：可xH = jgE= 7ekrx H0= _jekP（k T>< H =jekrk>cH 0=-jkx H可得kxH =七沾同理可得kxE又因为0E"4E 0ekr），ekr七0=-jekP（k r 卜E0 一jekrk 七0=j k E代入无源区麦克斯韦第 4方程: 可得同理可得7 .Ek E = 0

22、k H =0=06-24已知平面波的电场强度E =（2 + j3）eX +4ey +3ez M®/4" V/m 试确定其传播方向和极化状态，是否横电磁波？解：（1） k = -1.8勺 +2.4$传播方向位于yz平面内，与y轴夹角日=180°arctan 2.4 =126.9°1.83（2）由于电场分量存在相位差W =arcta n，故为右旋椭圆极化。2（3）因为E k=0，所以是横电磁波。6-25证明两种介质（气=卩2 = 4。）的交界面对斜入射的均匀平面波的反射、折射系数可写成R _ - Si n（a -&）T = 2sin Qtco謝丄 s

23、in（q +&） 丄 sin（&i + 日t ）tan（3-耳）十2sin cos日iR/ =tan（q +&）式中q是入射角，0t是折射角。sin（日i + q ）cos（q -日t ）证：（1）因为所以R =n2COSq -叫85耳 丄 Icosq +834*1 _ 忏 _ V1 _ si ng*2 V &1V2sin&tsin dcosq s in Qcos 日 t 只丄 sinqcosq +sin Qcos日t=- sin（q -Q）sin （E +q）(2)因为所以(4)_n1cosg -cos日tR/ =qcOSG +2cot_ sin 日

24、cos8i _sin Qcos日tsinScosTi +sin geos日t_ sin2a -sin2日tsi n2a +si n28t_ sin(q -0t)cos(q + &t)sin(日i + 日t)cos(q -&t)_ tan(33)tan (3 +q)T丄=1 +R丄T + -sin(& -Q)丄sin (3 + 日t)2sin6t cos£sin (Ti +日t)n2T = y(1+R)_ si nQ +si n(&i &)cos(3 +3)】sinQsinpi + 日t)cos(q -Q)_ sinQ sin(q -Q)+($

25、+4)si*sin(日i +Q)cos(3 -Q)_ si nqsin 2sinQ *sin© +q)cos(q -Q)_ 2sin QtCOsQsin (3 +8t)cos(£i 也)6-26当平面波向理想介质边界斜入射时，试证布儒斯特角与相应的折射角之和为兀/2。证：布儒斯特角 兔 =arctanJn = arcsinJ n 2 =arccosf：BV1 + n2V1 中 n2所以布儒斯特角与折射角互余，即9b + 9t =-26-27(1)当频率f =0.3GHz的均匀平面波由媒质 心=4,巴=1斜入射到与自由空间的交界面时，试求 临界角0 =?c3 =60°

26、;入射时，在自由空间中的折射波传播方向如何？相速=60°入射时，反射波是什么极化的？当垂直极化波以当圆极化波以a= 30°&c =arcsin 丄V4(2) 因为 q 沁c发生全反射所以折射波沿分界面传播，形成表面波。v23咒108厂88Vp =丿3天10 =1.73咒10 (m/s)p M丘inq(3) 因为q 氏发生全反射，反射系数的模R=R/I =1，但反射系数的幅角 6丄工6/。将圆极化波分解成相位差ji/2的等幅垂直极化波与平行极化波，反射后振幅不变，但相位差发生了改变，所以反射波是椭圆极化波。6-28试问：（1）一个线极化平面波由自由空间投射到 &

27、; =4、耳=1的介质分界面，如果入射波的电场与入射面的夹角是o45。(2)当入射角0i =?时反射波只有垂直极化波。这时反射波的平均功率流密度是入射波的百分之几？布儒斯特角 Qb =arctann = arctanjEr =63.4°故当3 =0B =63.4o平行极化波全折射，反射波只有垂直极化波。12.2 2cos日i Jn sin 9i1 n 怡£三二一0.6 cosQ + 寸n -sin 6i1+n垂直极化波的入射功率流密度只有总入射功率流密度的2 1 2= -x0.6=18%26-29证明当垂直极化波由空气斜入射到一块绝缘的磁性物质上（ 足下列关系kr >

28、1、&r >1、b =0 ）时，其布儒斯特角应满而对于平行极化波则满足关系证：（1）R丄=0tan2 Tb_耳佝- Ar)"卅 r-1ScosTj -叫COS日t"zcosa +n1cos 日 ttan2 日B2C0BNcos日 t由折射定律可求出k1si nBcos2© =1-s in 2 0t =1-(-=s in 0B)2=k2s in®(2)代入方程（1）sin2 日COS2cos2si 门2如41-41-si n2 日 B)=1- ®r4r -1土J 14禺一1巴化- %）叮-1tan2% =時于(2)_ acosBi

29、-cos日tR/ =qcos&i +n2cos 日 tjcos 日 B =n2cos日 t(3)(2) (3)式联立=cosq讥r与垂直极化相比较，Pr与名r互换tan2弘人)B 汕1icos日B6-30设ZcO区域中理想介质参数为务1 =4、卩r1=1； Z>0区域中理想介质参数为£2=9、卩r2=1。若入射波的电场强度为E = e(g( e x + e y 岳 z)试求：(1 )平面波的频率；(2) 反射角和折射角；(3) 反射波和折射波。解：(1)入射面为xz面，入射波可分解为垂直极化波和平行极化波两部分之和，即E i丄 d6(geyEi| -eggex-Tez)

30、已知 k1(xsinq + zcosq)=6(J3x +z 得ki =12(2)kisin心2日i =60° =&r1sin q =厂二日t = 35.3 , k? = 18 v3cosq - J毎2 / 名1 - sin q cosq + >/名2 / 名 1 _sinp-0.420丁丄=2 cos®= = 0.580cosE +v® / 引-sin2®Rl =匹迤磴匸些亘L 0.0425 2 / s1) cosq 中 J2 / 勺 一sin2q2z2 / z1 cos®因此，反射波的电场强度为 E r =Er丄+ Erii ,

31、其中t 2=0.638(j / 引)cos日i + Js / ®-sin2 qE r 丄=-0.420e6(aH e yErii =0.0425e6gH(-ex -ez73)折射波的电场强度为 Et = Et丄+ Etii，其中8(E = 0.580eE til8（紬刖z8(yflz)6-31当一个f =300 MHz的均匀平面波在电子密度N =10141/米3并有恒定磁场B10-ez特斯拉的等离子体内传播，试求(2)该等离子体的张量介电常数 科=?如果这个均匀平面波是往 z方向传播的右旋圆极化波，其相速 Vp =如果这个波是往z方向传播的左旋圆极化波，其相速Vp =% =国2名1-

32、jL 0Ne2"心。"19)2 X10143gmo= 9.1x10r8.854x102=3E1017吕0m=11.6X10二8X5X10=8.79X10 9.1天102- =0.866 硝"22叽p g2 2= 0.053W； oT)= 1-3=0.910.866二% = j 0.053| 0-j 0.0530.8660.91vpj习+23天108=3.33咒108 ( m/s)JO.866-0.053c(3) Vp_ = =/ 3"08=3.件108 (m/s)V0.866 + 0.0536-32在一种对于同一频率的左、 右旋圆极化波有不同传播速度的媒

33、质中，两个等幅圆极化波同时向 Z方向传播,一个右旋圆极化另一个是左旋圆极化=EmeBZ( ex-jey)=Emez( ex式中02 A p1，试求(1) Z = 0处合成电场的方向和极化形式。(2) Z =丨处合成电成的方向和极化形式。解: (1) E= E1+ E2= 2Emex合成场指向ex方向，是线极化波。(2)E= E1+ E2=Em(e平+/阻冷+j(e爭4鸟览jP見 4直見=Eme2 (e 2+e 2 )ej(e* 心 zP _PP -P=2Eme 2 cos( z)ex +Sin( z)ey2 2/电场两分量相位差等于零合成场是线极化波 / % - P1、Sinz)P -P 8

34、- tan2 巳-耳-tan/2-卩1 cos(一2 Z)jPz-e 2 )ey故当z =丨时合成电场与x轴夹角为6-33设在Z >0的半空间是电子密度为N =10141/米3的等离子体，并有恒定磁场B0=5X10"ez特斯拉，在z<0半空间为真空。有一频率为300MHz的正圆极化波沿正 Z方向垂直入射到等离子体上，问在等离子体内传输波的场量为入射波的百分之几？解：对于正圆极化波，等离子体等效为相对介电常数为(知+2 )的介质，其中&、名2与6-31题相同，故T 222j® +S2J0.866-0.053T = J - f= 94.8 %厲2 +叫 1+ 护 11 + J0.866 -0.0536-34我们知道，当线极化平面波