2017年江苏省专转本高数知识点讲解第二章第五节微分.

1、第5节微分一、微分的概念二、微分的运算法则三、微分在近似计算中的应用一微分问题的提出问铁片的面积约增加了多少?一正方形铁片，边长为X。s s2 2(x0+ Ar)?座=S si=(兀o + Ar)2-x02=2x0Zx +(Zx)2解： 设正方形的面积S与边长X的函数关系为S(兀):S(x)S(x) = = X X2 2铁片面积的改变量为& = s(x0+ Ar) - s(x0) = 2x0Ar+(Ar)2可分为两个部分：其一：2孔心是 2 的线性函数,2X05(X)在处的导数 其二：(心)2是心的高阶无穷小 当ZSK很小时，(心尸必定很小，于是山2x()Ax3例y =才33Ay =

2、(%0+Ax/一兀/=3A:O2AX+ 3xoAx2+ zXx321微分的定义设函数y y = = f(x)f(x)在某区间内有定义，x()及+Ar在这个区间内，如果函数在点无处的增量Ay =f(xf(x0 04-zr)-/(x0)可表示为 = A Ar+o(Ar) (1)其中A不依赖于心，当ATTO时o(Ax)是比 心 高阶的无穷小，则称y y = = fMfM在点勺可微而称4 Ax：为函数y y = = f(x)f(x)在点x0处 相应于自变量增量心的微分前面的问题可转述为：满足什么样条件的函数可微?若y y = = M M可微，则(1)式中的A为何值?记作dydy = = A Adf(x

3、)df(x) = = A AAx2可微的条件定理 函数八兀)在点可微的充要条件是:y y = = f(x)f(x)在乩可导。证明：必要：若y y = = f(x)f(x)在点 7 可微，Ay = /(x0+Ar)-/(x0) =AAx+o(Ax)空=4 +冬也lim = A心Ax:so Ar y=f(x)y=f(x)在点x()可导，且fxfx0 0) ) = = A A充分：若y y = = f(x)f(x)在点X。可导，则= = f f(x0)詈=/(%)+a Ay= / (x0)Ax + a zr lim笑&二0a2 =o(Ax)Ar-0/X即Ay =广Oo)“+。(心)其中:/

4、Uo)与Ax无关，故y y = = f(x)f(x)在勺可微. 注：1.y y = = fMfM在点勺处的可微性与可导性是等价的; 且 |创(兀。)&2.当f (xo)O时，点兀。处的微分dydy = = f f (x(xQ Q) ) xx是关于 2 的线性函数3当f(兀。)工0时，mnL八兀小MTOAy肚叫Ay）&TO（Ay丿=1-lim心乜）=1-1 = 0AATOAyAx所以，当Ar TO时，函数在点兀。的增量 0 与微分dydy是等价的无穷小dydy是的线性主部。4若函数y y = = f(x)f(x)在某一区间内每一点都可微，则称y=f(x)y=f(x)是该区间内的可

5、微函数, 函数在区间内的任意一点微分也可写成心=/(x)Ax:它不仅与AX有关，而且与兀有关5通常把自变量的增量记作d无即dxdx = = Z Z称为自变量兀的微分，于是函数y y = = fMfM的微分记为dydy = = f f x)dx,x)dx,兀可看作函数的微分与自变量微分的商, 导数又称为微商。6.求微分时，可先求导数，再乘dxdx二微分的运算法则1.微分基本公式(1)d(c) =0d(aA) = aAnadx(5)d d(log “x)x) dxdxxnaxna(7) d(sinx) = cos兀dxd(eA) =exdx(6) t/Qn xx = = dxdx X X(8)(c

6、osx) = -sinxdxdd = jux-dxX2微分运算法则1函数的和、差、积.商的微分法则 设 =V = v(x)都可微，贝(J(1)d(ud(uv)=duv)=dudvdv(2)d(uv)d(uv) = = vdu+udvvdu+udv2复合函数的微分法则设y y = = f(u)f(u) u u =(p(x)=(p(x)在相应的点处可微，则y y = = f(pW)f(pW)可微，dydy = = y yX Xdxdx = = f f u)(pu)(p xdxxdx = = f f u)duu)du即，无论U是自变量还是中间变量，微分形式dydy = = f f u)du)du u

7、d(cd(cv)v) = =(T保持不变，称为一阶微分形式不变性。 例1. j =sin(2x+l)求Ny解：dydy - -cos(2x +l)dl)d(2x +1) =cos(2x+l)(2x+1) =cos(2x +l)(2dxl)(2dx+ 0) = 2cos(2兀 +l)dxl)dx例2y y=幺cos2x.求dydy解：dydy=幺-d(cos2x)+cos2xd(幺亠)= =eeyxyxsin2xd(2x)2xd(2x)+ +cos(2x)es(2x)e3 3 v vd d(3x)=-2e3vsin2xdx-2xdx-3 cos(2x)e3 v6/x=-e_3v(2sin 2x+

8、3cos2)dxdx例3设隐函数y3-xy-xy + + 2x2x2 2+y+y2 2,dy.,dy.解两端对X求微分得dydy d d(xy) +d d (2x)(2x) + + dydy3y3y2 2dydy ydx+ydx+ xdy+4xdx+xdy+4xdx+ 2ydy2ydy三、微分在近似计算中的应用从微分定义知，当|Ax|很小时，yu/y即 =/(xo+ Ax)-f(xf(xo o) )e /(xo)Ax.为求函数的增量的近似公式，将上式改写为/(x0+ Ax) Q /(Xo) +广(兀)Ax此为求函数值的近似公式.例 一正方形铁块，棱长为10米，受热后其棱长增加01米，求此铁块体积增加的精确值和近似值.解 设正方体的棱长为r,即体积V=x3已知x = lQAx = O丄故体积增加的精确值为AV=(x +AY)3-X3=(10+ 0.1)3-ltf = 30.301(米彳)体积增加的近近值方AV/z(x)Axx=10Ax=0.1二3x2Arx=10=30(米彳)Ar=O. 1例计算cos61的近似值 解把61。分为弧度，得61。寻+盒设fMfM cosx,贝1护（兀）=sinx，由/（x0+