项式定理各种题型解题技巧

1、二项式定理1?二项式定理：(ab)n CoanCan1bL CanrbrL C ；bn(nN),2.根本概念： 二项式展开式：右边的多项式叫做(a b) n的二项展开式。 二项式系数：展开式中各项的系数 6 (r 0,1,2,n). 项数：共(r 1)项，是关于a与b的齐次多项式通项：展开式中的第r 1项C an r br叫做二项式展开式的通项。用Tr 1 C a b 表示。3.注意关键点:项数：展开式中总共有 (n 1)项。顺序：注意正确选择a, b,其顺序不能更改。(a b) n与(b a) n是不同的 指数：a的指数从n逐项减到0,是降幕排列。b的指数从0逐项减到n，是升幕排列。各项的次

2、数和等于n .Cn , Cn ,Cn , Cn , Cn -项的系 系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是数是a与b的系数(包括二项式系数)。4.常用的结论：令 a 1,bx, (1 x) n C° C1X C2X2L C: xr L(1) nC: xn(n N )令 a 1,b x, (1 x) n C0 C: x C； x2 L C : xr L C : xn(n N ) 5性质:二项式系数的对称性：与首末两端“对距离的两个二项式系数相等，k即 C C , ? ? ? G Cn二项式系数和：令 a b 1 ,那么二项式系数的和为 C0 C C' L C2

3、n奇数项的二项式系数和变形式G c2 L C nr L c :二偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令1,b1,那么 C0 C：c2G3 L(1)nc；(1 1) n0,从而得到：Cn CnCn C r6 G3 L2r 1Cn丄2n 2奇数项的系数和与偶数项的系数和(ax)n C an 0C an1xn1x(xa) ； C axGaxn 1令x 1,那么 a。a1a2asL令x1，那么a1a2a3a。得,a。a2a4La得,a 1a3a5 La；C"an 2 2LC0 n1xa x a。aX2 ； 2C a xLca x a ； x La； (a1)；L a ；(a 1)n(a 1

4、)(a1)n-奇数项的系数2和(a 1)；(a1)n 偶数项的系数2和2 ； a XL2 1 a xa?x a x a °)2二项式系数的最大项：如果二项式的幕指数n是偶数时，那么中间一项的二项式系数G取得最大值。n 1 n 1如果二项式的幕指数n是奇数时，那么中间两项的二项式系数 CC八同时取得最大值。A1为AA, An i，设第r 1项系数最大，应有A，从而解出r来。A 26?二项式定理的一种考题的解法： 系数的最大项：求 a bxn展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别题型一：二项式定理的逆用；6nnnC: 6n 1) 1(1 6)° 1 6(7

5、n 1C 6 c ；6；L6 61 2练：C n 3C39C n L3； 1 CnC 63 LC 6n与的有一些差距,C 6 cn 62cn c n16n 1(c 6 C' 6c2c_2C ；66np 62L c；n19C L 3 C，那么C: 323SC 33 LC 3；C 33 L C : 3n 1(1 3) n 1Co Cn3 C: 32Sn(3£j3例:cnc2 6 c3 62 L c n 6n 1题型二：利用通项公式求 xn的系数;例：在二项式解：由条件知(£VX2)； 的展开式中倒数第 3项的系数为45,求含有X3的项的系数?n 2 2Cn45 , 即

6、Cn 452n n 900，解得 n9(舍去)或 n 10，由3,解得r 6Tr 1C o(X4、10 r 3 r)(x )C oX F3r，由题意10 r 23那么含有x的项是第1练：求X2 一2x2解：Tr 1 G x 7 项 T6 19展开式中X的系3210x,系数为2109 r / t(丄)2x1r 18 2r211、r r -亠r2)xCf(2)x ,1、r 18 3r令 18 3r9,那么 r 3故x9的系数为c9-210题型求二利用通项公式求"的展开式中的常数项？5C o(X2)1Or1C 0(1)220 2rrx 2，令 208,所以T9r / 1、Tr1C6(2x)

7、 (1)(畑冷严，令2r0,得r3,所以求二项式2x假设(x2-)xT5T41 66的展开式中的常数项？2x3n的二项展开式中第5项为常数项,2 n 44c: (x ) (-) C: x 2n 12,令 2n 12 x(1) C 620题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项例：求二项式3 X9展开式中的有理项？1 1 r3 r解：Tr 1 C (xV ( x )27 rr(1) C x 丁，令393 3(1) C x0()94, T4( 1) 3C题型五：奇数项的二项式系数和例：假设(x227丁(084x4,二偶数项的二项式系数和； n一 -'展开式中偶数项系数和为VX256，求

8、n.9)得r解：设2n展开式中各项系数依次设为ao, a 1, a n,所以中间两个项分别为n 6,n 7 , T5 1 C； ? 165 ! 5 462 x,T6 1 462 x 花解:QC C : 2C ； , n 221n 980,解出n 7或n 14，当n 7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5 T4的系数。；丄423 35,，T5的系数2 2 2C;丄324 70,当 n 14时，展开式中二项式系数最大的项是Ts，Ta的系数C74八727 34322令x 1 ,那么有a。a1an 0,，令x1,那么有a。a1 a2 a3 1nnan2 ,将-得:2a1a3a52 ,naia3

9、a52n1,有题意得，2砧25682，n9。假设3匚52广的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024,求它的中间项。 xxQ C Cc:CACn c；L2r 1Cn2n1，2n 11024,解得n 11练:解:4题型六：最大系数，最大项；1例：一 2x:假设展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二2项式系数最大项的系数是多少？练：在a b2n的展开式中，二项式系数最大的项是多少?T2nTn 1，也就是第n 1项。解：二项式的幕指数是偶数 2n,那么中间一项的二项式系数最大，即x3 -r-练：在2丁的展开式中，只有第 5项的二项式最大，那么展开式中的常数项是多少-2 1

10、解：只有第5项的二项式最大，那么 -1 5，即n 8 ,所以展开式中常数项为第七项等于2G6 1272例：写出在a b7的展开式中，系数最大的项？系数最小的项?解：因为二项式的幕指数7是奇数，所以中间两项 第4,5项的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有T4C?a b的系数最小，T5 Ga b系数最大。1例：假设展开式前三项的二项式系数和等于79,求 2xn的展开式中系数最大的项?2解：由 C 6C, 79,解出 n 12,假设 1 项最大，Q - 2x12丄12 1 4xAr 1A C124C1214 1，化简得到Ar 1Ar 2 C；24rC；%19.4 r 10.4 ，又 Q0 r

11、12 , r 10展开式中系数最大的项为Tii,有 Tii(1)12Ci12)410x102i0i6896x练：在(12x)10的展开式中系数最大的项是多少 ？r r r解：假设 Tr i 项最大,QTri Ci0 2 xr i r iAr iAr rci0 .2.Ci02Ci0 2 解得 2(iir) r，化简得到 6.3 k 7.3 ，又Ar iAr 2rr i riC；2rCir0i2ri,r i2(i0 r)Q0 r i0 ,r 7 , 展开式中系数最大的项为Ci0 2xi5360x .练：求式子 (x题型七：含有三项变两项；例：求当1 T2解法:(x2 3x 2) 5(X 22) 3

12、x 5,Tr 1r 2C5 (x2)5 rr(3x)，当且仅当r 1时，Tr 1的解法:解：(xTr 1展开式中才有X的一次项，此时Tr(x 3x 2)的展开式中x的一次项的系数？它的系数为C C: 243240 o(X2 3x 2) 5 (x 1) 5(X 2) 5故展开式中含x的项为c5xc5252)的常数项？2)3C.G(r1)题型八：两个二项式相乘C5(x242) 3x，所以x得一次项为144C5C4 2 3x(C?x54C5X24C5X240X，1 6)6,设第6 r(X)(1)C 6例：求(1 2 X)3(1 x) 4展开式中x2的系数.解：Q (1 2x) 3的展开式的通项是Cm

13、 (2x)1项为常数项，那么Cs)(c5 )x5 C ； x42故展开式中X的系数为240.6 2r，得 6 2r 0 , r 3 ,Cm 2mT31C 25)(1)3820 .(1 X) 4的展开式的通项是C4n(x)C 1n Xn,其中 m 0,1,2,3,0,1,2,3,x)4令 m n 2,贝» m 0 且 n 2, m 11,m 2 且 n 0,因此(1 2x) (1练：求1 3 X6141 10展开式中的常数项？Jx解:练:解:n(1 3 X) 6(14l) 10展开式的通项为cjx 3 C；0X 4 Cj C ； 0 X 12VX其中 m 0,1,2, ,6,n0,1,

14、2, ,10,当且仅当3,或4m 3nm4m 3n,即卩6,0,n 4,n 8,(1(X )X1 丄n的展开式中没有常数项，n N且2 n 8,通项分别与前面的三项相乘可得X X 2)( Xn展开式的通项为6 Xn r X3r Cn Xn 4rn4rCn X,c n xn4r1 ,c n xn4r2 ,Q展开式中不含常数项,2 n 8n 4r 且 n 4r 1 且 n 4r 2,即 n 4,8 且 n 3,7 且 n 2,6, n 5.题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和；例:在x ,22006的二项展开式中,含x的奇次幕的项之和为S,当x 三时,S解：设x 22006二a。123.a1Xa

15、2Xa3XL2006a2006X20061232006(x 2) =a0 qxa2Xa3X La2006X5 i2005 #/Zx 2006/得a5XLa2005X) (x、2) (xX &展开式的奇次幂项之和为S ( X)1 2006 _(X 2)当x时,S、22 、2'铲、2 铲3 2006230082题型十：赋值法；例：设二项式(33匚丄广的展开式的各项系数的和为Xp,所有二项式系数的和为s,假设p s 272,那么n等于多少？假设(33 x丄“2a。a 1X a 2Xanx,有 P a0 a1解:XansCn令x 1得P 4n，又p s272 ,即4n 2n 272(2n 17)(2 n16)0解得2n 16 或 2n17(舍去)， n 4.例:假设(1亠、20212x)aoa1 2x a2X3asXL a 2002021 /9X (xR),那么令x1aa：a2021a1a2a2021解：,可得ao220210,-2A202122 222在令x 0可得a。1因而aa2a20211.2 2021a：22a。弄的值为练：假设(x 2) 554asxsux23a3x2a?x2aiXa° ,贝V a a? a3a4 a5解：令x 0得ao32,令ai a? a3 a4