导数结合洛必达法则巧解高考压轴题

1、与数结合洛必达法则巧 解高考压轴题2010年和2011年高考中的全国新课标卷中的第21题中的第 步，由不等式恒成立来求参数的取值范围问题，分析难度大，但用洛必达法则来处理却可达到事半功倍的效果。洛必达法则简介：法则1若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1) lim f x 0及limg x 0； x ax a(2)在点a的去心邻域内,f(x) 与g(x) 可导且g'(x) w。； lim fx- l , x a g x那么 lim ' x =lim -l 。X a g x X a g x法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) lim f x 0及lim g

2、x 0； xx(2) A>0, f(x)和 g(x)在 ，A 与 A, 上可导，且 g'(x) w。；(3) lim l ,x a g x那么 lim ' x =limx a g x x a利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题将上面公式中的 x-a, x一0°换成 x一+00, x-8, x洛必达法则可处理 -,0, d010在着手求极限以前，首先要检查是否满足法则3 若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1) lim f x 及lim g x x ax a、(2)在点a的去心邻域内,f(x) 与g(x) 可导且g'(x) w0；否

3、则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能 则不适用，应从另外途径求极限。(4若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止 二.高考题处理x21.(2010年全国新课标理)设函数f(x) e 1 x ax o(1) 若a 0,求f(x)的单调区间；(2) 若当x 0时f(x) 0,求a的取值范围原解：(1) a 0时，f(x) ex 1 x, f '(x) ex 1.当 x (,0)时，f '(x) 0；当 x (0,)时，f '(x) 0.(0,)单调增加(II) f '(x)ex 1 2ax由(I)知ex 1 x,当且仅当x 0时等号成

4、立.故f '(x) x 2ax (1 2a)x,1从而当 1 2a 0,即 a 时，f'(x) 0 (x 0),而 f(0) 0, 2于是当x 0时，f (x) 0. x.一 x1.由e 1 x(x 0)可得e 1 x(x 0).从而当a 时，2f'(x) ex 1 2a(e x 1) e x(ex 1)(ex 2a),故a -2知hx在0, 上为增函数，hx h 00；知hh x h 00; g x 0, g(x)在 0,由洛必达法则知,limx 0xe x 12xlimx 0x e 2x上为增函数。xe 1lim 2 3,x 022综上，知a的取值范围为2. (20

5、11年全国新课标理)故当 x (0,ln2a)时，f '(x) 0 ,而 f (0) 0,于是当 x (0,ln 2a)时，f(x) 0.(i)求a、b的值;综合得a的取值范围为1,2(n)如果当原解在处理第(II)时较难想到,现利用洛必达法则处理如下:另解：(II)当x 0时，f (x)0,对任意实数a,均在f (x) 0 ；原解：(I) f0时，f (x) 0等价于axx x 1e一2(x>0),则 g (x)xx xxq2ax 2x x-ee3，令 hxxe2ex 2 x 0x1,2已知函数,曲线yf(x)在点(1,f(1)1时,f(x)ln x k-,求k的耳x 1 x(

6、x)(xln x)(x 1)2由于直线x 2 y0的斜率为(1,1),故1,解：应用洛必达法则和导数ln x 1 .一(n)由(I)知f(x) 金，所以 x 1 x当3中0遁)时，原不等式等价于22(iii)设 k 1此时 x2 1x sin xa.x 22x, (k 1)(x2 1) 2x 0一、/lnx k、1 c (k 1)(x2 1)、f(x) L x) rv(21nx M。记 f (x)(1, +记 g( x)考虑函数h(x) 21n x22_(k 1)(x1)(k 1)(x1) 2x(x 0),则 h'(x) 2 。 xxx sin x3sin x x cosx 2x，则

7、f '(x)14.)嗡，h (x) >0,可得 2xh (x) <0,与题设矛盾。1 x3sin x xcosx 2x,贝Ug'(x) 2cos x xsin x 2 .综合得，k的取值范围为(-,0因那g辨婵理xcosxII常时非常鹰飒x现an用瓷必达法则处理如下2xln xh'(x)22k(x 1) (x 1)知，当x 1时，h'(x) 0, h (x)递减。而h(1)另解：(II)由题设可得，当 x 0,x 1时，k< 2g '''(x) xsin x 0,所以 g ''(x)在(0, )上单调递漓

8、，j!222x1)则 g x 2令 g (x)=2x In x1 x21恒成E g''(x) 1 ln x1 (x 0,x故当x (0,1)时,h(x)1h(x) 0; x所以g'(x)在(0, )上单调递减，且2g'(x) 0.因此 g(x)在(0,x 上 2再令 h x x2 1 In x x2 1 ( x 0,x 1 ),当 x (1, +时,h (x) <0,1可得7 h (x) >01 x2且 g(x) 0,故 f'(x) 游 0,因此 f(x) x s3nx在(0,一)一h x 21n x 1 x,易知 h x 21n x 1x

9、在 0,2xx当 x (0,1)时，h x 0,当 x (1, + )时，h x 0：从而当x>0,且1 时，f (x)-(h x在0,1上为减函数，在 1,上为增函数；故h x(ii )设 0<k<1.由于(k 1)(x2 1) 2x = (k 1)x22x k 1的图像开口向下，且h x在0,上为增函数,.八2 _1,一4 4(k 1)0 ,对称轴x= 1当x1 k,1,(1, )时，(k-1) (x2 +1)+2x>0,故 h (x) >0,1 k而 h (1) =0,故当x(1,)时，h (x)1 k1>0,可得 2 h (x) <0,1 xzb- h 1 =0当 x (0,1)时，h x 0,当 x (1,+ )时，h x 0当 x (0,1)时，g x 0,当 x (1,+ )时，g x Ig x在0,1上为减函数，在 1,上为增函数:由洛必达法则知1mg x可口1 2iixmTxx 1 21 1 0k 0 ,即k的取值范围为（-,0规律总结： 对恒成立问题中的求参数取值范围，参数与变量分离较易理解，但有些题中的求分离出来的函数式的最值有点麻烦，利用洛必达法则可以较好的处理它的最值，是一种值得借鉴的方法。由洛必达法则有lxmof(x)cosx lim x sin x 1 cosx sin x lim3