湖北省公安县博雅高三数学二轮复习 第30课时《应用题的解法（1）》

1、湖北省公安县博雅高三数学二轮复习 第30课时应用题的解法（1） 高考趋势应用题历来为高考的常考题型之一，多以函数、导数、数列、不等式、三角等为载体，旨在考查学生所学数学知识在实际问题中的应用能力，同时也考查了学生分析、探究、转化、运算等诸多方面的能力。一 基础再现1. 某商品进货单价为40元，若按50元一个销售，则能卖出50个；若销售单价每涨1元，则销售量就减少一个。为了获得最大利润，则该商品的最佳售价为 70 元2. 汽车在隧道内行驶时，安全车距正比于车速的平方与车身长（m）的积，且安全车距不得小于半个身长，假设车身长约为4m，车速为60km/h，安全车距为1.44个车身长写出d与v之间的函

2、数关系式： 3. 本小题满分14分）某租赁公司拥有汽车100辆. 当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出. 当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆. 租出的车每辆每月需要维护费200元. （）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？ （）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少元？二范例剖析例1运货卡车以每小时千米的速度匀速行驶130千米假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元.（1）求这次行车总费用关于的表达式；（2）当为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值解：此题较为简单，略。例2. 甲、乙

3、两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度 v(千米时)的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元. 把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米时)的函数，并指出函数的定义域； 为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？ 解：(读题)由主要关系：运输总成本每小时运输成本时间，(建模)有y(abv)(解题)所以全程运输成本y(元)表示为速度v(千米时)的函数关系式是：yS(bv)，其中函数的定义域是v(0，c .整理函数有yS(bv)S(v)，由函数yx (k0)的单调性而得：当c时，则v时，y

4、取最小值；当c时，则vc时，y取最小值.综上所述，为使全程成本y最小，当c时，行驶速度应为v；当c时，行驶速度应为vc.点评：1.对于实际应用问题，可以通过建立目标函数，然后运用解(证)不等式的方法求出函数的最大值或最小值，其中要特别注意蕴涵的制约关系，如本题中速度v的范围，一旦忽视，将出现解答不完整.此种应用问题既属于函数模型，也可属于不等式模型.变式：某工厂拟建一座底面为矩形、面积为200平方米且深为1米的无盖长方体的三级污水池（如图所示）如果池外圈四壁建造单价为每平方米400元，中间两条隔墙建造单价为每平方米248元，池底建造单价为每平方米80元。（1）试设计污水池底面的长和宽，使总造价

5、最低，并求出最低造价；（2）由于受地形限制，地面的长、宽都不超过16米，试设计污水池底面的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价。解（1）设底面长为x米，则宽为米，总造价为y 元。则 =800=44800 当且仅当，即时取等号.(2)由已知条件所得,而,于是y的最小值不能是44800.为求y在上的最小值,需研究函数的单调性.对任意的,设.=800在上是减函数于是=29000+16000=45000,即的最小值为45000,此时.综合以上,当底面长为16米,宽为12.5米时,总造价最低为45000元.例3 某国由于可耕地面积少，计划从今年起的五年填湖围造一部分生产和生活用地，若填湖费、购置排水设备

6、费等所需经费与当年所填湖造地面积x（亩）的平方成正比，其比例系数为a，设每亩水面的年平均经济效益为b元，填湖造地后的每亩土地的年平均收益为c元（其中a，b，c均为常数）。（1）若按计划填湖造地，且使得今年的收益不小于支出，试求所填面积x的最大值。（2）如果填湖造地面积按每年1%的速度减少，为保证水面的畜洪能力和环保要求，填湖造地的总面积不能超过现有水面面积的25%，求今年填湖造地的面积最多只能占现有水面的百分之几。注：根据下列近似值进行计算：0.9920.98, 0.9920.97, 0.9940.96, 0.9950.95, 0.9960.94, 0.9970.93.解：填湖面积x亩,填湖及

7、排水设备费ax2元，水面经济收益bx，填湖造地后收益cx（1）收益不小于支出的条件可以表示为所以当此时不能填湖造地；当cb0，即此时所填面积的最大值为亩。（2）设该地现在水面m亩，今年填湖造地x亩。则即因此今年填湖造地面积最多只能占现有水面的三巩固训练1. 某化工企业2007年底投入100万元，购入一套污水处理设备该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元（1）求该企业使用该设备年的年平均污水处理费用（万元）；（2）问为使该企业的年平均污水处理费用最低，该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备？解：

8、（1）即（）；-7分（不注明定义域不扣分，或将定义域写成也行） （2）由均值不等式得：（万元）-11分 当且仅当，即时取到等号-13分答：该企业10年后需要重新更换新设备-14分2. 甲方是一农场，乙方是一工厂. 由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方 有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x（元）与年产量t（吨）满足函数关系x2000若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元（以下称s为赔付价格） （1）将乙方的年利润w（元）表示为年产量t（吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量； （2）甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y0.002t2（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s是多少？（南京金陵中学-海安高级中学）解：(1)解法一：因为赔付价格为s元吨，所以乙方的实际年利润为：w2000st（t0）2分因为w2000sts()2，4分所以当t ()2时，w取得最大值 所以乙方取得最大年利润的年产量t ()2 (吨)6分解法二：因为赔付价格为s元吨，所以乙方的实际年利润为：w2000st（t0）由ws =，令w0得tt0=()24分当tt0时，w0；当tt0时，w0，所以tt0时，w取得最大值因此乙方取得最大年利润的年产量t0()2 (吨)6分(2)设甲方净收入为