2009年考研数学一真题及答案解析

1、2 .x In 1 bx等价无穷小，则（1,3上的图形为:x2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题、选择题（18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.）(1)当 x 0 时，f x x sin ax与 g x11A a 1,b.B a 1,b.66-11C a 1,b-.D a 1,b -.66(2)如图，正方形 x,y |x 1, y 1被其对角线划分为四个区域 Dk k 1,2,3,4 , Ik ycosxdxdy , Dk则 max Ik ()1 k 4A Ii.B I2.C I3.（3）设函数y f x在

2、区间则函数F x f t dt的图形为（）0-1-1C(4)(5)(6)设有两个数列bnn 1121212设A,矩阵anbnlim an n0,收敛时,bn收敛时,anbn收敛.1a：b：收敛.13是3维向量空间R3的一组基,3,31的过渡矩阵为（B均为141414161616则由基bn发散时,1bn1发散时,11,2 2,3到基anbn发散.1a；b：发散.1阶矩阵，A , B分别为的伴随矩阵为（）121416121416121 416A, B的伴随矩阵，若A 2, B 3,则分块O2A*3BOO*3A*2BOO2B*3AOO*3B*2AO,其中 x为标准正(7)设随机变量 X的分布函数为

3、F x 0,3 x 0,7态分布函数，则EX ()A 0.B 0.3.C 0.7.D 1.N 0,1 , Y的概率分布为P Y 0 P Y 1的间断点个数为(8)设随机变量 X与Y相互独立，且 X服从标准正态分布1,记Fz z为随机变量Z XY的分布函数，则函数Fz z 2A 0.B 1, C 2.D 3.、填空题(9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上(9)设函数f u,v具有二阶连续偏导数,f x,xy，贝U x(10)若二阶常系数线性齐次微分方程yayby0的通解为yC1 C2x ex,则非0的解为y齐次方程y ay by x满足条件y 02, y 0(11)已

4、知曲线L: yx2 (17)(本题满分11分)椭球面S1是椭圆 岂-1绕x轴旋转而成，圆锥面 S2是过点 30 x 近,贝Ulxds 。一 _、 、_2222 _(12)设x, y, zx y z 1 ,贝U z dxdydz 。(13)若3维列向量，满足T 2,其中,为 的转置，则矩阵T的非零特征值为。(14)设X1，X2,L ,Xm为来自二项分布总体 B n, p的简单随机样本，X和S2分别为样本均值和样本方差。若 X kS2为np2的无偏估计量，则 k 。三、解答题(15-23小题，共94分,请将解答写在答题纸指定的位置上,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .)(15)(本题满分9

5、分)求二元函数 f (x, y) x2 2 y2ylny的极值。(16)(本题满分9分)设an为曲线y xn与y xn 1 n 1,2,.所围成区域的面积，记S1an,S2a2n 1，求 S1 与 S2 的值。n 1n 1224,0且与椭圆y- 143相切的直线绕x轴旋转而成。(I)求S1及S2的方程(n)求Si与S2之间的立体体积。(18)(本题满分11分)(I)证明拉格朗日中值定理：若函数f x在a,b上连续，在(a,b)可导，则存在a,b ,使得 f b f a f b a(n)证明若函数f x在x 0处连续，在0,0 内可导，且lim f x A,则 f 0 存在，且 f 0 Aox

6、0(19)(本题满分10分)计算曲面积分Ixdydz ydzdx zdxdy是曲面(I)求满足A 2(n)对中的任意向量2，3证明 1，2，3无关。2x2 2y2 z2 4 的外侧。(20)(本题满分11分)1111设 A 111110422-2一-.一1的2 . A 31的所有向重2 , 3 .(21)(本题满分11分)1 x32x1 x32x2x3设二次型 f x1, x2, x3ax2 ax2(I )求二次型 f的矩阵的所有特征值;22(n)右二次型 f的规氾形为y1 y2,求a的值。(22)(本题满分11分)袋中有1个红色球，2个黑色球与3个白球，现有回放地从袋中取两次， 每次取一球,

7、以X ,Y,Z分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数。(I)求 p X 1 Z 0 ;(n)求二维随机变量 X,Y概率分布。(23)(本题满分11分)2xe x.x0 设总体X的概率密度为 f(x)，其中参数(0)未知，X1 ,0,其他X2，Xn是来自总体X的简单随机样本(I )求参数的矩估计量；(n)求参数的最大似然估计量2009年考研数学一真题解析、选择题:18小题，每小题4分，共32分,卜列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内(1)当 x 0 时，f x x sin ax与 g1Aa1,b.B6-1Ca1,b-.D6【答案】 A【解析】f

8、(x) x sin ax, g(x) x2ln(1xx2 ln 1 bx等价无穷小，则(),1a 1,b.6 .1a 1,b.6bx)为等价无穷小，则lim0f(x)g(x)x sin ax2x ln(1 bx)x sin ax 1 lim 侪 lim -x 0 x ( bx) = x 0 _2 _ 一a cos ax 疵a sin ax2宿lim3bx = x 0 6bx2 .3a sin ax a , lim1x 0 6b 6baxaa36b 故排除B,C 。另外lim1 acosax存在，蕴含了 1 acosax 0 x 0故a 1.排除D。 x 03bx2所以本题选Ao(2)如图，正方

9、形 x,y |x 1, y 1被其对角线划分为四个区域 Dk k 1,2,3,4 , Ik ycosxdxdy , Dk则 max Ik ()1 k 4A Ii.B I2.C I3.f (x,y),即被积函数是关于y的【解析】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性。D2,D4两区域关于x轴对称，而f (x, y) ycosx奇函数，所以I2 I4 0;D1Q3两区域关于y轴对称，而f( x,y)ycos( x) y cosx f (x, y),即被积函数是关于x的偶函数，所以I12(x,y)|y x,0ycosxdxdy 0;x 1I32ycosxdxdy 0 .所以正确答案为A.(x

10、, y)|y x,0 x 1(3)设函数y f x在区间 1,3上的图形为:x则函数F【解析】此题为定积分的应用知识考核，由f (x)的图形可见，其图像与X轴及y轴、xxo所围的图形的代数面积为所求函数F(x),从而可得出几个方面的特征:x 0,1时，F(x) 0,且单调递减。x 1,2时，F(x)单调递增。x 2,3时，F(x)为常函数。x 1,0时，F(x) 0为线性函数，单调递增。由于F(x)为连续函数结合这些特点，可见正确选项为D。0,则(4)设有两个数列an , bn，若lim annA当 bn收敛时，anbn收敛.n 1n 1B当 bn发散时，anbn发散.n 1n 1bn收敛时,

11、a12bl2 收敛.1bn发散时,ajb；发散.n 1【解析】方法一:举反例A取anbnB取anbnD取anbn故答案为方法二：(C)因为limnan0,则由定义可知Ni,使彳导nNi时，有an又因为bn收敛，可得lim bn 0,则由定义可知 N2,使得n 心时，有bn 1n 1从而，当n N1 N2时，有a2bn bn ,则由正项级数的比较判别法可知a2b；收敛。n 11 1设1, 2, 3是3维向量空间R3的一组基，则由基1,- 2 - 3到基2 312, 23, 31的过渡矩阵为()111246111246111246111222111444111666【解析】因为1, 2,L ,1,

12、 2,L , n A,则 A 称为基 1, 2,L , n 到 1, 2,L的过渡矩阵。1 1则由基1,- 2,- 3到12, 23, 31的过渡矩阵M满足2 31112,23, 3 11,二 2,二 3M23所以此题选 A 。(6)设A, B均为2阶矩阵,* * . 一 i _ i_ _A , B分别为A, B的伴随矩阵，若 A 2, B3,则分块矩阵O A的伴随矩阵为()B O_ *O 3B* _2A O_ *O 2B* _3A O_ *O 3A* _2B O_ *O 2A* _3B O【解析】根据CC一111C E ,若C C C 1,C 1 C C" 0 A一 0 A分块矩阵

13、的行列式B 0B 01)2 2 A| B 2 3 6,即分块矩阵可逆1B1A aa0 A 0 A 1 6 0 BB 0 B 0 A 10061a21b 3故答案为(B)(7)设随机变量态分布函数,A 0.因为3AX的分布函数为2B0.3 x0.7其中 x为标准正所以F0.3EXB 0.3,C 0.7,1.0.3 x0.70.72所以EXxFx dx0.3x 0.35dx0.3x dx0.35dx 0dx2uu du 2所以EX0.350.7。(8)设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N 0,1 , Y的概率分布为的间断点个数为(1 、一，记 FZ2)z为随机变量Z XY的分布函数，则

14、函数Fz zA 0.B 1.2.D 3.【答案】xj f2【斛析】xf2 f2 zf1 f2 V， x2 z "xf12 f2 x y(10)若二阶常系数线性齐次微分方程齐次方程y ay by x满足条件y【答案】yxex x 2【解析】由y (g C2x)ex,得1xyf22“xyf22“"yx f22xf12f2FZ (z) P(XY z) P(XY zY 0)P(Y 0) P(XY zY 1)P(Y 1) 1 -P(XY zY 0) P(XY zY 1)1-P(X 0 zY 0) P(X zY 1)QX,Y独立1Fz(z) P(X 0 z) P(X z)1(1)右 z

15、 0,则 Fz (z) - (z) i 1(2)当 z 0,则 FZ(z) -(1(z)z 0为间断点，故选(B)二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上2(9)设函数f u,v具有二阶连续偏导数，z f x,xy ,则 z x yxyf22y ay by 0的通解为y C1 C2x ex,则非02,y 00的解为y 。2 1 ,故 a 2,b 1微分方程为y'' 2y' y x设特解y Ax B代入，y' A, A 1特解把 y(0)所求2A Ax B x(Cl(11)已知曲线13【答案】6B 0,Bc2x)exxxel：

16、y【解析】由题意可知,ds所以LxdSy'(0) 0代入，得Ci2、1(12)设A_15方法一:方法二:x,y0,C21x2,0 x2dx2xJ04x2 33 cos3x, y, zdxdydz1d 54x2dx13415由轮换对称性可知xdsL2 cos2 . sinz2 dxdydz1 4x22 .z dxdydz2 2coscos4dx2 dxdydzy2dxdydz所以,z2 dxdydzdxdydzd 0r4sin dr2. sin3 0d 1r4dr0sin则矩阵 T的非零特征值为。【答案】2【解析】Q T 2TT 2 ,丁的非零特征值为2.2 .(14)设Xi,X2,L

17、,Xm为来自二项分布总体 B n, p的简单随机样本，X和S分别为样本均值和样本方差。若 X kS2为np2的无偏估计量，则 k 。【答案】1【解析】QX kS2为np2的无偏估计一22E(X kX ) np2np knp(1 p) np1 k(1 p) pk(1 p) p 1k 1(13)若3维列向量满足其中T为的转置,三、解答题：15-23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分9分)求二元函数 f(x, y) x2 2 y2ylny的极值。【解析】2fx(x, y) 2x(2 y2) 02fy (x, y) 2x y ln

18、 y 1 01故 x 0, y e. 2、 _ 21.fxx 2(2 y ), fyy2x -, fxy 4xyy-1晨(0,1)2 椭球面S1是椭圆L 3(2-2)eefxy i0xy (0,-) efyy (0,-)ee2Q fxx0 而(fxy)fxxfyy 0xxxyxx yy一1、1二元函数存在极小值f (0, -)ee(16)(本题满分9分)设an为曲线y xn与y xn ln(2) 1 ( n 1,2,.所围成区域的面积，记所以an从而S2Gan,S2n 1由题意,1 n0(xan1由 ln(1+x)=x-Nima2n 1，求S与S2的值。 n 1y=xn+1在点1处相交,1)d

19、xan1(5/ 1 n(xn 11Nim(22n+1(1)(n1 nx212N1N 2)1Nim( 2n1) xn1 N+2)In 2(17)(本题满分11分)1绕x轴旋转而成，圆锥面 S2是过点2一x4,0且与椭圆一1相切的直线绕x轴旋转而成。(I)求S1及S2的方程(n)求G与S2之间的立体体积。【解析】(I) S12过点4,0与 41的切线为y所以S2的方程为21x 22(II)记 yi2,1,记y22.y1 dx2.y2 dx2x4 dxdx132x x1244x03x(18)(本题满分11分)(I )证明拉格朗日中值定理:若函数a, b上连续，在(a,b)可导，则存在a,b ,使得f

20、(n)证明：若函数 f x0处连续，在0,0内可导,f 0存在，且fA。(I)作辅助函数(x)f(x) f(a)f(b)胆(x a),易验证(x)满足:(a)(b) ;(x)在间 a,b上连续，在开区间 a, b 内可导，且(x)f (x)f(b) f(a)根据罗尔定理，可得在a,b内至少有一点f(b) f(a)0, f(b) f(a)f ( )(b a)(n)任取Xo(0,),则函数f(x)满足;在闭区间0,x0上连续，开区间0,x0内可导，从而有拉格朗日中值定理可得：存在xo0,x00,，使得ff(x。) f(0)Xo 0又由于lim fx 0x A ,对上式（*式）两边取0时的极限可得:

21、f 0 limXo 0f(Xo) f 0lim f/ 0(%)limx0 0故f （0）存在，且f （0） Ao（19）（本题满分10分)计算曲面积分xdydz ydzdx zdxdy是曲面2x22y24的外侧。xdydzydxdz zdxdy2 3/ 2 :)其中2x22y2Q -( x (x2,3/2 ) z )(x2 z2y2x22、5/2, z )(/ 2 y (x2、3/2 ) z )2 x (x22 z-2" yc 2_2y_ 02 5/2 , 超z )2、3/2 ) z )2 x (x22 y2y2zLd2 5/2 , 亚z )+=一(: x (x2 )3/2 )2y2

22、3/2 y (x y z )23/2z )由于被积函数及其偏导数在点（0,0, 0）处不连续，作封闭曲面（外侧）y2 z2 R2.0 R116有xdydz ydxdz zdxdy xdydz ydxdz zdxdy 11(x22.3/ 2 z )R3R33dV3R34 R343（20）（本题满分11分）求满足A 21的2. A2 31的所有向量 2, 3对中的任意向量【解析】（I）解方程A11A, i 110411110000021111110211000 0r（A） 2故有一个自由变量，令X3 2 ,由 Ax 0 解得，X21凶1求特解，令X1 X2 0 ,得X3 110故 2 k11021解方程A2 31,其中左为任意常数22A222442A2, 1240002 0 12 0 14 0 2110 20 0 0 00 0 0 0故有两个自由变量，令 x221 ,由 A x 0 得 x1 1,x3 01求特解20 故3k21001200,其中k2为任意常数（n）证明：1K由于1k12 2kl 1112* (2k1 1)K 3) 2kJk2 1) k2(2k1 1)线性无关.(21)(本题满分11 分)设二次型 f x1, x2, x3ax22ax>x22X3 2X2X3(I)求二次型f的矩阵的所有特征值;(H)若二次型f